從廣義指數(shù)分布的分析左刪失數(shù)據(jù)講解

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1、 從廣義指數(shù)分布的分析左截尾數(shù)據(jù) Sharmishtha米特拉和 Debasis昆都 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計系 技術(shù)坎普爾印度理工學(xué)院 坎普爾 -208016，印度。 摘要 建議古普塔和昆都（ 1999）廣義指數(shù)分布在生存分析中占有很重要的壽 命分布，在每本每年， 我們認為廣義指數(shù)分布參數(shù)的最大似然估計方法， 當(dāng)數(shù)據(jù) 被留審查。我們獲得未知參數(shù)的最大似然估計，并獲得 Fisher 信息矩陣。 仿真 s tudies 都進行了觀察小樣本的估計量的性能。

2、 關(guān)鍵詞： 費舍爾信息，廣義指數(shù)分布，左截尾，最大似然估計。 1. 引言 廣義指數(shù)（ GE）的分布（古普塔和昆都， 1999）具有累積分布函數(shù)（ CDF） F ( x; , ) 1 e x ; , , x 0 ， 與相應(yīng)的概率密度函數(shù)（ PDF）由下式給出 f ( x; , ) 1 e x 1 x 為 x 0 。 e 這里 和 是的形狀和尺度參數(shù) s 時， GE 分布的形狀參數(shù) 和尺度 參數(shù) 將由記 GE ( , )

3、 ，它已知的 PDF兩參數(shù) GE分布的形狀非常相似， γ或 威布爾分布的相應(yīng)的形狀，它已在古普塔和昆杜（ 1999）觀察到，這兩個參數(shù) GE ( , ) 可以相當(dāng)有效地分析大量的數(shù)據(jù)的壽命， 特別是在這里的兩個參數(shù)伽瑪 或兩個參數(shù) Weibull 分布使用。 雙參數(shù) GE ( , ) 可以增加和減少故障率取決 于形狀參數(shù)。讀者可以參考 Raqab（2002），Raqab和 Ahsanullah（ 2001），鄭（2003年）和通用電氣配電的一些最新發(fā)展有引用的參考文獻。 雖然一些論文已經(jīng)出現(xiàn)了 GE分布的參數(shù)估計上完整的示例情況下，例如見古普塔和昆都（

4、2006b）的評論文章，但沒有太多的關(guān)注已經(jīng)支付的情況下，審 查的樣品。 這樣做的主要目的是考慮當(dāng)數(shù)據(jù)從左邊的一個 GE分布截尾未知參數(shù) 的統(tǒng)計分析。 我們得到的 GE分布左刪失數(shù)據(jù)的未知參數(shù)的最大似然估計 （極大 似然估計）。 據(jù)觀察，極大似然估計不能在明確的形式獲得和尺度參數(shù)的最大似 然估計可以通過求解非線性方程來獲得。 我們提出了一個簡單的迭代方案，解 決了非線性方程。 一旦獲得了尺度參數(shù)的極大似然估計，形狀參數(shù)的極大似然 估計可以明確的形式獲得。 我們還獲得了 Fisher 信息矩陣的顯式表達， 它已被 用來構(gòu)造未知參數(shù)的漸

5、近置信區(qū)間。 廣泛的模擬研究已經(jīng)進行，以觀察不同的 樣本大小和不同的參數(shù)值所提出的方法的行為， 并觀察到了所提方法的性能都相 當(dāng)令人滿意。 有一個廣泛的應(yīng)用左刪失或生存分析與可靠性理論左刪失數(shù)據(jù)和使用。 例如，在醫(yī)學(xué)研究中的病人須定期檢查。 發(fā)現(xiàn)一個條件只告訴我們，疾病的發(fā)病 下跌以來的時期之前的檢查和對攻擊的確切日期。 因此，時間過去了，因為發(fā)生了左審查。 同樣，我們估計確切的政策持續(xù)時間的函數(shù)時不知道 ING 策略條目的確切日期， 處理左刪失數(shù)據(jù)， 或估計的確切年齡的函數(shù)時， 不知道 ING 確切的出生日期上的“模式研究 ?。 f 醫(yī)療保險覆蓋面一個旺鄉(xiāng)一宗城市兒童

6、“ （科伯恩，麥克布萊德和齊勒， 2001）面對此問題，是由于農(nóng)村孩子的咒語是比例較高的發(fā)病率”左邊的樣品（即，那些孩子在審查“誰進入樣品未保險） ，以及誰在整個樣品仍沒有醫(yī)療保險。 然而，另一項研究（丹澤，尼科爾森和佩雷拉，2004年） 它使用超過 900行的數(shù)據(jù)估計在特定階段 （ 階段 1，2和3）生物技術(shù)及制藥研發(fā)的一個公司的整體體驗， 其在相關(guān)治療類別的經(jīng)驗， 研發(fā)成功率的影響在 1988-2000年期間的其跨類別的經(jīng)驗，在類行業(yè)的經(jīng)驗，并與大型和小型企 業(yè)聯(lián)盟的多樣化，只見那將數(shù)據(jù)從左邊設(shè)限受到影響。 發(fā)生這種情況，例如，當(dāng)?shù)?2階段試驗開始的，那里有在第一階段試驗沒有信息的特

7、定指示。應(yīng)用程序也可以追溯到計量經(jīng)濟模型，例如，對于共同決定工資和營業(yè)額。這里中，折后 對應(yīng)的似然函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)集被用于估算。 對于被設(shè)計為一個綜合配套的勞資面板數(shù)據(jù)集與工資相當(dāng)詳細的信息模型， 任職，經(jīng)驗和一系列其他協(xié)變 量，可以看出，原始的數(shù)據(jù)集可能包含已完成和未完成的作業(yè)法術(shù)。 作業(yè)持續(xù)時間可能是不完整的， 因為工作的法術(shù)開始時沒有觀察到， 這是左截尾（巴格爾， 2005年）的發(fā)生率。對于一些進一步的實施例中，人們可以參考維文（ 1989），維文瓦拉丁（1991），李（ 1980）等人。 本文的其余部分安排如下。 在第 2節(jié)我們得出的最大似然估計 GE (

8、 , ) 在 左截尾的存在。 在第 3節(jié)中，我們提供了 Fisher 信息陣的完整的列舉和討論。 仿真結(jié)果和討論在第 4節(jié)規(guī)定的限制 Fisher 信息矩陣的某些問題。 2. 最大似然估計 在本節(jié)中，最大似然估計  GE (  , )  均來自左審查意見的存在。  讓 X( r 1) ,..., X(  n)  是最后  n r 從大小的隨機樣本順序統(tǒng)計  n 以下  GE (  , )  分 布。

9、  X( r  1) ,..., X( n)  的則聯(lián)合概率密度函數(shù)由下式給出 f x(r 1) ,..., x( n ) ; , n! F ( x( r r f x( r ... f x( n ) r ! 1) ) 1) n n! 1 e

10、 x( r 1) r e x( i ) n 1 e x( i ) 1 (2.1) i r 1 . n r r ! i r 1 然后表示為對數(shù)似然函數(shù) L x(r 1) ,..., x( n ) ; , （或簡稱為 L

11、 , ）是 L , ln n! ln r ! n r ln n r ln r ln 1 e x( r 1) n x( i ) n ( 1) ln 1 e x(i ) . (2.2) i r 1 i r 1 用于導(dǎo)出

12、的最大似然估計的正規(guī)方程成為 L n r x(r 1) n x r ln 1 e ln 1 (i ) 0 (2.3) e i r 1 L n r r n x(i ) e x(i ) n a

13、nd x( r x( r 1) ( 1) x(i ) 0. (2.4) 1 e x(r 1) 1) e r 1 1 e x( i ) i r i 1 從（ 2.3 ），我們得到的最大似然估計 的一個函數(shù) ，說 ? ), 哪里 ( ? ) n r （2.5 ） ( x(r

