旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面

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1、定 義 2. 一 條 平 面 曲 線一 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 繞 其 平 面 上 一 條 定 直 線 旋 轉(zhuǎn)一 周 所 形 成 的 曲 面 叫 做 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 .該 定 直 線 稱 為 旋 轉(zhuǎn)軸 .例 如 : 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 建 立 yoz面 上 曲 線 C 繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 所 成 曲 面 的 方 程 :故 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 為,),( zyxM當(dāng) 繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 時 , 0),( 11 zyf ,),0( 111 CzyM 若 點給 定 yoz 面 上 曲 線 C: ),0( 111 zyM),( zyxM1221, yyxzz 則 有 0),

2、( 22 zyxf 則 有該 點 轉(zhuǎn) 到 0),( zyf o z yx C 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 ： 當(dāng) 曲 線 C 繞 y 軸 旋 轉(zhuǎn) 時 ， 方 程 如 何 ？0),(: zyfCo yxz 0),( 22 zxyf 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 3. 試 建 立 頂 點 在 原 點 , 旋 轉(zhuǎn) 軸 為 z 軸 , 半 頂 角 為 的 圓 錐 面 方 程 . 解 : 在 yoz面 上 直 線 L 的 方 程 為cotyz繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 時 ,圓 錐 面 的 方 程 為cot22 yxz )( 2222 yxaz cota令 x

3、yz兩 邊 平 方 L ),0( zyM 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 x y例 4. 求 坐 標(biāo) 面 xoz 上 的 雙 曲 線 12222 czax 分 別 繞 x軸 和 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 生 成 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 . 解 :繞 x 軸 旋 轉(zhuǎn) 12 2222 c zyax繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 1222 22 cza yx這 兩 種 曲 面 都 叫 做 旋 轉(zhuǎn) 雙 曲 面 .所 成 曲 面 方 程 為所 成 曲 面 方 程 為 z機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二 、 二 次 曲 面三 元 二 次 方 程 適 當(dāng) 選 取 直 角 坐 標(biāo)

4、系 可 得 它 們 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ,下 面 僅 就 幾 種 常 見 標(biāo) 準(zhǔn) 型 的 特 點 進 行 介 紹 .研 究 二 次 曲 面 特 性 的 基 本 方 法 : 截 痕 法 其 基 本 類 型 有 : 橢 球 面 、 拋 物 面 、 雙 曲 面 、 錐 面的 圖 形 通 常 為 二 次 曲 面 . FzxEyxDxyCzByAx 222 0 JIzHyGx(二 次 項 系 數(shù) 不 全 為 0 ) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 z yx1. 橢 球 面 ),(1222222 為 正 數(shù)cbaczbyax (1)范 圍 ： czbyax ,(2)與 坐 標(biāo) 面 的 交

5、線 ： 橢 圓,0 12222 z byax ,0 12222 x czby 0 12222y czax 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1222222 czbyax 與 )( 11 czzz 的 交 線 為 橢 圓 ：1zz(4) 當(dāng) a b 時 為 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 ;同 樣 )( 11 byyy 的 截 痕）（ axxx 11及也 為 橢 圓 . 當(dāng) a b c 時 為 球 面 .(3) 截 痕 : 1)()( 212 2212 2 2222 zcyzcx cbca cba ,( 為 正 數(shù) ) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 z 2. 拋 物 面 zq

6、ypx 22 22(1) 橢 圓 拋 物 面 ( p , q 同 號 )(2) 雙 曲 拋 物 面 （ 鞍 形 曲 面 ）zqypx 22 22 z yx特 別 ,當(dāng) p = q 時 為 繞 z 軸 的 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 .( p , q 同 號 ) z yx 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 3. 雙 曲 面(1)單 葉 雙 曲 面by 1)1 上 的 截 痕 為平 面 1zz 橢 圓 .時 , 截 痕 為 2212222 1 byczax (實 軸 平 行 于 x 軸 ；虛 軸 平 行 于 z 軸 ）1yy zx y),(1222222 為 正 數(shù)cbaczbyax 1yy

7、平 面 上 的 截 痕 情 況 : 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 雙 曲 線 : 虛 軸 平 行 于 x 軸 ）by 1)2 時 , 截 痕 為0czax )( bby 或by 1)3 時 , 截 痕 為 2212222 1 byczax (實 軸 平 行 于 z 軸 ;1yy zx yzx y機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 相 交 直 線 : 雙 曲 線 : 0 (2) 雙 葉 雙 曲 面 ),(1222222 為 正 數(shù)cbaczbyax 上 的 截 痕 為平 面 1yy 雙 曲 線上 的 截 痕 為平 面 1xx 上 的 截 痕 為平 面 )( 11 c

