《柱面錐面二次曲線》PPT課件.ppt

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1、水 桶 的 表 面 、 臺(tái) 燈 的 罩 子 面 等 曲 面 在 空 間 解 析 幾 何 中 被 看 成 是 點(diǎn) 的 幾 何 軌跡 曲 面 方 程 的 定 義 ：曲 面 的 實(shí) 例 ：第 四 章 柱 面 、 錐 面 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 與二 次 曲 面 觀 察 柱 面 的 形成 過(guò) 程 : 定 義 4.1.1 平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng)的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 .這 條 定 曲 線 叫柱 面 的 準(zhǔn) 線 ，動(dòng) 直 線 叫 柱 面的 母 線 . 4.1 柱 面 母 線準(zhǔn)線 柱 面 舉 例 ：x oz y x oz yyx 22 拋 物 柱 面 xy

2、平 面 yx 22 xy拋 物 柱 面 方 程 ： 平 面 方 程 ： ),( zyxM )0,(1 yxM 從 柱 面 方 程 看 柱 面 的 特 征 ： 只 含 yx, 而 缺 z的 方 程 0),( yxF ， 在空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 中 表 示 母 線 平 行 于 z軸 的 柱面 ， 其 準(zhǔn) 線 為 xoy面 上 曲 線 C: 0),( yxF . （ 其 他 類 推 ）實(shí) 例 12222 czby 橢 圓 柱 面 ， x12222 byax 雙 曲 柱 面 ， zpzx 22 拋 物 柱 面 ， y母 線 / 軸母 線 / 軸母 線 / 軸 1. 橢 圓 柱 面 12222 b

3、yaxx yzO 2. 雙 曲 柱 面 12222 byaxx oz y 4.2 錐 面 定 義 4.2.1 通 過(guò) 一 定 點(diǎn) 且 與 定 曲 線 相 交 的 一族 直 線 所 產(chǎn) 生 的 曲 面 叫 做 錐 面 .這 些 直 線 都 叫 做 錐 面 的 母 線 .那 個(gè) 定 點(diǎn) 叫 做 錐 面 的 頂 點(diǎn) .錐 面 的 方 程 是 一 個(gè) 三 元 方 程 .特 別 當(dāng) 頂 點(diǎn) 在 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 時(shí) ： n次 齊 次 方 程 F(x,y,z)= 0 的 圖 形 是 以 原 點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) 的 錐 面 ；方 程 F(x,y,z)= 0是 n次 齊 次 方 程 ： ).,(),( zyxFtt

4、ztytxF n若 準(zhǔn) 線 頂 點(diǎn)F(x,y,z)= 0. 反 之 ， 以 原點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) 的 錐 面的 方 程 是 n次 齊 次方 程 錐 面 是 直 紋 面 x 0z y 錐 面 的 準(zhǔn) 線 不唯 一 ， 和 一 切 母 線都 相 交 的 每 一 條 曲線 都 可 以 作 為 它 的母 線 . 請(qǐng) 同 學(xué) 們 自 己 用 截 痕 法研 究 其 形 狀 . 0222222 czbyax橢 圓 錐 面 x oz y解 yoz面 上 直 線 方 程 為cotyz 圓 錐 面 方 程 cot22 yxz 2222 yxaz 或 4 3 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 目 標(biāo) ： 通 過(guò) 本 節(jié) 的 學(xué) 習(xí) ，

5、掌 握旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 有 關(guān) 概 念 ， 熟 練 掌 握 旋轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 的 求 法 ， 了 解 幾 個(gè) 常 見(jiàn)的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 .重 點(diǎn) 難 點(diǎn) ： 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 的求 法 . 定 義 0 在 空 間 ， 一 條 曲 線 繞 著 定 直 線 旋轉(zhuǎn) 一 周 所 產(chǎn) 生 的 曲 面 叫 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 .其 中 稱為 旋 轉(zhuǎn) 軸 ， 稱 為 母 線 . ll 圖 4-3緯 圓 ， 經(jīng) 線 方 程 求 直 線 繞 直 線 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 方 程 。 100 zyx 10102 zyx 例1 下 面 特 殊的 旋 轉(zhuǎn) 曲面 曲 線 C 0 0),(x

6、 zyf C y zo繞 z軸 曲 線 C 0 0),(x zyf x C y zo繞 z軸. 曲 線 C 0 0),(x zyf旋 轉(zhuǎn) 一 周 得 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 S CS M N ),0( 11 zy zz 1 z PMPy | 1 1y1z y zo繞 z軸 . 22 yx f (y1, z1)=0M(x,y,z) .x S 曲 線 C 0 0),(x zyf旋 轉(zhuǎn) 一 周 得 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 S x CS M N ),0( 11 zyzz 1 z PMPy | 1 1y1z0),( 22 zyxfS： . 繞 z軸 . 22 yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f , 1)

