《電磁場(chǎng)與電磁波》ppt教案-04恒定電流場(chǎng)

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1、第 四 章 恒 定 電 流 場(chǎng) 主 要 內(nèi) 容電 流 ， 電 動(dòng) 勢(shì) ， 電 流 連 續(xù) 性 原 理 ， 能 量 損 耗 。1. 電 流 及 電 流 強(qiáng) 度 分 類 ： 傳 導(dǎo) 電 流 與 運(yùn) 流 電 流 。 傳 導(dǎo) 電 流 是 導(dǎo) 體 中 的 自 由 電 子 （ 或 空 穴 ） 或 者 是 電 解 液 中 的 離 子運(yùn) 動(dòng) 形 成 的 電 流 。 運(yùn) 流 電 流 是 電 子 、 離 子 或 其 它 帶 電 粒 子 在 真 空 或 氣 體 中 運(yùn) 動(dòng) 形 成 的 電 流 。 電 流 強(qiáng) 度 ： 單 位 時(shí) 間 內(nèi) 穿 過(guò) 某 一 截 面 的 電 量 ， 又 簡(jiǎn) 稱 為 電 流 ，以 I 表 示

2、 。 電 流 的 單 位 為 A（ 安 培 ） 。 因 此 ， 電 流 I 與 電 荷 q 的 關(guān) 系 為 tqI dd 電 流 密 度 ： 是 一 個(gè) 矢 量 ， 以 J 表 示 。 電 流 密 度 的 方 向 為 正 電 荷的 運(yùn) 動(dòng) 方 向 ， 其 大 小 為 單 位 時(shí) 間 內(nèi) 垂 直 穿 過(guò) 單 位 面 積 的 電 荷 量 。 因 此 ， 穿 過(guò) 任 一 有 向 面 元 dS 的 電 流 dI 與 電 流 密 度 J 的 關(guān) 系 為 SJ dd I 那 么 ， 穿 過(guò) 任 一 截 面 S 的 電 流 I 為 SI d SJ此 式 表 明 ， 穿 過(guò) 某 一 截 面 的 電 流 等 于

3、 穿 過(guò) 該 截 面 電 流 密 度 的 通 量 。 在 外 源 的 作 用 下 ， 大 多 數(shù) 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 某 點(diǎn) 的 傳 導(dǎo) 電 流 密 度 J 與 該點(diǎn) 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 E 成 正 比 ， 即 EJ 式 中 稱 為 電 導(dǎo) 率 ， 其 單 位 為 S/m 。 值 愈 大 表 明 導(dǎo) 電 能 力 愈 強(qiáng) ，即 使 在 微 弱 的 電 場(chǎng) 作 用 下 ， 也 可 形 成 很 強(qiáng) 的 電 流 。 上 式 又 稱 為 歐 姆 定 律 的 微 分 形 式 。IRU 電 導(dǎo) 率 為 無(wú) 限 大 的 導(dǎo) 體 稱 為 理 想 導(dǎo) 電 體 。 顯 然 ， 在 理 想 導(dǎo) 電 體中 ， 無(wú) 需

4、電 場(chǎng) 推 動(dòng) 即 可 形 成 電 流 。 由 上 式 可 見(jiàn) ， 在 理 想 導(dǎo) 電 體 中 是不 可 能 存 在 恒 定 電 場(chǎng) 的 ， 否 則 ， 將 會(huì) 產(chǎn) 生 無(wú) 限 大 的 電 流 ， 從 而 產(chǎn) 生無(wú) 限 大 的 能 量 。 但 是 ， 任 何 能 量 總 是 有 限 的 。電 導(dǎo) 率 為 零 的 媒 質(zhì) ， 不 具 有 導(dǎo) 電 能 力 ， 這 種 媒 質(zhì) 稱 為 理 想 介 質(zhì) 。 71017.6 71080.5 310 71010.4 510 71054.3 1110 71057.1 1210 710 1510 媒 質(zhì) 電 導(dǎo) 率 (S/m) 媒 質(zhì) 電 導(dǎo) 率 (S/m)銀

