曲面與曲線5-7二次曲面

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1、第 六 節(jié) 曲 面 與 曲 線柱面與旋轉(zhuǎn)曲面空間曲線空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 播 放 定 義一 、 柱 面 與 旋 轉(zhuǎn) 曲 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL1、柱面 柱面舉例x oz y x oz yxy 22 拋物柱面xy 平面 從柱面方程看柱面的特征： 只含yx,而缺z的方程0),( yxF，在 空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱 面，其準(zhǔn)線為xoy面上曲線C.（其他類推）實(shí) 例12222 czby橢圓柱面 / 軸x12222 by

2、ax雙曲柱面 / 軸zpzx 22 拋物柱面 / 軸y 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 播 放 x oz y 0),( zyf ),0( 111 zyMM),( zyxM設(shè)1)1( zz （2）點(diǎn)M到z軸的距離| 122 yyxd 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖將 代入2211, yxyzz 0),( 11 zyf d 將 代入2211, yxyzz 0),( 11 zyf ,0,22 zyxfyoz 坐標(biāo)面上的已知曲線0),( zyf繞z軸旋 轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)

3、曲面方程. 得方程 同理：yoz坐標(biāo)面上的已知曲線0),( zyf繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 .0, 22 zxyf x oz y解 yoz面上直線方程為cotyz ),0( 111 zyM ),( zyxM圓錐面方程cot22 yxz 例 2 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）xoz面上的雙曲線2 22 2 10 x za cy 分別繞x軸和z軸； 繞x軸旋轉(zhuǎn) 繞z軸旋轉(zhuǎn) 12 2222 c zyax 1222 22 cza yx旋轉(zhuǎn)雙曲面 （2）橢圓 0 12222x czay繞y軸和z軸； 繞y軸旋轉(zhuǎn) 繞z軸旋轉(zhuǎn)12 2222 c zxay 1222 22

4、cza yx旋轉(zhuǎn)橢球面 （3）拋物線 022x pzy繞z軸；pzyx 222 旋轉(zhuǎn)拋物面此外,給出一個(gè)方程也要會(huì)判斷它是否表示旋轉(zhuǎn)面,如何形成 0),( 0),( zyxG zyxF 空 間 曲 線 的 一 般 方 程 曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程. x oz y1S 2SC空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特 點(diǎn)：二 、 空 間 曲 線1、 空 間 曲 線 的 一 般 方 程 例 3 方程組 表示怎樣的曲線？ 6332 122 zyx yx解 122 yx表示圓柱面，6332 zyx表示平面， 6332 122 zyx yx交線為橢圓.

5、例 4 方程組 表示怎樣的曲線？ 4)2( 222 222 ayax yxaz解 222 yxaz 上半球面, 4)2( 222 ayax 圓柱面,交線如圖. )( )( )(tzz tyy txx 當(dāng)給定1tt 時(shí)，就得到曲線上的一個(gè)點(diǎn)),( 111 zyx ，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全 部點(diǎn). 空 間 曲 線 的 參 數(shù) 方 程2、 空 間 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn) A MM M 在xoy面的投影)0,( yxMtax cos tay sinvtz t螺旋線的參數(shù)方程 取時(shí)間t為參數(shù)，解 x yzo 螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bz ay ax

6、 sincos ),( vbt 0),( 0),( zyxG zyxF消去變量z后得：0),( yxH曲線關(guān)于 的投 影 柱 面xoy設(shè)空間曲線的一般方程： 2) 以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投 影 柱 面 的 特 征 ： 1)曲 線 上 的 點(diǎn) 滿 足 (2),即 曲 線在 投 影 柱 面 上三 、 空 間 曲 線 在 坐 標(biāo) 面 上 的 投 影(1)(2) 如圖:投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線投影曲線投影柱面 類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 0 0),(x zyR 0 0),(y zxT面上的投 影 曲 線 ,yoz面上的投 影 曲 線 ,xoz 0 0),(z y

7、xH空間曲線在 面上的投 影 曲 線xoy 例 6 求曲線 在坐標(biāo)面上的投影. 21 1222z zyx解（1）消去變量z后得,4322 yx在 面上的投影為xoy ,0 4322 z yx 所以在 面上的投影為線段.xoz ;23|,021 xyz（3）同理在 面上的投影也為線段.yoz .23|,021 yxz（2）因?yàn)榍€在平面 上，21z 截線方程為 02 22 zyx xzy解如圖, （2）消去y得投影,0 0425 22 y xxzzx （3）消去x得投影.0 0222 x zyzy （1）消去z得投影,0 045 22 z xxyyx 補(bǔ) 充 : 空 間 立 體 或 曲 面 在

8、坐 標(biāo) 面 上 的 投 影 .空間立體曲面 例 9 2 22 2, 43( ) ,. z x yz x y xoy 設(shè)一個(gè)立體由上半球面和錐面所圍成求它在面上的投影解半球面和錐面的交線為 ,)(3 ,4: 22 22 yxz yxzC ,122 yxz得投影柱面消去 面上的投影為在則交線xoyC .0 ,122z yx一個(gè)圓,面上的投影為所求立體在xoy .122 yx 空間曲線的一般方程、參數(shù)方程四 、 小 結(jié)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF )( )( )(tzz tyy txx 0 0),(z yxH 0 0),(x zyR 0 0),(y zxT 二 次

9、 曲 面 的 定 義 ：三 元 二 次 方 程 所 表 示 的 曲 面 稱 之 相應(yīng)地平面被稱為一 次 曲 面討論二次曲面性狀的截 痕 法： 用 坐 標(biāo) 面 和 平 行 于 坐 標(biāo) 面 的 平 面 與 曲 面相 截 ， 考 察 其 交 線 （ 即 截 痕 ） 的 形 狀 ， 然 后加 以 綜 合 ， 從 而 了 解 曲 面 的 全 貌 以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面 由 曲 面 方 程 研 究 曲 面 幾 何 形 狀 第 七 節(jié) 、 二 次 曲 面 o z yx（ 一 ） 橢 球 面 1222222 czbyax 橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：,0 12222 y czax .0 12222

10、x czby ,0 12222 z byax 橢 球 面 的 幾 種 特 殊 情 況 ：,)1( ba 1222222 czayax 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面方程可寫為.2222 azyx 球 面,)2( cba 1222222 azayax （ 二 ） 拋 物 面 zqypx 22 22（ 與 同號(hào)）p q橢 圓 拋 物 面 zx yo x yzo橢圓拋物面的圖形如下：0,0 qp 0,0 qp 特殊地：當(dāng) 時(shí)，方程變?yōu)閝pzpypx 22 22 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面)0( p zqypx 22 22（ 與 同號(hào)）p q雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ）用截痕法討論：設(shè)0,0 qp圖形如下：x

11、yzo （ 三 ） 雙 曲 面 單 葉 雙 曲 面1222222 czbyax（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點(diǎn) 的橢圓.)0,0,0(O 0 12222z byax 單葉雙曲面圖形 x yoz 雙 葉 雙 曲 面1222222 czbyaxx yo 思 考 題 指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？;2)1( x ;4)2( 22 yx.1)3( xy 思 考 題 解 答平面解析幾何中空間解析幾何中2x 422 yx 1 xy 平行于y軸的直線平行于yoz面的平面 圓心在)0,0(，半徑為2的圓以z軸為中心軸的圓柱面斜率為1的直線 平行于z軸的平

12、面 方程 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線

13、繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲

14、 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋

15、 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉(zhuǎn) 曲 面 .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行

16、 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀

17、察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL

18、 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL 定 義三 、 柱 面觀察柱面的形成過(guò)程:平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng) 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL