拋物線及其標準方程 課件.ppt

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1、噴 泉 拱 橋 與 一 個 定 點 F的 距 離 和 一 條 定 直 線 l 的 距 離 的 比 是 常 數(shù)e的 點 的 軌 跡 （ 直 線 l 不 經 過 點 F） ,當 0 e 1時 ， 點 的軌 跡 是 ； 當 e 1時 ， 點 的 軌 跡 是 ；我 們 把 這 個 定 義 叫 做 橢 圓 和 雙 曲 線 的 第 二 定 義 。 那 么 當e=1時 ， 點 的 軌 跡 又 是 什 么 呢 ？ 橢 圓 雙 曲 線復 習 提 問 ： l F 拋 物 線拋 物 線 的 焦 點拋 物 線 的 準 線 平 面 內 與一 個 定 點 F和一 條 定 直 線 l的 距 離 相 等的 點 的 軌 跡 叫

2、 做 拋 物 線（ 不 經 過 點 F） M 1.建 :建 立 直 角 坐 標 系 .3.列 :根 據 條 件 列 出 等 式 ;4.代 :代 入 坐 標 與 數(shù) 據 ;5.化 :化 簡 方 程 .2.設 :設 點 (x,y);回 顧 求 曲 線 方 程 一 般 步 驟 ：6.（ 證 ） :檢 驗 平 面 內 與 一 個 定 點 F和一 條 定 直 線 l 的 距 離 相等 的 點 的 軌 跡 叫 做 拋物 線 。 （ 定 點 F不 在 定直 線 l 上 ） 點 F叫 做 拋 物 線 的 焦 點 ,直 線 l 叫 做 拋 物 線 的 準線 。（ 一 ） 拋 物 線 的 定 義 l FK MN想

3、 一 想 ： 定 義 中 當 直 線 l 經過 定 點 F， 則 點 M的 軌 跡是 什 么 ? lF一 條 經 過 點 F且垂 直 于 l 的 直 線 FMlN想一想：求拋物線方程時該如何建立直角坐標系？（ 二 ） 拋 物 線 的 標 準 方 程 y xo y=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2 思 考 ： 拋 物線 是 一 個 怎 樣的 對 稱 圖 形 ？ 如 圖 所 示 ， 以 經 過 點 F且 垂 直于 l 的 直 線 為 x軸 , x軸 與 直 線 l 交 于 點 K ， 與 拋 物 線 交 于 點 O，則 O是 線 段 K F的 中 點 ， 以 O為原 點 ,建 立 直 角

4、坐 標 系 。 設 |K F|=p (p0),那 么 焦 點 F的 坐 標 為 ( ,0),準 線 l 的 方 程 為 x= 。 p2p2 xyO FMlNK設 點 M(x,y)是 拋 物 線 上 任 意 一 點 ， 點 M到 l的 距 離為 d=|MN|想 一 想 ： p的 幾 何 意 義 ？求 拋 物 線 的 方 程 為 什 么 ？ 2px ( , 0)2p xyO FMlNK由 拋 物 線 的 定 義 ， | |2pd x | |MF d 2 2( ) | |2 2p px y x 2 2| | ( )2pMF x y 2 2y px 化 簡 后 得 : 拋 物 線 的 標 準 方 程

5、為 2 2 ( 0)y px p 它 表 示 的 拋 物 線 焦 點 在 x軸 的正 半 軸 上 ,坐 標 是 ，準 線 方 程 是 ( , 0)2p2px 注 意 ： 拋 物 線 標 準 方 程 表 示 的 是 頂 點 在 原 點 ，對 稱 軸 為 坐 標 軸 的 拋 物 線 。 一 條 拋 物 線 ， 由 于 它 在 坐 標 平 面 內 的 位 置 不同 ， 方 程 也 不 同 ， 所 以 拋 物 線 的 標 準 方 程 還 有 其它 形 式 。想 一 想 ： 怎 樣 推 導 出 其 它 幾 種 形 式 的 方 程 ？yo x 準 線 方 程焦 點 坐 標標 準 方 程圖 形 xFOyl