5、 海 水 4紫 銅 淡 水金 干 土鋁 變 壓 器 油黃 銅 玻 璃鐵 橡 膠 運(yùn) 流 電 流 的 電 流 密 度 并 不 與 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 成 正 比 ， 而 且 電 流 密 度 的方 向 與 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 的 方 向 也 可 能 不 同 。 可 以 證 明 運(yùn) 流 電 流 的 電 流 密 度J 與 運(yùn) 動(dòng) 速 度 v 的 關(guān) 系 為 vJ 式 中 為 電 荷 密 度 。 與 介 質(zhì) 的 極 化 特 性 一 樣 ， 媒 質(zhì) 的 導(dǎo) 電 性 能 也 表 現(xiàn) 出 均 勻 與 非 均勻 ， 線 性 與 非 線 性 以 及 各 向 同 性 與 各 同 異 性 等 特 點(diǎn) ， 這 些 特 性 的

6、含義 與 前 相 同 。 上 述 公 式 僅 適 用 于 各 向 同 性 的 線 性 媒 質(zhì) 。 2. 電 動(dòng) 勢(shì) 如 圖 所 示 ， 首 先 將 外 接 的 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 移 去 ， 討 論 開(kāi) 路 情 況 下 外 源 內(nèi) 部的 作 用 過(guò) 程 。 在 外 源 中 非 靜 電 力 作 用 下 ， 正 電 荷 不斷 地 移 向 正 極 板 P ， 負(fù) 電 荷 不 斷 地 移 向 負(fù)極 板 N。 極 板 上 的 電 荷 在 外 源 中 形 成 電 場(chǎng) E ， 其 方 向 由 正 極 板 指 向 負(fù) 極 板 ， 而 且 隨著 極 板 上 電 荷 的 增 加 不 斷 增 強(qiáng) 。E導(dǎo) 電 媒 質(zhì) P

7、 N E外 源 顯 然 ， 由 極 板 上 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 場(chǎng) 力 阻止 正 電 荷 繼 續(xù) 向 正 極 板 移 動(dòng) ， 同 時(shí) 也 阻 止負(fù) 電 荷 繼 續(xù) 向 負(fù) 極 板 移 動(dòng) ， 一 直 到 極 板 電荷 產(chǎn) 生 的 電 場(chǎng) 力 等 于 外 源 中 的 非 電 力 時(shí) ，外 源 的 電 荷 運(yùn) 動(dòng) 方 才 停 止 ， 極 板 上 的 電 荷也 就 保 持 恒 定 。 既 然 外 源 中 的 非 靜 電 力 表 現(xiàn) 為 對(duì) 于 電 荷 的 作 用 力 ， 因 此 ， 通 常 認(rèn)為 這 種 非 靜 電 力 是 由 外 源 中 存 在 的 外 電 場(chǎng) 產(chǎn) 生 的 ， 其 電 場(chǎng) 強(qiáng)

8、度 仍 然 定義 為 對(duì) 于 單 位 正 電 荷 的 作 用 力 ， 以 E表 示 。 由 于 外 電 場(chǎng) 使 正 電 荷 移向 正 極 板 ， 負(fù) 電 荷 移 向 負(fù) 極 板 ， 因 此 ， 外 電 場(chǎng) 的 方 向 由 負(fù) 極 板 指 向 正極 板 。 可 見(jiàn) ， 在 外 源 中 外 電 場(chǎng) E 的 方 向 與 極 板 電 荷 形 成 的 電 場(chǎng) E 的方 向 恰 好 相 反 。 當(dāng) 外 源 中 的 外 電 場(chǎng) 與 極 板 電 荷 的 電 場(chǎng) 等 值 反 向 時(shí) ， 外源 中 合 成 電 場(chǎng) 為 零 ， 電 荷 運(yùn) 動(dòng) 停 止 。 若 外 源 的 極 板 之 間 接 上 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) ，

