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1、第五節(jié) 常見(jiàn)的二次曲面及其方程一、基本內(nèi)容二、小結(jié) 二 次 曲 面 的 定 義 ：三 元 二 次 方 程 所 表 示 的 曲 面 稱(chēng) 之 相應(yīng)地平面被稱(chēng)為一 次 曲 面討論二次曲面性狀的截 痕 法： 用 坐 標(biāo) 面 和 平 行 于 坐 標(biāo) 面 的 平 面 與 曲 面相 截 ， 考 察 其 交 線(xiàn) （ 即 截 痕 ） 的 形 狀 ， 然 后加 以 綜 合 ， 從 而 了 解 曲 面 的 全 貌 以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面一、基本內(nèi)容 o z yx（ 一 ） 橢 球 面 1222222 czbyax 橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線(xiàn)：,0 12222 y czax .0 12222 x czby
2、,0 12222 z byax 橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面 的交線(xiàn)為橢圓1zz 同理與平面 和 的交線(xiàn)也是橢圓.1xx 1yy 1 21222 221222 2 1)()(zz zccb yzcca x cz | 1 橢 球 面 的 幾 種 特 殊 情 況 ：,)1( ba 1222222 czayax 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面12222 czax由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成z旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 與 橢 球 面 的 區(qū) 別 ： 1222 22 cza yx方程可寫(xiě)為與平面 的交線(xiàn)為圓.1zz )|( 1 cz ,)2( cba 1222222 azayax 球 面.2222 azy
3、x .)(1 2122222 zz zccayx截面上圓的方程方程可寫(xiě)為 （ 二 ） 拋 物 面 zqypx 22 22（ 與 同號(hào)）p q橢 圓 拋 物 面用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截)0( zxoy截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn))0,0,0(O設(shè)0,0 qp原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂 點(diǎn) . 與平面 的交線(xiàn)為橢圓.1zz 1 1212 122 zz qzypzx當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中 心都在 軸上.1z z)0( 1 z與平面 不相交.1zz )0( 1 z（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截)0( yxoz 022y pzx截得拋物線(xiàn) 與平面 的交線(xiàn)為拋物線(xiàn).1yy 1 212 22yy qyzp
4、x它的軸平行于 軸z頂點(diǎn) qyy 2,0 211（3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截)0( xyoz 1xx 均可得拋物線(xiàn).同理當(dāng) 時(shí)可類(lèi)似討論.0,0 qp zx yo x yzo橢圓拋物面的圖形如下：0,0 qp 0,0 qp 特殊地：當(dāng) 時(shí)，方程變?yōu)閝pzpypx 22 22 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面)0( p（由 面上的拋物線(xiàn) 繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）xoz pzx 22 1 122 2zz pzyx與平面 的交線(xiàn)為圓.1zz )0( 1 z當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種圓的中 心都在 軸上.1z z zqypx 22 22（ 與 同號(hào)）p q雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ）用截痕法討論：設(shè)0,0 qp圖形如
5、下：x yzo （ 三 ） 雙 曲 面 單 葉 雙 曲 面1222222 czbyax（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點(diǎn) 的橢圓.)0,0,0(O 0 12222z byax 與平面 的交線(xiàn)為橢圓.1zz 當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中 心都在 軸上.1z z 1 2212222 1zz czbyax（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn). 0 12222y czax實(shí)軸與 軸相合，虛軸與 軸相合.xz 1 2212222 1yy byczax雙曲線(xiàn)的中 心都在 軸上.y與平面 的交線(xiàn)為雙曲線(xiàn).1yy )( 1 by ,)1( 221 by x實(shí)軸與
6、軸平行, z虛軸與 軸平行.,)2( 221 by z實(shí)軸與 軸平行, x虛軸與 軸平行.,)3( 1 by 截痕為一對(duì)相交于點(diǎn) 的直線(xiàn).)0,0( b ,0 by czax .0 by czax,)4( 1 by 截痕為一對(duì)相交于點(diǎn) 的直線(xiàn).)0,0( b,0 by czax .0 by czax（3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截)0( xyoz 1xx 均可得雙曲線(xiàn). 單葉雙曲面圖形 x yoz平面 的截痕是兩 對(duì) 相 交 直 線(xiàn) .ax 雙 葉 雙 曲 面1222222 czbyaxx yo 橢球面、拋物面、雙曲面、截痕法.（熟知這幾個(gè)常見(jiàn)曲面的特性）二、小結(jié) 思 考 題方程 3 254 222x zyx表示怎樣的曲線(xiàn)？ 思 考 題 解 答 3 254 222x zyx .3 164 22 x zy表示雙曲線(xiàn).
常見(jiàn)的二次曲面及其方程