6、xF Oy l x FOy l xFOy l )0,2p( 2px )0,2p( 2px)2p0( ， 2py )2p0( ， 2py P的 意 義 :拋 物線 的 焦 點 到 準線 的 距 離方 程 的 特 點 :(1)左 邊 是 二 次式 ,(2)右 邊 是 一 次式 ;決 定 了 焦 點的 位 置 . 想 一 想 ：第 一 ： 一 次 項 變 量 決 定 對 稱 軸 。第 二 ： 一 次 項 系 數(shù) 的 正 負 決 定 了 開 口 方 向 。說 明 ： 當 對 稱 軸 和 開 口 方 向 確 定 好 之 后 ， 拋 物 線 圖象 就 隨 之 確 定 ， 根 據 圖 象 可 以 很 容 易

7、 判 斷 焦 點 坐 標和 準 線 方 程 。 整 個 判 斷 過 程 體 現(xiàn) 出 從 數(shù) 到 形 ， 再 由形 到 數(shù) 的 數(shù) 形 結 合 思 想 。 （ 1） 已 知 拋 物 線 的 標 準 方 程 是 y2 = 6x， 求 它 的 焦 點 坐 標 和 準 線 方 程 ；（ 2） 已 知 拋 物 線 的 方 程 是 y = 6x2， 求 它 的 焦 點 坐 標 和 準 線 方 程 ；（ 3） 已 知 拋 物 線 的 焦 點 坐 標 是 F（ 0， -2） ， 求 它 的 標 準 方 程 。解 ： 因 為 ， 故 焦 點 坐 標 為 （ , ）準 線 方 程 為 x=- . 3232 1 1

8、2解 :方 程 可 化 為 :x =- y,故 p= ,焦 點 坐 標為 (0, - ),準 線 方 程 為 y= .16 1 24 1 242解 :因 焦 點 在 y軸 的 負 半 軸 上 ,且 p/2=2,p=4,故 其 標 準 方 程 為 :x = - 8y 2 1： 根 據 下 列 條 件 ， 寫 出 拋 物 線 的 標 準 方 程 ：（ 1） 焦 點 是 F（ 3， 0）（ 2） 準 線 方 程 是 x = 41（ 3） 焦 點 到 準 線 的 距 離 是 2 解 ： y2 =12x解 ： y2 =x 小結 強 化 提 高根 據 下 列 條 件 寫 出 拋 物 線 的 標 準 方 程

9、 .(1)焦 點 到 準 線 的 距 離 是 2； 關 鍵 ： 理 解 p的 幾 何 意 義 ，熟 記 標 準 方 程 四 種 形 式解 ： 焦 點 到 準 線 的 距 離 為 2 p=2 又 焦 點 的 位 置 不 確 定 該 拋 物 線 標 準 方 程 有 四 種 形 式 y 2= 2px ， x2= 2py 此 拋 物 線 的 標 準 方 程 有 四 種 情 況 ： y2= 4x ， x2= 4y 題 后 反 思 ： 用 待 定 系 數(shù) 法求 拋 物 線 標 準 方 程 應先 確 定 拋 物 線 的 形 式 ， 再 求 p值 。無 法 確 定 焦 點 位 置 ， 注 意 分 類 討 論

10、2、 求 下 列 拋 物 線 的 焦 點 坐 標 和 準 線 方 程 ： （ 1） y2 = 20 x （ 2） x2= y （ 3） x2 +8y =021焦 點 坐 標 準 線 方 程（ 1）（ 2）（ 3） （ 5， 0） x= -5（ 0， ）18 y= - 18y=2(0 , -2)感 悟 ： 求 拋 物 線 的 焦 點 坐 標 和 準 線 方 程 要 先 化 成 拋 物線 的 標 準 方 程 。 例 2 一 種 衛(wèi) 星 接 收 天 線 的 軸 截 面 如 圖 （ 1） 所 示 。衛(wèi) 星 波 束 呈 近 似 平 行 狀 態(tài) 射 入 軸 截 面 為 拋 物 線 的接 收 天 線 ， 經