14、 n x(i ) r ln 1 1) ln 1 e e i r 1 把 ? 在 （ 2.2 ） 我 們 得 到 的 配 置 文 件 數(shù) 似 然 ( ) L ?( ), ln n! ln r ! n r ln n r ln n r x(

15、 r 1) n r ln x(i ) 1 e ln 1 e i r 1 r ( n r ) ln 1 x (r 1) n e x(r 1) ln 1 e r ln 1 e i r 1 n r x(r 1) n ln 1 e r ln 1 e i r 1  x(i ) n x( i ) n 1 ln 1 e x(i

16、) x( i ) i r 1 i r 1 即 n n L ?( ), k n r ln x(i) i r 1 i r 1 (n r ) ln r ln 1 x(r 1) e  ln 1 e ln  x(i ) n ln 1 e x( i ) (2.6) i r 1 g ( ), say. 其中， k 在（2.6 ）是無關(guān)的常數(shù)

17、. 因此，最大似然估計 ，說 ?MLE ，可以通過 最大化（ 2.6 ）相對于得到 . 的最大化 可以觀察，從固定點的解決方案（ 1999b 古普塔和昆都）的最大化可以得到 h （2.7 ） 其中， h ( ) 從這一事實中獲得的 g( ) 0 和由下式給出 r x( r 1) e x(r 1) 1 n x( i ) x (r 1) h ( ) 1 e x(i )  n x( i) e

18、 i r 1 1 e n  x( i ) x( i )  1 . （ 2.8） n r i r 11 e r ln 1 x( r 1) e  ln 1 i r 1  x(i ) e 我們應(yīng)用迭代過程找到的（ 2.7 ）的溶液。 一旦我們得到 ? , 最大似然估計 MLE 說 ? 可以從（ 2.5 ）為獲得 ? 。 MLEMLE 3. 近似的，限流 Fisher 信息 MATRI國際消費電子展

19、 3.1 近似 Fisher 信息陣 在本小節(jié)中，我們首先得到 GE分布的未知參數(shù)時， 數(shù)據(jù)是左截尾， 它可以 被用來構(gòu)造漸近置信區(qū)間的近似費舍爾信息矩陣。費舍爾信息矩陣 I ( , ) 可 以寫成如下 ; I ( , ) 1 E 2 L 2 E 2 L . （ 3.1） n 2 L 2L E E 2

20、需要注意的是費舍爾信息矩陣的電子元素可以寫成 ; 2 L n r E 2 2 ， 2 L r X X ( r 1) n X (i ) 2 L E (r 1) e X( i ) e E （3.2） E X( r 1) i r 1 1 X (i ) 1 e e 和 2 L

21、 n r 2 e X (r 1) n 2 e X (i ) E E r X (r 1) 1 X (i ) 2 （ 3.3） 2 2 1 e X( r 2 i r 1 1 e X 1) ( i ) 因此，要計算（ 3.2 ）和（ 3.3 ）我們須取得的形式預(yù)期的顯式表達式 X( i ) e X (i ) X (2i ) e X( i ) for i r 1,..., n 。 需要注意的是

22、 i th E e X (i ) 和 E 1 e 2 次 1 X (i ) 序統(tǒng)計量的大小為 n 的隨機樣本密度下的 GE ( , ) 分布 fX (i ) (x) n! 1 e x ( i 1 1 e x n i 1 e x e x ; x 0 1)

23、 1 (i 1)!( n i )! 。 然后， X( i ) e X (i ) x 1 e x i 2 2 x 11 e x n i Cn, i dx E e X (i ) e 1 0

24、 Cn ,i 1 i 2 n i y ln y 1 y 1 1 y dy 0 n i n i 1 Cn, i ( n i k y ln y 1 y n k 2

25、1) k k 0 0 n i n i n k 2 Cn, i ( n i k ( 1) n k l 2 1) k k 0 l 0 1  dy n k 2 l y n k l 1 ln y dy 0 n i n i n k 2 n k 2 Cn, i ( n k)( 1) (i 2)