7、.y zo S x oz y 0),( zyf ),0( 111 zyMM),( zyxM設(shè) 1)1( zz（ 2） 點(diǎn) M到 z軸 的 距 離| 122 yyxd 建 立 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 方 程 ：如 圖將 代 入2211, yxyzz 0),( 11 zyfd ,0,22 zyxf得 方 程 ,0,22 zyxf方 程 同 理 ： yoz坐 標(biāo) 面 上 的 已 知 曲 線 0),( zyf繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 為 .0, 22 zxyf 結(jié) 論 （ 規(guī) 律 ） ： 當(dāng) 坐 標(biāo) 面 上 的 曲 線 繞 此 坐 標(biāo) 面 上 的 一 個(gè) 坐標(biāo) 軸 旋 轉(zhuǎn) ，

8、求 此 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 方 程 ， 只 需 將 在 此 坐 標(biāo) 面 里 的 方 程 改 變 即 得 ， 改 變 的 方 法 是 ：保 留 與 旋 轉(zhuǎn) 軸 同 名 的 坐 標(biāo) ， 而 以 其 他 兩 個(gè)坐 標(biāo) 的 平 方 和 的 平 方 根 代 替 方 程 中 的 另 一 坐 標(biāo) 。 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn) 12 2222 c zxay 1222 22 cza yx旋轉(zhuǎn)橢球面 x yzx yz 繞 x軸 旋 轉(zhuǎn) 12 2222 c zyax旋 轉(zhuǎn) 雙 葉 雙 曲 面 y zoxy zox 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn) 1222 22 cza yx （ 1） xOz面 上 雙 曲 線 1222

9、2 czax 分 別 繞 x軸 和 z軸 ； xyoz xyoz 旋 轉(zhuǎn) 單 葉 雙 曲 面 （ 3） yOz面 上 拋 物 線 pzy 22 繞 z軸 ； pzyx 222 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面x yzo x yzo 0p 幾 種 特 殊 旋 轉(zhuǎn) 曲 面n 1 雙 葉 旋 轉(zhuǎn) 曲 面n 2 單 葉 旋 轉(zhuǎn) 曲 面n 3 旋 轉(zhuǎn) 錐 面n 4 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面n 5 環(huán) 面 x z byax 雙 曲 線 0 y1 繞 x 軸 一 周 x z byax 雙 曲 線 0 zy繞 x 軸 一 周1 x0 zy 得 雙 葉 旋 轉(zhuǎn) 雙 曲 面 1 2 2222 b zyax . z byax 雙 曲

10、線1 . 繞 x 軸 一 周 a xyo2 上 題 雙 曲 線繞 y 軸 一 周 0 12222 z byax a xyoz上 題 雙 曲 線繞 y 軸 一 周 0 12222 z byax 2 a. xyoz 得 單 葉 旋 轉(zhuǎn) 雙 曲 面 1222 22 bya zx . .2 上 題 雙 曲 線繞 y 軸 一 周 0 12222 z byax 0 0 2222 =z =byax3 旋 轉(zhuǎn) 錐 面兩 條 相 交 直 線繞 x 軸 一 周 x yo 0 0 2222 =z =byax . 兩 條 相 交 直 線繞 x 軸 一 周 x yo z3 旋 轉(zhuǎn) 錐 面 x yo z 0 0 2222

11、 =z =byax . 兩 條 相 交 直 線繞 x 軸 一 周得 旋 轉(zhuǎn) 錐 面 0 2 2222 b zyax . 3 旋 轉(zhuǎn) 錐 面 yoz 02 x azy 4 拋 物 線 繞 z 軸 一 周 yox z 02 x azy拋 物 線 繞 z 軸 一 周 4 y a yxz 22 . ox z生 活 中 見(jiàn) 過(guò) 這 個(gè) 曲 面 嗎 ？ . 4 02 x azy拋 物 線 繞 z 軸 一 周 得 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 5 y xo rR)0() 222 rRryRx（ 圓 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 所 成 曲 面 5 z 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 所 成 曲 面y xo . )0() 222 rRryRx（