11、 反 射 聚 集 到 焦 點 處 。 已 知 接 受 天 線的 口 徑 （ 直 徑 ） 為 4.8m ,深 度 為 0.5m 。 試 建 立 適 當?shù)?坐 標 系 ， 求 拋 物 線 的 標 準 方 程 和 焦 點 坐 標 。0.5m 4.8m 解 ： 如 上 圖 ， 在 接 收 天 線 的 軸 截 面 所 在 平 面 內 建 立 直角 坐 標 系 ， 使 接 收 天 線 的 頂 點 （ 即 拋 物 線 的 頂 點 ） 與原 點 重 合 。 2 2 0.52.4 p 2 2 ( 0)px py 設 拋 物 線 的 標 準 方 程 是 ， 由 已 知 條 件(0.5,2.4)可 得 ， 點 A的

12、 坐 標 是 ， 代 入 方 程 ， 得5.76p即 (2.88,0) 2 11.52xy 所 以 ， 所 求 拋 物 線 的 標 準 方 程 是 ，焦 點 的 坐 標 是 4.8m0.5m （ 四 ） 課 堂 小 結平 面 內 與 一 個 定 點 F的 距 離 和 一 條 定 直 線 l 的 距 離相 等 的 點 的 軌 跡 叫 做 拋 物 線 。一 個 定 義 ：兩 類 問 題 ：三 項 注 意 ：四 種 形 式 ： 求 拋 物 線 標 準 方 程 ；已 知 方 程 求 焦 點 坐 標 和 準 線 方 程 。定 義 的 前 提 條 件 ： 直 線 l 不 經 過 點 F; p的 幾 何 意

13、 義 ： 焦 點 到 準 線 的 距 離 ；標 準 方 程 表 示 的 是 頂 點 在 原 點 ， 對 稱 軸 為 坐 標 軸的 拋 物 線 。拋 物 線 的 標 準 方 程 有 四 種 ： y 2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0) 課 外 拓 展 ： 1、 為 什 么 說 二 次 函 數(shù) y=ax2（ a0)的 圖 像 是 拋 物 線 ？ 你 能 指 出 它 的 焦 點坐 標 和 準 線 方 程 ？ 小結 解 ： 二 次 函 數(shù) 可 化 為 ： x2= y1a 即 2p= 1 a4a1 焦 點 坐 標 是 （ 0, ） ， 準 線 方

14、程 是 ： y = 4a1 當 a0時 , ,拋 物 線 的 開 口 向 上p2 = 14a所 以 不 論 a0,還 是 a0， 都 有 焦 點 坐 標 是 （ 0， ） ， 準 線 方 程 是 ： y = 4a114a 小結 例 3.求 過 點 A（ -3， 2） 的 拋 物 線 的 標 準 方 程 。 A Oy x解 ： 當 拋 物 線 的 焦 點 在 y軸的 正 半 軸 上 時 ， 把 A（ -3， 2）代 入 x2 =2py， 得 p= 49當 焦 點 在 x軸 的 負 半 軸 上 時 ，把 A（ -3， 2） 代 入 y2 = -2px，得 p= 32 拋 物 線 的 標 準 方 程

15、 為 x2 = y或 y2 = x 。29 34 例 4、 M是 拋 物 線 y2 = 2px（ P 0） 上 一 點 ， 若 點 M 的 橫 坐 標 為 X0， 則 點 M到 焦 點 的 距 離 是 X0 + 2pOy x FM 2px 例 4.點 M與 點 F(4,0)的 距 離 比 它 到 直 線 l:x+5=0的 距 離 小 1,求 點 M的 軌 跡 方 程 . 例 題 講 解 xyo F(4,0)Mx+5=0 解 :由 已 知 條 件 可 知 ,點 M與 點 F的 距 離 等 于 它 到 直 線x+4=0的 距 離 ,根 據 拋 物 線 的定 義 ,點 M的 軌 跡 是 以 點 F(