26、 ( l ( 1) k 1) l k 0 l 0 1 ; for n k l 0 (3.4) ( n k l )2 其中， Cn ,i n! 。 1)!( n i )! (i 同樣， 2 X( i ) n i X (i ) e x2 1 e x i 3 2 x 11 e x

27、 Cn ,i dx E 2 e X ( i ) 0 1 e n i n i n k 3 n k 3 Cn,i ( 1) (n k)( 1) (i 3) ( l 2 k 1) l k 0 l 0

28、 2 3 ; for n k l 0 (3.5) ( n k l ) （ 3.4 ）和（ 3.5 ）所使用的事實而獲得的 1 ( n ! 1 ; m n 1; n 0,1,2.... y m ln y dy 1) nn n 0 m 1 為 i n ， X (i ) n 2 n 2 X( i ) e n ( 1) n 2

29、( 1)l 1 2 ; n l 0 ， E X ( i ) l 1 e l 0 n l 和 2 X (i ) n 3 n 3 X(i ) e n 2 ( 1) n 3 ( 1)l 2 3 ; n l 1. E 2 l 1 e ( i ) l 0 n l X 3 .2 限流費舍爾信息陣 在這個小節(jié)中，我們探討的漸近效率，從而試圖獲得限制信息矩陣時，

30、 r n 收斂到，比方說， p 它位于 (0,1) 對于在時間點左側(cè)截尾觀測 T ，已經(jīng)通古普塔蘭 （ 2004）觀察到，限制費舍爾信息矩陣可以寫為 I ( b11 b12 (3.6) , ) b22 b21 其中 bij ( ln r ( x, ))( ln r ( x, )) f ( x; ) dx, T i j 和 ( , ), r (x, ) f ( x; ) , 反轉(zhuǎn)風(fēng)險函數(shù)。 此外，眾所周知，見鄭和

31、 F ( x; ) Gastwirth （2000），用于定位和規(guī)模的家庭， Fisher 信息矩陣的 I 型和 II 型（包括左和右刪失數(shù)據(jù)） 是漸近等價的。 它也是由鄭（ 2000）提到，一般情況下（不用于位置和規(guī)模的家庭）的結(jié)果為 II 型截尾的漸近費舍爾信息矩陣的數(shù)據(jù)（包括左，右）都不是很容易獲得。不幸的是， GE 大家庭不屬于的位置和規(guī)模家庭 和 W E無法獲得明確表示在這種情況下，限制費舍爾信息矩陣。 數(shù)值上，我們采取的研究 Fisher 信息矩陣的極限行為 n 5000 （假設(shè)它是非常大的），并將其與不同的小樣本和不同的 P

32、 值進行比較，數(shù)值結(jié)果公布在第 4節(jié)。 4. 數(shù)值結(jié)果與討論 在本節(jié)中，我們報告的廣泛模擬結(jié)果對不同的樣本大小， 對于不同的參數(shù)值，并針對不同的審查比例。 我們主要觀察的基礎(chǔ)上，極大似然估計的漸近分布擬極大似然估計和置信區(qū)間的表現(xiàn)。 極大似然估計的性能是基于其均方誤差（中小企業(yè)）和置信區(qū)間的性能是基于覆蓋百分比（ CPS）。 我們開始的一代  GE  ,  隨機抽樣。 需要注意的是，如果  U 以下是在一 個均勻分布的隨機變量  [0,1],  在  X  ln 1 U 1

33、  如下  GE  ,  。利采用 均勻隨機數(shù)發(fā)生器，通用電氣公司的隨機偏差的產(chǎn)生是直接的。 我們認為不同的樣品尺寸范圍從小到大。 自 為尺度參數(shù)和最大似然估計是尺度不變， 不失一 般性，我們以  1 在我們所有的計算和考慮不同的價值觀  。我們報告的平均 相對估計和超過 1000次重復(fù)針對不同的個案，平均相對中小企業(yè)。 我們計算的最大似然估計的參數(shù)是未知的時。 ?可以從（ 2.7 ）的固定點解決 方 案， 并獲 得  ?( )  可以 從（ 2.5 