12、 圓 5 z 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 所 成 曲 面 22222 )( ryRzx 環(huán) 面 方 程 . 生 活 中 見(jiàn) 過(guò) 這 個(gè) 曲 面 嗎 ？y xo )(4)( 222222222 zxRrRzyx 或 . . )0() 222 rRryRx（ 圓 . 5 二 次 曲 面 的 定 義 ：三 元 二 次 方 程 所 表 示 的 曲 面 稱 之 為 二 次 曲 面 相 應(yīng) 地 平 面 被 稱 為 一 次 曲 面 討 論 二 次 曲 面 形 狀 的 截 痕 法 ： 用 坐 標(biāo) 面 和 平 行 于 坐 標(biāo) 面 的 平 面 與 曲 面相 截 ， 考 察 其 交 線 （ 即 截 痕 ） 的 形 狀 ， 然

13、 后加 以 綜 合 ， 從 而 了 解 曲 面 的 全 貌 以 下 用 截 痕 法 討 論 幾 種 特 殊 的 二 次 曲 面 二 次 曲 面 1 222222 czbyax截 痕 法用 z = h截 曲 面用 y = m截 曲 面用 x = n截 曲 面 a bc yx zo 4.4 橢 球 面 橢 球 面 的 方 程 o z yx1222222 czbyax 橢 球 面 與三 個(gè) 坐 標(biāo) 面的 交 線 ： ,0 12222 y czax .0 12222 x czby ,0 12222 z byax 橢 球 面 P110b.exe 橢 圓 截 面 的 大 小 隨 平 面 位 置 的 變 化

14、 而 變 化 .橢 球 面 與 平 面 的 交 線 為 橢 圓1zz同 理 與 平 面 和 的 交 線 也 是 橢 圓 .1xx 1yy 1 21222 221222 2 1)()(zz zccb yzcca x cz | 1 橢 球 面 的 幾 種 特 殊 情 況 ：,)1( ba 1222222 czayax 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 0 12222y czax由 橢 圓 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 z旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 與 橢 球 面 的 區(qū) 別 ： 1222 22 cza yx方 程 可 寫(xiě) 為與 平 面 的 交 線 為 圓 .1zz )|( 1 cz ,)2( cba 1222222 azay

15、ax 球 面.2222 azyx .)(1 2122222 zz zccayx截 面 上 圓 的 方 程方 程 可 寫(xiě) 為 4.5 (1) 單葉雙 曲 面 解 析 幾 何 的 基 本 思想 是 用 代 數(shù) 的 方 法 來(lái) 研究 解 決 幾 何 問(wèn) 題 ， 其 主要 內(nèi) 容 可 示 意 如 下 ： 第 一 章點(diǎn) 坐 標(biāo)軌 跡 方 程第 二 章曲面 曲線 普通 參數(shù)平 面 與 直 線 第 三 章 方 程 與 關(guān) 系一 般 曲 面 第 四 章 常 見(jiàn) 曲 面 和 二 次 曲 面第 五 章 二 次 曲 線 的 一 般 理 論一 般 曲 線 一 、 概 念在 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 由 方

16、程)0,(1222222 cbaczbyax 所 表 示 的 曲 面 ， 叫 做 單 葉 雙 曲 面 , 此 方 程 叫做 單 葉 雙 曲 面 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 .方 程 1222222 czbyax 與 1222222 czbyax表 示 的 曲 面 也 是 單 葉 雙 曲 面 . 二 、 性 質(zhì) 1. 對(duì) 稱 性 中 心 ： 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) （ 1個(gè) ） ; 主 軸 ： x軸 、 y軸 和 z軸 （ 3條 ） ; 主 平 面 ： xOy面 、 yOz面 和 zOx面 （ 3個(gè) ） . 2. 截 距 和 頂 點(diǎn)x=0, y=0 z無(wú) 解 , 則 z 軸 上 沒(méi) 有 頂 點(diǎn) ； x=0, z

17、=0 y = b, 則 y軸 上 有 頂 點(diǎn) :z=0, y=0 x = a, 則 x軸 上 有 頂 點(diǎn) : （ 0， b ， 0） （ 2個(gè) ） ；（ a， 0， 0） （ 2個(gè) ） . )0,(1222222 cbaczbyax 3.主 截 線 0 12222 x czby(1) : 雙 曲 線 實(shí) 軸 為 y軸 , 虛 軸 為 z軸 ; 0 12222 y czax : 雙 曲 線 實(shí) 軸 為 x軸 , 虛 軸 為 z軸 ;(2)(3) 0 12222 z byax : (腰 橢 圓 ） . )1( 222222 czbyax 4.平 行 截 線 hz chbyax 222222 1 h