9、正 極 板 上 的 正 電 荷 通 過(guò) 導(dǎo) 電 媒質(zhì) 移 向 負(fù) 極 板 ； 負(fù) 極 板 上 的 負(fù) 電 荷 通 過(guò) 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 移 向 正 極 板 。 因 而 導(dǎo)致 極 板 上 電 荷 減 少 ， 使 得 外 源 中 由 極 板 電 荷 形 成 的 電 場(chǎng) E 小 于 外 電 場(chǎng) ， 外 電 場(chǎng) 又 使 外 源 中 的 正 負(fù) 電 荷 再 次 移 動(dòng) ， 外 源 不 斷 地 向 正 極 板 補(bǔ) 充 新的 正 電 荷 ， 向 負(fù) 極 板 補(bǔ) 充 新 的 負(fù) 電 荷 。 由 上 可 見(jiàn) ， 極 板 上 的 電 荷 通 過(guò) 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 不 斷 流 失 ， 外 源 又 不斷 地 向 極 板

10、補(bǔ) 充 新 電 荷 ， 從 而 維 持 了 連 續(xù) 不 斷 的 電 流 。 因 此 ， 為了 在 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 產(chǎn) 生 連 續(xù) 不 斷 的 電 流 ， 必 須 依 靠 外 源 。 當(dāng) 達(dá) 到 動(dòng) 態(tài) 平 衡 時(shí) ， 極 板 上 的 電 荷 分 布 保 持 不 變 。 這 樣 ， 極板 電 荷 在 外 源 中 以 及 在 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 產(chǎn) 生 恒 定 電 場(chǎng) ， 且 在 外 源 內(nèi) 部保 持 ， 在 包 括 外 源 及 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 的 整 個(gè) 回 路 中 維 持 恒 定 的 電流 。 EE 注 意 ， 極 板 上 的 電 荷 分 布 雖 然 不 變 ， 但 是 極 板 上 的 電

11、 荷 并 不是 靜 止 的 。 它 們 是 在 不 斷 地 更 替 中 保 持 分 布 特 性 不 變 ， 因 此 ， 這種 電 荷 稱 為 駐 立 電 荷 。 駐 立 電 荷 是 在 外 源 作 用 下 形 成 的 ， 一 旦 外 源 消 失 ， 駐 立 電 荷 也 將 隨 之 逐 漸 消 失 。 外 電 場(chǎng) 由 負(fù) 極 板 N 到 正 極 板 P 的 線 積 分 稱 為 外 源 的 電 動(dòng) 勢(shì) ， 以e 表 示 ， 即 lE d PNe達(dá) 到 動(dòng) 態(tài) 平 衡 時(shí) ， 在 外 源 內(nèi) 部 ， 所 以 上 式 又 可 寫 為 EE lE d PNe考 慮 到 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 ， ， 那 么

12、 ， 上 式 可 寫 成 EJ l 0d lJ 駐 立 電 荷 產(chǎn) 生 的 恒 定 電 場(chǎng) 與 靜 止 電 荷 產(chǎn) 生 的 靜 電 場(chǎng) 一 樣 ， 也 是一 種 保 守 場(chǎng) 。 因 此 ， 它 沿 任 一 閉 合 回 路 的 線 積 分 應(yīng) 為 零 ， 即 l 0d lE 對(duì) 于 均 勻 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) ， 上 式 變 為 l 0d lJ根 據(jù) 斯 托 克 斯 定 理 ， 求 得 上 兩 式 的 微 分 形 式 如 下 ：0 J 0 J可 見(jiàn) ， 均 勻 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 ， 恒 定 電 流 場(chǎng) 是 無(wú) 旋 的 。 3. 電 流 連 續(xù) 性 原 理 設(shè) 閉 合 面 S 包 圍 的 體 積 V