34、 ） 獲得 的。 我們 認為 以下 的樣 本量 n 1 5,  2 0 , 5 0 , ，1而0  針對不同的樣本大小取為  = 0.25, 0.5, 1.0, 2.0 and 2.5. 左設(shè)限，我們離開了在每一個不同的組合的上述情況和整個數(shù)據(jù)的第一 10%和 20%，我們認為，每一種組合，產(chǎn)生一個大小從樣本 . 和 評估以及左截尾的給 定的給定的順序數(shù)據(jù)的情況下。 我們報告的平均值 ? ，所謂的相對估計，（也 因為如此參數(shù)的相對估計是 ?和也相應(yīng)的平均中小企業(yè) （ 1) 所有報告的結(jié)果 是基于

35、 1000次重復(fù)。 此外，使用漸近協(xié)度 CE矩陣得到的平均水平， 都形狀和尺度參數(shù)，并同時報告預(yù)計海灣憤怒的概率， 計算為次數(shù)的比例， 出的估計值的置信上限值 1000年重復(fù)，估計置信區(qū)間包含真正的參數(shù)值。 對應(yīng)的形狀參數(shù)的結(jié)果 ，對于不同的樣本大小列于表 1-4 和業(yè)績尺度參數(shù) 列于表 5-8 。 表 1.權(quán)平均相對估計，平均相對中小企業(yè)，置信度和覆蓋概率 何時 未知 ( n 15) 觀察號 平均相對 MSE 平均 平均 覆蓋 在左截尾 估計 拼箱 倫敦 p 大學(xué) robability

36、學(xué)院 0.25 3 1.2133 0.2896 0.1025 0.5041 0.9650 2 1.2090 0.2816 0.1128 0.4917 0.9630 0.50 3 1.2833 0.5381 0.1563 1.1270 0.9750 2 1.2591 0.4321 0.1863 1.0728 0.9750 1.00 3 1.3991 0.9235 0.1245 2.6736 0.9700 2 1.3503 1.0461 0.2184 2.4822 0.9750 2.

37、00 3 1.8132 2.2276 0.0000 8.5207 0.9580 2 1.4857 1.4957 0.0000 6.0154 0.9680 2.50 3 1.7451 3.7330 0.0000 9.8770 0.9620 2 1.4940 3.0090 0.0000 7.8995 0.9470 表 2.平均相對估計，平均相對中小企業(yè)，置信限和覆蓋概率 何時 未知 (n 20) 觀察號 平均相對 MSE 平均 平均 覆蓋 在左截尾 估計 拼箱 倫敦 P

38、 大學(xué) robability 學(xué)院 0.25 4 1.1341 0.1430 0.1233 0.4437 0.9740 2 1.1239 0.1279 0.1342 0.4277 0.9570 0.50 4 1.2109 0.2763 0.2181 0.9928 0.9740 2 1.1533 0.2165 0.2436 0.9096 0.9680 1.00 4 1.3051 0.4810 0.3125 2.2977 0.9760 2 1.2113 0.3270 0.399

39、5 2.0230 0.9620 2.00 4 1.4219 1.3320 0.1536 5.5341 0.9660 2 1.3037 0.5870 0.5063 4.7085 0.9700 2.50 4 1.4463 1.8454 0.0000 7.2910 0.9520 2 1.3013 0.5963 0.4804 6.0260 0.9740 表3.平均相對預(yù)測，平均相對中小企業(yè)，置信度和覆蓋概率 何時 未知 (n 50) 觀察號 平均相對 MSE 平均 平均 覆

40、蓋 在左截尾 估計 拼箱 倫敦 P 大學(xué) robability 學(xué)院 0.25 10 1.0518 0.0425 0.1703 0.3556 0.9560 5 1.0393 0.0334 0.1750 0.3446 0.9580 0.50 10 1.0640 0.0536 0.3245 0.7395 0.9500 5 1.0566 0.0422 0.1710 0.3573 0.9510 1.00 10 1.0892 0.0884 0.5967 1.5817