8、zzz 橢 圓注 意 單 葉 雙 曲 面 與 雙 葉 雙 曲 面 的 區(qū) 別 : 雙 曲 線 zx yo 222222 czbyax 單 葉 雙 曲 面11 雙 葉 雙 曲 面 P18 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 圖 形 4. 橢 圓 錐 面 ),(22222 為 正 數(shù)bazbyax 上 的 截 痕 為在 平 面 tz 橢 圓在 平 面 x 0 或 y 0 上 的 截 痕 為 過 原 點 的 兩 直 線 .zx yo1)()( 2222 tbytax tz,可 以 證 明 , 橢 圓 上 任 一 點 與 原 點 的 連 線 均 在 曲 面 上 .(橢 圓 錐 面 也 可 由 圓

9、錐 面 經(jīng) x 或 y 方 向 的 伸 縮 變 換得 到 , 見 書 P316 ) x z 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 x yz5.柱 面引 例 . 分 析 方 程表 示 怎 樣 的 曲 面 .的 坐 標(biāo) 也 滿 足 方 程 222 Ryx 解 :在 xoy 面 上 ， 表 示 圓 C, 222 Ryx 222 Ryx 沿 曲 線 C平 行 于 z 軸 的 一 切 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 圓故 在 空 間222 Ryx 過 此 點 作柱 面 . 對 任 意 z ,平 行 z 軸 的 直 線 l , 表 示 圓 柱 面 oC在 圓 C上 任 取 一 點 ,)0

10、,(1 yxM lM1M),( zyxM點其 上 所 有 點 的 坐 標(biāo) 都 滿 足 此 方 程 , 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 x yzx yzo l 定 義 3. 平 行 定 直 線 并 沿 定 曲 線 C 移 動 的 直 線 l 形 成的 軌 跡 叫 做 柱 面 . 表 示 拋 物 柱 面 ,母 線 平 行 于 z 軸 ;準(zhǔn) 線 為 xoy 面 上 的 拋 物 線 . z 軸 的 橢 圓 柱 面 .xy 22 12222 byax z 軸 的 平 面 .0yx 表 示 母 線 平 行 于 C(且 z 軸 在 平 面 上 )表 示 母 線 平 行 于C 叫 做 準(zhǔn) 線

11、, l 叫 做 母 線 . x yzo o機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 x z y2l一 般 地 ,在 三 維 空 間 柱 面 ,柱 面 ,平 行 于 x 軸 ;平 行 于 y 軸 ;平 行 于 z 軸 ;準(zhǔn) 線 xoz 面 上 的 曲 線 l3.母 線 柱 面 ,準(zhǔn) 線 xoy 面 上 的 曲 線 l1.母 線準(zhǔn) 線 yoz 面 上 的 曲 線 l2. 母 線 表 示方 程 0),( yxF 表 示方 程 0),( zyG 表 示方 程 0),( xzH x yz3l 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 x yz 1l 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 空 間 曲 面 三 元

12、 方 程 0),( zyxF 球 面 2202020 )()()( Rzzyyxx 旋 轉(zhuǎn) 曲 面如 , 曲 線 0 0),(x zyf 繞 z 軸 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 :0),( 22 zyxf 柱 面如 ,曲 面 0),( yxF 表 示 母 線 平 行 z 軸 的 柱 面 .又 如 ,橢 圓 柱 面 , 雙 曲 柱 面 , 拋 物 柱 面 等 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. 二 次 曲 面 三 元 二 次 方 程),( 同 號qp 橢 球 面 1222222 czbyax 拋 物 面 : 橢 圓 拋 物 面 雙 曲 拋 物 面zqypx 22 22 zqypx

13、22 22 雙 曲 面 : 單 葉 雙 曲 面2222 byax 22cz 1 雙 葉 雙 曲 面2222 byax 22cz 1 橢 圓 錐 面 : 22222 zbyax 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 5x 922 yx 1xy 斜 率 為 1的 直 線平 面 解 析 幾 何 中 空 間 解 析 幾 何 中方 程 平 行 于 y 軸 的 直 線 平 行 于 yoz 面 的 平 面 圓 心 在 (0,0)半 徑 為 3 的 圓 以 z 軸 為 中 心 軸 的圓 柱 面平 行 于 z 軸 的 平 面思 考 與 練 習(xí)1. 指 出 下 列 方 程 的 圖 形 : 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束