13、 中 駐 立 電 荷 的 體 密 度 為 ， 則 V Vq d VttqS V dd SJ那 么 ，已 知 恒 定 電 流 場(chǎng) 中 的 電 荷 分 布 與 時(shí) 間 無(wú) 關(guān) ， 即 ， 由 此 得 0t S 0d SJ此 式 表 明 ， 在 恒 定 電 流 場(chǎng) 中 ， 電 流 密 度 通 過(guò) 任 一 閉 合 面 的 通 量 為 零 。如 果 以 一 系 列 的 曲 線 描 述 電 流 場(chǎng) ， 令 曲 線 上 各 點(diǎn) 的 切 線 方 向 表 示 該點(diǎn) 電 流 密 度 的 方 向 ， 這 些 曲 線 稱 為 電 流 線 。 那 么 ， 電 流 線 是 連 續(xù) 閉合 的 。 它 和 電 場(chǎng) 線 不 同

14、 ， 電 流 線 沒(méi) 有 起 點(diǎn) 和 終 點(diǎn) ， 這 一 結(jié) 論 稱 為 電流 連 續(xù) 性 原 理 。 根 據(jù) 高 斯 定 理 ， 求 得 t J上 式 為 電 荷 守 恒 原 理 的 微 分 形 式 。 因 此 ， 對(duì) 于 恒 定 電 流 場(chǎng) ， 得0 J此 式 表 明 ， 恒 定 電 流 場(chǎng) 是 無(wú) 散 的 。 4. 恒 定 電 流 場(chǎng) 的 邊 界 條 件已 知 恒 定 電 流 場(chǎng) 方 程 的 積 分 形 式 為 l 0d lJ S 0d SJ0 J 0 J對(duì) 應(yīng) 的 微 分 形 式 為 由 積 分 形 式 的 恒 定 電 流 場(chǎng) 方 程 導(dǎo) 出 邊 界 兩 側(cè) 電 流 密 度 的 切 向

15、分 量 關(guān) 系 為 2t21t1 JJ 而 邊 界 兩 側(cè) 電 流 密 度 的 法 向 分 量 關(guān) 系 為 2n1n JJ 由 此 可 見(jiàn) ， 在 兩 種 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 的 邊 界 上 ， 電 流 密 度 矢 量 的 切 向 分 量 是不 連 續(xù) 的 ， 但 其 法 向 分 量 連 續(xù) 。 已 知 ， 那 么 根 據(jù) 上 述 恒 定 電 流 場(chǎng) 的 邊 界 條 件 可 以 導(dǎo) 出 導(dǎo)電 媒 質(zhì) 中 恒 定 電 場(chǎng) 的 邊 界 條 件 為 EJ n221n1 2tt1 EE EE 已 知 理 想 導(dǎo) 電 體 內(nèi) 部 不 可 能 存 在 電 場(chǎng) ， 那 么 ， 理 想 導(dǎo) 電 體 表面 不 可

16、能 存 在 切 向 電 場(chǎng) ， 因 而 也 不 可 能 存 在 切 向 恒 定 電 流 。 當(dāng) 電流 由 理 想 導(dǎo) 電 體 流 出 進(jìn) 入 一 般 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 時(shí) ， 電 流 線 總 是 垂 直 于 理想 導(dǎo) 電 體 表 面 。5. 恒 定 電 流 場(chǎng) 的 能 量 損 耗 在 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 ， 自 由 電 子 移 動(dòng) 時(shí) 要 與 原 子 晶 格 發(fā) 生 碰 撞 ， 結(jié) 果產(chǎn) 生 熱 能 ， 這 是 一 種 不 可 逆 的 能 量 轉(zhuǎn) 換 。 這 種 能 量 損 失 將 由 外 源 不斷 補(bǔ) 給 ， 以 維 持 恒 定 的 電 流 。 設(shè) 在 恒 定 電 流 場(chǎng) 中 ， 沿 電 流

17、方 向 取一 個(gè) 長(zhǎng) 度 為 dl， 端 面 為 dS 的 小 圓 柱 體 ， 如 圖 所 示 。 dlU J dS 圓 柱 體 的 端 面 分 別 為 兩 個(gè) 等 位 面 。 若 在 電 場(chǎng) 力 作 用 下 ， d t 時(shí) 間內(nèi) 有 d q電 荷 自 圓 柱 的 左 端 面 移 至 右 端 面 ， 那 么 電 場(chǎng) 力 作 的 功 為 lqEqW ddddd lE電 場(chǎng) 損 失 的 功 率 P 為 lSEJlEIltqEtWP dddddddd 那 么 ， 單 位 體 積 中 的 功 率 損 失 為 22 JEEJpl 當(dāng) J 和 E 的 方 向 不 同 時(shí) ， 上 式 可 以 表 示 為 下

18、 面 一 般 形 式 JE lp此 式 稱 為 焦 耳 定 律 的 微 分 形 式 ， 它 表 示 某 點(diǎn) 的 功 率 損 耗 等 于 該 點(diǎn) 的電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 與 電 流 密 度 的 標(biāo) 積 。 設(shè) 圓 柱 體 兩 端 的 電 位 差 為 U， 則 ， 又 知 ， 那 么單 位 體 積 中 的 功 率 損 失 可 表 示 為 lUE d SIJ dVUIlSUIpl ddd 可 見(jiàn) ， 圓 柱 體 中 的 總 功 率 損 失 為 UIVpP l d這 就 是 電 路 中 的 焦 耳 定 律 。 例 1 已 知 一 平 板 電 容 器 由 兩 層 非 理 想 介 質(zhì) 串 聯(lián) 構(gòu) 成 ， 如 圖

19、 示 。 其介 電 常 數(shù) 分 別 為 1 和 2 ， 電 導(dǎo) 率 分 別 為 1 和 2 ， 厚 度 分 別 為 d1 和 d2 。 當(dāng) 外 加 恒 定 電 壓 為 V 時(shí) ， 試 求 兩 層 介 質(zhì) 中 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 ， 單 位體 積 中 的 電 場(chǎng) 儲(chǔ) 能 及 功 率 損 耗 。 1 1 2 2 d1d2U 解 由 于 電 容 器 外 不 存 在 電 流 ， 可 以認(rèn) 為 電 容 器 中 的 電 流 線 與 邊 界 垂 直 ，求 得 2211 EE UdEdE 2211又由 此 求 出 兩 種 介 質(zhì) 中 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 分 別 為 UddE 1221 21 UddE 1221

20、 12 兩 種 介 質(zhì) 中 電 場(chǎng) 儲(chǔ) 能 密 度 分 別 為 22222111 21 ,21 EwEw ee 兩 種 介 質(zhì) 中 單 位 體 積 的 功 率 損 耗 分 別 為 22222111 , EpEp ll 兩 種 特 殊 情 況 值 得 注 意 ：0 2 01 E 01 ew 01 lp 22 dUE 當(dāng) 時(shí) ， ， ， ， 。當(dāng) 時(shí) ， ， ， ， 。01 11 dUE 02 E 02 ew 02 lpd1d2 1= 0E 2= 0U E 1= 0 2= 0U 例 2 設(shè) 一 段 環(huán) 形 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) ， 其 形 狀 及 尺 寸 如 圖 示 。 計(jì) 算 兩 個(gè) 端 面之 間 的

21、 電 阻 。 Uy xt a br 0(r,)0 解 顯 然 ， 必 須 選 用 圓 柱 坐 標(biāo) 系 。 設(shè) 兩個(gè) 端 面 之 間 的 電 位 差 為 U， 且 令 當(dāng) 角 度 時(shí) ， 電 位 。0 01 當(dāng) 角 度 時(shí) ， 電 位 。2 U 2那 么 ， 由 于 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 的 電 位 僅 與 角 度 有 關(guān) ， 因 此 電 位 滿 足的 方 程 式 為 0dd 22 此 式 的 通 解 為 21 CC 利 用 給 定 的 邊 界 條 件 ， 求 得 U2 rUr 2eeEJ 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 的 電 流 密 度 J 為 那 么 由 的 端 面 流 進(jìn) 該 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 的 電