41、 0.9690 5 1.0933 0.0727 0.6480 1.5385 0.9490 2.00 10 1.1090 0.1262 1.0229 3.4132 0.9570 5 1.0857 0.0941 1.1374 3.2053 0.9710 2.50 10 1.1185 0.1466 1.1974 4.3951 0.9660 5 1.1063 0.1127 1.3 4.1633 0.9550 680 表 4.平均相對預(yù)測，平均相對中小企業(yè)，置信度和覆蓋概率 何

42、時 未知 (n 100) 觀察號 平均相對 MSE 平均 平均 覆蓋 在左截尾 ?stimate 拼箱 倫敦 P 大學(xué) robability 學(xué)院 0.25 20 1.0361 0.0190 0.1947 0.3233 0.9570 10 1.0239 0.0156 0.1970 0.3149 0.9550 0.50 20 1.0342 0.0234 0.3756 0.6586 0.9570 10 1.0327 0.0189 0.3869 0.6

43、457 0.9550 1.00 20 1.0375 0.0315 0.7111 1.3640 0.9570 10 1.0383 0.0260 0.7436 1.3330 0.9510 2.00 20 1.0558 0.0508 1.3230 2， 0.9540 9002 10 1.0501 0.0392 1.4028 2.7975 0.9570 2.50 20 1.06 80 0.0510 1.6120 3.7282 0.9640 10 1.0382 0.0354 1.6898

44、3.5012 0.9650 表 5.平均相對預(yù)測，平均相對中小企業(yè)，置信度和覆蓋概率 何時 未知 (n 15) 觀察號 平均相對 MSE 平均 平均 覆蓋 在左截尾 估計 拼箱 倫敦 可能 大學(xué) 性 學(xué)院 0.25 3 1.4862 1.5186 0.0000 2.9978 0.9690 2 1.5140 1.6061 0.0000 3.0353 0.9590 0.50 3 1.3227 0.5718 0.2549 2

45、.3904 0.9570 2 1.2930 0.6331 0.2701 2.3159 0.9500 1.00 3 1.2291 0.3111 0.3942 2.0640 0.9470 2 1.2423 0.3049 0.4202 2.0644 0.9590 2.00 3 1.1790 0.2069 0.4675 1.8904 0.9500 2 1.1792 0.1887 0.4945 1.8595 0.9530 2.50 3 1.2119 0.2086 0.5050 1.9188 0.9510 2

46、 1.1378 0.1701 0.4939 1.7817 0.9460 表 6.平均相對預(yù)測，平均相對中小企業(yè)，置信度和覆蓋概率 何時 未知 (n 20) 觀察號 平均相對 MSE 平均 平均 覆蓋 在左截尾 估計 拼箱 倫敦 可能 大學(xué) 性 學(xué)院 0.25 4 1.3296 0.7683 0.1322 2.5271 0.9590 2 1.3473 0.8900 0.1519 2.5427 0.9560 0.50 4 1.2

47、394 0.3360 0.3636 2.1152 0.9570 2 1.1871 0.2686 0.3614 2.0129 0.9500 1.00 4 1.2025 0.2183 0.4902 1.9148 0.9530 2 1.1393 0.1479 0.4845 1.7940 0.9570 2.00 4 1.1515 0.1399 0.5453 1.7577 0.9400 2 1.1420 0.1254 0.5728 1.7112 0.9440 2.50 4 1.1333 0.1348 0.553

48、7 1.7129 0.9410 2 1.1093 0.0985 0.5727 1.6458 0.9470 表7.平均相對預(yù)測，平均相對中小企業(yè)，置信度和覆蓋概率 何時 未知 (n 50) 觀察號 平均相對 MSE 平均 平均 覆蓋 在左截尾 估計 拼箱 倫敦 可能 大學(xué) 性 學(xué)院 0.25 10 1.1088 0.1418 0.4609 1.7567 0.9570 5 1.1129 0.1587 0.46

49、99 1.7559 0.9550 0.50 10 1.0747 0.0729 0.5775 1.5720 0.9530 5 1.1039 0.1380 0.4596 1.7482 0.9620 1.00 10 1.0613 0.0538 0.6507 1.4719 0.9470 5 1.0787 0.0553 0.6802 1.4772 0.9500 2.00 10 1.0438 0.0374 0.6877 1.3999 0.9440 5 1.0438 0.0346 0.7070 1.3805 0.9