18、z chb ycha x 1)1()1( 22222222無(wú) 論 h取 何 值 ， 此 方 程 組 總 表 示 在 平 面 : hz 上 的 橢 圓 ， 它 的 兩 半 軸 為 ： 221 chb 與221 cha 此 時(shí) 橢 圓 的 兩 軸 端 點(diǎn) （ ， 0， h） 221 cha 與（ 0， ， h）221 chb 分 別 在 兩 條 主 截 線 （ 雙曲 線 ） 上 ， 且 所 在 平 面 與 腰 橢 圓 平 行 . 結(jié) 論 ： 單 葉 雙 曲 面 可 以 看 成 是 由 一 個(gè) 橢圓 變 動(dòng) 其 大 小 和 位 置 而 產(chǎn) 生 的 ， 在 變 動(dòng)中 這 個(gè) 橢 圓 始 終 保 持 ：

19、 所 在 平 面 平 行 于xOy面 ， 且 兩 軸 的 端 點(diǎn) 分 別 沿 著 yOz和zOx面 上 的 主 截 線 （ 雙 曲 線 ） 滑 動(dòng) 。三 、 圖 形 根 據(jù) 以 上 討 論 ， 可 畫(huà) 出 單 葉 雙 曲 面的 圖 形 如 下 ： 主 雙 曲 線（ yoz面 ） 腰 橢 圓 （ xoy面 ）主 雙 曲 線（ xoz面 ） 主 雙 曲 線（ yoz面 ）主 雙 曲 線（ xoz面 ） 腰 橢 圓（ xoy面 ） 四 、 總 結(jié) 單 葉 雙 曲 面 的 圖 形 可 由 一 族 橢 圓 生 成 ，由 這 個(gè) 無(wú) 界 的 曲 面 可 聯(lián) 想 到 宇 宙 的 廣 袤 。 因此 ， 在 美

20、 國(guó) 有 一 座 天 文 館 ， 就 建 成 單 葉 雙 曲面 的 形 狀 ， 其 設(shè) 計(jì) 師 就 是 由 彗 星 的 橢 圓 、 雙曲 線 軌 道 聯(lián) 想 到 這 幅 探 索 宇 宙 空 間 的 精 美 圖畫(huà) 。 這 充 分 表 現(xiàn) 了 設(shè) 計(jì) 者 極 高 的 數(shù) 學(xué) 素 質(zhì) 和審 美 意 識(shí) 。 由 此 我 們 聯(lián) 想 到 圓 柱 面 在 建 筑 藝 術(shù) 上 的 應(yīng)用 ： 圓 柱 面 是 由 與 一 條 定 圓 相 交 且 垂 直 于 此定 圓 所 在 平 面 的 一 族 直 線 產(chǎn) 生 的 軌 跡 ， 因 而既 具 有 圓 的 柔 軟 性 ， 又 具 有 直 線 的 堅(jiān) 硬 性 ，融 剛

21、 直 與 柔 軟 于 一 體 。 正 是 這 種 特 有 的 性 質(zhì) ，世 界 上 眾 多 的 建 筑 尤 其 是 體 育 館 都 建 成 圓 柱形 （ 如 上 海 的 萬(wàn) 體 館 等 ） ， 這 種 建 筑 形 狀 所包 含 的 審 美 內(nèi) 容 是 豐 富 的 ， 它 是 團(tuán) 結(jié) 、 友 誼的 顯 現(xiàn) （ 圓 的 意 義 ） ， 又 是 力 量 、 意 志 的 象征 （ 直 線 的 意 義 ） ， 即 奧 林 匹 克 精 神 。 抽 象 的 幾 何 圖 形 ， 一 旦 納 入 審 美 的 藝 術(shù) 范疇 ， 會(huì) 帶 來(lái) 特 殊 的 美 感 ， 抽 象 的 幾 何 圖 形 被美 學(xué) 家 稱 為

22、“ 有 意 味 的 形 式 ” ， 正 好 表 現(xiàn) 出它 有 特 殊 意 味 的 審 美 內(nèi) 容 ， 因 此 ， 在 觀 察 幾何 圖 形 時(shí) 應(yīng) 重 視 美 的 聯(lián) 想 。 作 業(yè) ： P165習(xí) 題 3,4,5. （ 摘 自 “ 解 析 幾 何 教 學(xué)中的 審 美 教 育 ” ， 馬 世 祥 等 ， 甘 肅 高 師 學(xué) 報(bào) ， 2005，Vol.10 NO.2） 上 海 萬(wàn) 體 館 夜 景 近 景 已 知 軌 跡 求 方 程 ：1.求出矢 量 式 參 數(shù) 方 程 ；2.寫(xiě)出坐 標(biāo) 式 參 數(shù) 方 程 ；3. 轉(zhuǎn)化為 普 通 方 程 。 已 知 方 程 ， 求 空 間 軌 跡 ：參 數(shù) 方