22、流 I 為 2 )d (2d rtrUI S eeSJS abUtrrUt ba ln2d2 因 此 該 導(dǎo) 電 塊 的 兩 個(gè) 端 面 之 間 的 電 阻 R 為 abtIVR ln2 6. 恒 定 電 流 場(chǎng) 與 靜 電 場(chǎng) 的 比 擬 已 知 無(wú) 外 源 區(qū) 中 均 勻 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 內(nèi) 的 恒 定 電 流 場(chǎng) 方 程 和 無(wú) 源 區(qū) 中均 勻 介 質(zhì) 內(nèi) 的 靜 電 場(chǎng) 方 程 如 下 ： 恒 定 電 流 場(chǎng))0( E 靜 電 場(chǎng) )0( 0d l lJ 0d l lE0d S SJ 0d S SE0 J 0 E0 J 0 E可 見(jiàn) ， 兩 者 非 常 相 似 ， 恒 定 電 流 場(chǎng)

23、 的 電 流 密 度 J 相 當(dāng) 于 靜 電 場(chǎng) 的 電場(chǎng) 強(qiáng) 度 E， 電 流 線 相 當(dāng) 于 電 場(chǎng) 線 。 因 此 ， 當(dāng) 恒 定 電 流 場(chǎng) 與 靜 電 場(chǎng) 的 邊 界 條 件 相 同 時(shí) ， 電 流 密 度 的分 布 與 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 的 分 布 特 性 完 全 相 同 。 根 據(jù) 這 種 類 似 性 ， 可 以 利 用已 經(jīng) 獲 得 的 靜 電 場(chǎng) 的 結(jié) 果 直 接 求 解 恒 定 電 流 場(chǎng) 。 或 者 由 于 在 某 些 情況 下 ， 恒 定 電 流 場(chǎng) 容 易 實(shí) 現(xiàn) 且 便 于 測(cè) 量 時(shí) ， 可 用 邊 界 條 件 與 靜 電 場(chǎng)相 同 的 電 流 場(chǎng) 來(lái) 研 究 靜

24、 電 場(chǎng) 的 特 性 ， 這 種 方 法 稱 為 靜 電 比 擬 。 例 如 ， 兩 電 極 間 的 電 流 場(chǎng) 與 靜 電 場(chǎng) 對(duì) 應(yīng) 分 布 如 下 圖 示 ： P N電 流 場(chǎng) P N靜 電 場(chǎng)那 么 ， 利 用 已 經(jīng) 獲 得 的 靜 電 場(chǎng) 結(jié) 果 可 以 求 解 恒 定 電 流 場(chǎng) 。 CR CG 利 用 兩 種 場(chǎng) 方 程 ， 可 以 求 出 兩 個(gè) 電 極 之 間 的 電 阻 及 電 導(dǎo) 與 電 容的 關(guān) 系 為若 已 知 兩 電 極 之 間 的 電 容 ， 根 據(jù) 上 述 兩 式 ， 即 可 求 得 兩 電 極 間 的 電阻 及 電 導(dǎo) 。 例 如 ， 已 知 面 積 為 S ， 間 距 為 d 的 平 板 電 容 器 的 電 容 ，若 填 充 的 非 理 想 介 質(zhì) 的 電 導(dǎo) 率 為 ， 則 平 板 電 容 器 極 板 間 的 漏 電 導(dǎo)為 dSC dSdSG 又 知 單 位 長(zhǎng) 度 內(nèi) 同 軸 線 的 電 容 。 那 么 ， 若 同 軸 線的 填 充 介 質(zhì) 具 有 的 電 導(dǎo) 率 為 ， 則 單 位 長(zhǎng) 度 內(nèi) 同 軸 線 的 漏 電 導(dǎo))/ln(2 1 abC )/ln(21 abG