50、460 2.50 10 1.0483 0.0368 0。 1.3946 0.9510 7021 5 1.0466 0.0311 0.7214 1.3718 0.9480 表8.平均相對預(yù)測，平均相對中小企業(yè)，置信度和覆蓋概率 何時 未知 (n  100) 觀察號 在左截尾  平均相對 ?stimate  MSE  平均 拼箱  平均 倫敦 大學(xué)  覆蓋 可能 性

51、 學(xué)院 0.25 20 1.0622 0.0585 0.6207 1.5036 0.9560 10 1.0618 0.0563 0.6402 1.4982 0.9510 0.50 20 1.0325 0.0319 0.6921 1.3729 0.9510 10 1.0417 0.0315 0.7076 1.3758 0.9540 1.00 20 1.0294 0.0224 0.7451 1.3246 0.9530 10 1.0301 0.0225 0.7579 1.3023

52、 0.9460 2.00 20 1.0305 0.0190 0.7807 1.2804 0.9430 10 1.0273 0.0170 0.7921 1.2625 0.9430 2.50 20 1.0304 0.0153 0.7887 1.2720 0.9620 10 1.0188 0.0133 0.7935 1.2441 0.9550 從模擬結(jié)果中， 我們觀察到左截尾的固定水平， 樣本量增加了偏見和估計的 平均相對 MSE相當(dāng)迅速下降。 例如，對于 10％左截尾數(shù)據(jù)和 何時 n 15 ，形 狀參數(shù)的

53、估計值的平均相對 MSE 2, 是 1.4957 從而降低至 0.5870 為 n 20, 0.0941 為 n 50 和 0.0392 為 n 100. 類似的趨勢是觀察形狀選取參數(shù)值的其他水 平和審查水平（ 20％）。這正說明了一個事實，即估計量是一致的，接近真實參數(shù)值作為樣本大小的增加。 此外，左截尾的固定水平， 樣本量增加了置信區(qū)間的 長度也減少了顯著保持在 0.95 左右，以0.98 的覆蓋概率。 例如，對于 10％的截尾級并 n 15 ，置信區(qū)間的平均長度為 0.25 是 0.3789 ，這會降低到 0.2935 的 n 20,  0

54、.1696  為 n  50 和0.1179 的 n  100 ，全部用 0.96 的覆蓋概率。注意，在 表 1，表 2和圖 5對一些 ，拼箱貨的都是零。實際上，它們是負的，因為 0 ， 我們強行截斷他們在 0我們也觀察到，對于一個固定的樣本量，估計量的性能惡化左刪失的觀測數(shù)量的增加， 這是審查的自然后果。 劣化的程度卻是不顯著氈為 中度至高度的樣品量（樣品尺寸 50和100）。它進一步指出，對于一個固定的 SA 投影機的簡易大小和審查的一個固定的水平， 估計的平均相對 MSE和相應(yīng)的置信 區(qū)間的長度增加為形狀參數(shù)

55、的值 增加。 這表明下來氟米特噸形狀參數(shù)設(shè)限變 得困難時標(biāo)的 GE分布的形狀參數(shù)的值是大的那個估算，這可能表明，載于左截 尾數(shù)據(jù)的費舍爾信息可以是一個遞減函數(shù) 。 現(xiàn)在，我們研究費舍爾信息矩陣的極限行為 n 。既然是不可能的解 析計算它，我們就非常大 n （ n 5000 ），并計算 I ( , ) 如在（ 3.1 ）中所定 義。我們計算 1 E( 2 L ) 和 1 E( 2L2 ) 針對不同的 n, r 和 值，并報告結(jié)果見表 9， n n 對應(yīng)于每一