16、4,0)為 焦 點 的 拋 物 線 . p/2=4, p=8. 又 因 為 焦 點 在 軸 的 正 半 軸 ,所 以 點 M的 軌 跡 方 程 為 y 2=16x. 小結 變 式 訓 練1.根 據 下 列 條 件 寫 出 拋 物 線 的 標 準 方 程 .(1)焦 點 是 （ 0， -3） ；(2)準 線 是 ；2.求 下 列 拋 物 線 的 焦 點 坐 標 與 準 線 方 程 .(1)y=8x 2 ；(2)x2+8y=0； 12x x2= -12yy2=2x焦 點 ， 準 線1(0, )32 132y焦 點 ， 準 線(0, 2) 2y感 悟 ： 求 拋 物 線 的 焦 點 坐 標 和 準

17、線 方 程 要 先 化 成 拋 物線 的 標 準 方 程 。感 悟 ： 用 待 定 系 數(shù) 法 求 拋 物 線 標 準 方 程 應 先 確 定 拋 物線 的 形 式 ， 再 求 p值 。 強 化 提 高根 據 下 列 條 件 寫 出 拋 物 線 的 標 準 方 程 .(1)焦 點 到 準 線 的 距 離 是 2；(2)焦 點 在 直 線 3x-4y-12=0上 。 關 鍵 ： 理 解 p的 幾 何 意 義 ，熟 記 標 準 方 程 四 種 形 式關 鍵 ： 標 準 方 程 表 示 的是 頂 點 在 原 點 ， 對 稱 軸為 坐 標 軸 的 拋 物 線解 ： 焦 點 到 準 線 的 距 離 為

18、2 p=2 又 焦 點 的 位 置 不 確 定 該 拋 物 線 標 準 方 程 有 四 種 形 式 y 2= 2px ， x2= 2py 此 拋 物 線 的 標 準 方 程 有 四 種 情 況 ： y2= 4x ， x2= 4y 解 ： 標 準 方 程 表 示 的 拋 物 線 的 焦 點 在 坐 標 軸上 ； 又 拋 物 線 的 焦 點 在 直 線 3x-4y-12=0上 ， 焦 點 就 是 直 線 與 坐 標 軸 的 交 點 ， 直 線 3x-4y-12=0與 x軸 的 交 點 是 （ 4， 0） ， 與 y軸 的 交 點 是（ 0， 3） ， 焦 點 坐 標 為 （ 4， 0） 或 （ 0

19、， 3） ； 當 焦 點 為 （ 4， 0） 時 標 準 方 程 為 y2=16x , 當 焦 點 為 （ 0， 3） 時 標 準 方 程 為 x2= 12y , 綜 上 ， 拋 物 線 標 準 方 程 為 y2=16x或 x2= 12y 例 2.已 知 拋 物 線 經 過 點 (-4,-2),求 它 的 標 準 方 程 .解 :若 拋 物 線 焦 點 在 x軸 上 ,設 它 的 標 準 方 程 為 y2=2mx, 由 于 點 (-4,-2)在 拋 物 線 上 ,故 有 (-2)2=2m(-4), 解 得 m=-1 ,故 此 時 所 求 標 準 方 程 為 y2=-x; 若 拋 物 線 的 焦 點 在 y軸 上 ,設 它 的 標 準 方 程 為 x2= my, 由 于 點 (-4,-2)在 拋 物 線 上 ,故 有 (-4)2= m(-2), 解 得 m=- ,故 此 時 所 求 標 準 方 程 為 x2=-8y; 綜 上 所 述 ,滿 足 題 意 的 拋 物 線 的 標 準 方 程 為 y 2=-x或 x2=-8y. 例 題 講 解 xyo (-4,-2) 小結