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1、微 積 分 基 本 定 理 bxxxxxa nn 1210 , 1 iii xx 任 取 ni i xf1 )(做 和 式 ： 常 數(shù) ）且 有 ， (/)(lim 10 Anabfni in 復(fù) 習(xí) ： 1、 定 積 分 是 怎 樣 定 義 ？設(shè) 函 數(shù) f（ x） 在 a， b上 連 續(xù) ， 在 a， b中 任 意 插 入 n-1個 分 點(diǎn) ：把 區(qū) 間 a,b等 分 成 n個 小 區(qū) 間 ，, 1 ii xx 在 每 個 小 區(qū) 間 ./)( 1 nabfni i ba dxxf )(則 ， 這 個 常 數(shù) A稱 為 f(x)在 a， b上 的 定 積 分 (簡 稱 積 分 )記 作 n
2、fdxxf n i iba /a)-b)(lim)(A 10n （即 xfS ii )( 被積函數(shù) 被積表達(dá)式 積分變量 積 分 區(qū) 間, ba積 分 上 限積 分 下 限 nfdxxf ni iba /a)-b)(lim)(A 10n （即 積 分 和 1、如果函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)且f（x）0時，那么：定積分 就表示以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積。ba dxxf )( 2、定積分 的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯形面積的代數(shù)和來表示。 ba dxxf )( 1S 2S 3S321 SSSdxxfba )( 復(fù) 習(xí) ： 2、 定 積 分 的 幾 何 意 義 是 什 么 ？ ,0)( xf
3、 ba Adxxf )( 曲 邊 梯 形 的 面 積,0)( xf ba Adxxf )( 曲 邊 梯 形 的 面 積 的 負(fù) 值4321)( AAAAdxxfba 說明：1A 2A 3A 4A 定 積 分 的 簡 單 性 質(zhì)(1) ( ) ( ) ( )b ba akf x dx k f x dx k 為 常 數(shù)1 2 1 2(2) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x f x dx f x dx f x dx (3) ( ) ( ) ( ) (acb) b c ba a cf x dx f x dx f x dx 題 型 1： 定 積 分 的 簡 單 性 質(zhì) 的 應(yīng) 用
4、 2008200710 21 32 )()()()(1 dxxfdxxfdxxfdxxf 、 化 簡 481,9,29,32 30 330 230 30 dxxdxxxdxdx、 已 知 ， ?)1512218()2( ?)86341 230 3 2330 dxxxx dxxxx（）（ 求 ：點(diǎn) 評 ：運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以化簡定積分計(jì)算，也可以把一個函數(shù)的定積分化成幾個簡單函數(shù)定積分的和或差 題 型 2： 定 積 分 的 幾 何 意 義 的 應(yīng) 用 ？、 31 41 dx ？、 a xdx02 ？、 dxx 30 2)2(3 ？、 dxx 30 2948 25 221 a 問 題 1： 你 能
5、 求 出 下 列 格 式 的 值 嗎 ？ 不 妨 試 試 。49 問 題 2： 一 個 作 變 速 直 線 運(yùn) 動 的 物 體 的 運(yùn) 動 規(guī)律 S S(t)。 由 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 可 以 知 道 ， 它 在 任 意時 刻 t的 速 度 v(t) S（ t)。 設(shè) 這 個 物 體 在 時 間 段 a， b 內(nèi) 的 位 移 為 S， 你 能 分 別 用 S(t)， v(t)來 表 示 S嗎 ？ 從 中 你 能 發(fā) 現(xiàn) 導(dǎo) 數(shù) 和 定 積 分 的 內(nèi) 在聯(lián) 系 嗎 ？ 另一方面，從導(dǎo)數(shù)角度來看：如果已知該變速直線運(yùn)動的路程函數(shù)為s=s(t)，則在時間區(qū)間a,b內(nèi)物體的位移為s(b)s(a)，
6、所以又有 ).()(d)( asbsttvba 由于 ，即s(t)是v(t)的原函數(shù)，這就是說，定積分 等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間a,b上的增量s(b)s(a).)()( tvts ba ttv d)( 從定積分角度來看：如果物體運(yùn)動的速度函數(shù)為v=v(t)，那么在時間區(qū)間a,b內(nèi)物體的位移s可以用定積分表示為.d)( ba ttvs 微 積 分 基 本 定 理 ：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，并且F(x)f（x)，則， ba aFbFxxf )()(d)(這個結(jié)論叫微 積 分 基 本 定 理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛頓萊布尼
7、茨公式（Newton-Leibniz Formula). ).()()(d)( aFbFxFxxf baba 或記作 說明：牛 頓 萊 布 尼 茨 公 式 提 供 了 計(jì) 算 定 積 分 的 簡 便的 基 本 方 法 ， 即 求 定 積 分 的 值 ， 只 要 求 出 被 積函 數(shù) f(x)的 一 個 原 函 數(shù) F(x)， 然 后 計(jì) 算 原 函 數(shù)在 區(qū) 間 a,b上 的 增 量 F(b)F(a)即 可 .該 公 式 把計(jì) 算 定 積 分 歸 結(jié) 為 求 原 函 數(shù) 的 問 題 。 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式 11. ( ) , ( ) 0;2. ( ) , ( ) ;3.
8、 ( ) sin , ( ) cos ;4. ( ) cos , ( ) sin ;5. ( ) , ( ) ln ( 0);6. ( ) , ( ) ; 17. ( ) log , ( ) ( 0, 1); ln8. n nx xx xaf x c f xf x x f x nxf x x f x xf x x f x xf x a f x a a af x e f x ef x x f x a ax a 公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則 且公 式 若 1( ) ln , ( ) ;f x x f x x 則 例 1 計(jì) 算
9、下 列 定 積 分 解 （ ）( ) ( )| ( ) ( )b baa f x dx F x F b F a 找 出 f(x)的 原函 數(shù) 是 關(guān) 鍵 dxx21 11 31 22 xdx xx 1ln 2ln1ln2lnln1 2121 xdxx abxdxx baba lnlnln11 ：公 式 81322 223131 2 xxdx 練 習(xí) 1: _4 _3 _2 _11 21 310 310 10 dxxdxxxdx dx 12141415 banba n nxdxx 12 1 ：公 式 例 計(jì) 算 定 積 分 解 : dxxx 31 22 13 223 11,3 xxxx dxxd
10、xxdxxdxx 31 231 231 231 2 1313原 式 3761131131 3331313 xx 達(dá) 標(biāo) 練 習(xí) ： _14 _1233 _12 _231 2121 221 10 2 dxe dxxx dxxx dtt x 1 2ln23 91 2 ee練 習(xí) ： P 55 1 微 積 分 基 本 定 理 )()()( aFbFdxxfba 三 、 小 結(jié) banba n nxdxx 12 1 ：公 式 abxdxx baba lnlnln11 ：公 式作 業(yè) ： P55 1 |bacx 11 |1 n baxn + cos | bax-sin |bax 定 積 分 公 式 6)( )x x b xa e dxe e 7)( ) ln ax bx xa dxa a a 15)(ln ) 1bax x dxx 1)( ) bacx c cdx 12) b nn n ax nx dxx 3)(sin ) cos cosba xdxx x 4)(cos ) sin sinba xdxx x ln| |bax|x bae |ln x baa a
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