56、n(r ) 和 值，所述第一和第二數(shù)字代表 1 2L 1 2L 元。 E( ) 和 E( 2 ) n n 我 們主 要比 較 1 E( 2 L ) 和 n 5000 為 1 E( 2 L2 ) 同 n 5000 針 對不 同的 n n p r 值。 我們不報告 1 E( 2 L2 ) ，貝科用于所有 n 它是恒定的，如果 r np 。 n n 結(jié)果列于下表中。

57、 表 9：近似和漸近 Fisher 信息矩陣的元素 N（ R） α = 0.25 α= 0.50 α = 1.00 α= 2.00 α = 2.50 15（ 3） （ 0.2630 ， （ 0.4417 ， （ 0.6391 ， （ 0.7828 ， （ 0.8202 ， 20（ 4） 0.5933 ） 0.6312） 0.9982 ） 1.9628） 2.4629 ） 50（ 10） （ 0.2641 ， （ 0.4432 ，

58、 （ 0.6322 ， （ 0.7834 ， （ 0.8207 ， 100（ 20） 0.5948 ） 0.6318） 0.998 5 ） 1.9630） 2.4631 ） 5000 （ 0.2668 ， （ 0.4455 ， （ 0.6336 ， （ 0.7843 ， （ 0.8215 ， （1000 ） 0.5974 ） 0.6328） 0.9989 ） 1.9632） 2.4633 ） （ 0.2679 ， （ 0.4464 ， （ 0.6334 ， （

59、 0.7843 ， （ 0.8215 ， 0.5983 ） 0.6333） 0.9991 ） 1.9630） 2.4631 ） （ 0.2687 ， （ 0.4467 ， （ 0.6340 ， （ 0.7842 ， （ 0.8214 ， 0.5994 ） 0.6339） 0.9991 ） 1.9629） 2.4630 ） 15（ 2） （ 0.2836 ， （ 0.4552 ， （ 0.6386 ， （ 0.7866 ， （ 0.82

60、34 ， 20（ 2） 0.6005 ） 0.6340） 0.9993 ） 1.9632） 2.4633 ） 50（ 5） （ 0.2927 ， （ 0.4609 ， （ 0.6418 ， （ 0.7885 ， （ 0.8248 ， 100（ 1 0） 0.6031 ） 0.6350） 0.9997 ） 1.9635） 2.4636 ） 5000（ 5 00 ） （ 0.2946 ， （ 0.4622 ， （ 0.6426 ， （ 0.7889 ， （ 0.8252

61、 ， 0.6039 ） 0.6352） 0.9999 ） 1.9636） 2.4636 ） （ 0.2955 ， （ 0.4626 ， （ 0.6426 ， （ 0.7888 ， （ 0.8251 ， 0.6042 ） 0.6355） 0.9999 ） 1.9634） 2.4634 ） （ 0.2958 ， （ 0.4625 ， （ 0.6423 ， （ 0.7886 ， （ 0.8249 ， 0.6047 ） 0.6358） 1.0000

62、） 1.9633） 2.4633 ） 從表中的結(jié)果很明顯，即使是小樣本，即 n 15 或20 1 E( 2 L ) 和 1 E( 2 L2 ) n n 與匹配得很好 lim 1 E( 2 L ) 和 lim 1 E( 2 L ) 元。它證明了利用近似費舍爾信息 n n n 2 n 矩陣繪制廣義指數(shù)分布，未知參數(shù)的推斷磨片 n 為數(shù)據(jù)留審查。

63、 鳴謝 作者要謝天謝地裁判對他 / 她非常寶貴的意見和建設(shè)性的建議。作者還要感謝副主編張穎教授的鼓勵。 參考文獻 1. J. 巴格爾（ 2005），“工資增長與營業(yè)額在丹麥”奧胡斯大學(xué)，丹麥， 2005年3 月。 2. 北維文（ 1989），在可靠性工程學(xué)報，卷“大約瑞利分布與審查的尺度參數(shù)的極大似然估計”。 38 ，第 3期， 355-357 。 3. 北維文和 J. Varadan （1991），“大約極大似然估計與審查的極值分布的位置和尺度參數(shù)”的可靠性，卷， IEEE 交易。 40 ，第 2期，

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