23、程 數(shù) 參 數(shù)1. （ 一 個(gè) 參 數(shù) 為 曲 線 ，兩 個(gè) 參 數(shù) 為 曲 面 。 ）2. 普 通 方 程 看 形 式 （ 聯(lián) 立 方 程 組 為曲 線 ， 單 獨(dú) 一 個(gè) 方 程 為 曲 面 。 ） .cos ,sinsin ,cossin vtz tvty tvtx (0 t +) 表 示 空 間 曲 線 。只 有 一 個(gè) 參 數(shù) t,1.2. . ,sin ,cosvtz tuy tux (u+, t+)有 兩 個(gè) 參 數(shù) u、 t, 表 示 空 間 曲 面 。 ;1 ,022 xz zyx1.聯(lián) 立 方 程 組 的 形 式 ， 表 示 曲 線 。2. x=0單 獨(dú) 一 個(gè) 方 程 ，

24、 表 示 曲 面 （ 平 面 ） 。判 斷 ： 6416 222 zyx（ 1） （ 2） 00yx 圖 形 方 程 旋 轉(zhuǎn) 曲 面錐 面柱 面1.常 見(jiàn) 曲 面 方 程 圖 形 拋 物 面雙 曲 面橢 球 面2.二 次 曲 面(1)對(duì) 稱 性 (3)主 截 線(2)頂 點(diǎn) (4)平 行 截 線 x z y0截 痕 法用 z = a截 曲 面用 y = b截 曲 面用 x = c截 曲 面 zqypx 22222 4.6 拋 物 面一 、 橢 圓 拋 物 面 x z y0截 痕 法用 z = a截 曲 面用 y = b截 曲 面用 x = c截 曲 面 .zqypx 22222 4.6 拋 物

25、 面一 、 橢 圓 拋 物 面 zqypx 22 22 （ 與 同 號(hào) ）p q橢 圓 拋 物 面用 截 痕 法 討 論 ：（ 1） 用 坐 標(biāo) 面 與 曲 面 相 截)0( zxoy截 得 一 點(diǎn) ， 即 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) )0,0,0(O設(shè) 0,0 qp原 點(diǎn) 也 叫 橢 圓 拋 物 面 的 頂 點(diǎn) .橢 圓 拋 物 面 方 程 與 平 面 的 交 線 為 橢 圓 .1zz 1 1212 122 zz qzypzx 當(dāng) 變 動(dòng) 時(shí) ， 這 種 橢圓 的 中 心 都 在 軸 上 .1z z)0( 1 z與 平 面 不 相 交 .1zz )0( 1 z（ 2） 用 坐 標(biāo) 面 與 曲 面 相 截

26、)0( yxoz 022y pzx截 得 拋 物 線 與 平 面 的 交 線 為 拋 物 線 .1yy 1 212 22yy qyzpx它 的 軸 平 行 于 軸 .z 頂 點(diǎn) qyy 2,0 211（ 3） 用 坐 標(biāo) 面 ， 與 曲 面 相 截)0( xyoz 1xx均 可 得 拋 物 線 .同 理 當(dāng) 時(shí) 可 類 似 討 論 .0,0 qp zx yox yzo橢 圓 拋 物 面 的 圖 形 如 下 ： 0,0 qp0,0 qp 特 殊 地 ： 當(dāng) 時(shí) ， 方 程 變 為qpzpypx 22 22 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面)0( p（ 由 面 上 的 拋 物 線 繞 z 軸 旋轉(zhuǎn) 而 成 的

27、）xoz pzx 22 1 122 2zz pzyx與 平 面 的 交 線 為 圓 .1zz )0( 1 z 當(dāng) 變 動(dòng) 時(shí) ， 這 種 圓的 中 心 都 在 軸 上 .1z z 用 z = a截 曲 面用 y = 0截 曲 面用 x = b截 曲 面 x zy 0zqypx 2222截 痕 法一 、 雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ） 截 痕 法 . x zy 0用 z = a截 曲 面用 y = 0截 曲 面用 x = b截 曲 面 zqypx 2222一 、 雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ） 截 痕 法 .x zy 0用 z = a截 曲 面用 y = 0截 曲 面用 x = b截 曲 面 zqypx 2222一 、 雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ） zqypx 22 22 （ 與 同 號(hào) ）p q雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ）用 截 痕 法 討 論 ： 設(shè) 0,0 qp圖 形 如 下 ： x yzo