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1、曲 線 的 極 坐 標(biāo) 方 程 52 曲線的極坐標(biāo)方程 在極坐標(biāo)系中，用，=0表示曲線的方程 。 一些基本曲線的方程： =r =0 (0) =0 (R) o x o x 0 0r o ox xo P P(2， P(，2/3 = 2 = 23 o ooo xxxxc(a，0)c(a，/2)c(a，)c(a，-/2) P(，)P(，) P(，)P(，) =2acos =2acos( -)= -2acos =2acos( -3/2)= -2asin =2asin xxxx P(，)P(，)P(，)P(，)o ooo aaaa =asec=acsc=asec(-3/2)=-acsc=asec(- )=
2、 -asec )c(0，0)raP(，)P(，)余弦定理r2= 2+02- 2 0cos(-0)正弦定理 = sin(-) asin(-) = asinsin(-)oo xx P47 三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)(焦點(diǎn))F與到定直線(準(zhǔn)線)L的 距離的比為e，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程。 分析：以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)， 如圖建立極坐標(biāo)系。F到L 的離|FK|=p，M，為軌 軌上的任一點(diǎn)。 把條件 = e，用極坐標(biāo)表示=e 解出 = K FH M(，)x|MF|MH | P+cosep1-ecos 上述方程統(tǒng)一表示橢圓、雙曲線、拋物線 FL xL F x xFL當(dāng)0e1時(shí)，方程表示橢圓，F(xiàn)是左焦
3、點(diǎn)，L是左準(zhǔn)線。當(dāng)1e時(shí)，方程表示雙曲線，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，L是右準(zhǔn)線。當(dāng)e=1時(shí)，方程表示拋物線，F(xiàn)是焦點(diǎn)，L是準(zhǔn)線，開口向右。 圓錐曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 例 5 (1) 以拋物線y2=5x的焦點(diǎn)為極點(diǎn)，對(duì)稱軸 向右的方向?yàn)闃O軸的正方向，且x軸與極軸的 長(zhǎng)度單位相同，求拋物線的極坐標(biāo)方程。 分析：設(shè)所求的拋物線的極坐標(biāo)方程為 = ，基中e=1，p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p= ，代入上式得所求的拋物線 = = ep1-ecos521- cos1 25 2- 2cos5 (2) 以橢圓 + = 1的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，長(zhǎng)軸 向右的方向?yàn)闃O軸的正方向，且x軸與極軸的長(zhǎng)度單位相同，求橢的極坐標(biāo)方程。 分析：根據(jù)已知
4、條件，可設(shè)所求的橢圓的極 坐標(biāo)方程為 = ，由橢圓的直角坐標(biāo) 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= ， p= -3+ = ，代入上式 = = x2 y21625 ep1-ecos 35325 316 3/5 16/31-3/5cos165-3cos 例 6 通過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F，作一條傾斜角為/4的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求 焦點(diǎn)弦|AB|的值。 分析：可用以往學(xué)過 的方法求焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)。也可建立極坐標(biāo)系解決。 點(diǎn)F為極點(diǎn)，x軸正半軸 為極軸，它的極坐標(biāo)方程為 = ， 1= ，2= |AB|= 1 + 2=16 o F xABy41-cos 1241-cos/4 41-cos5/4
5、 P52 53 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 以直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正方向?yàn)闃O軸，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y)，它的極坐標(biāo)為(，根據(jù)三角函數(shù)定義，同一點(diǎn)M的兩種坐標(biāo)有下面關(guān)系 x= cos ， y=sin ， 2=x2+y2 ，tg = (x=0) 一般，根據(jù)M所在象限 ，取最小的正角。o xy M)yx 公式的應(yīng)用 例 把點(diǎn)M的極坐標(biāo)(-5，)化成直角坐標(biāo) 直接代入公式計(jì)算 x=cos= -5cos/6 =(-5/2)3 y=sin = -5sin/6= - 5/2 點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(- ，- ) 例 把點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(-3，-1)化為極坐標(biāo) 極徑取正值 =2 極角 ： tg = ，
6、= 6 )M o xy53 522 o xyM33 76 同一條曲線在兩個(gè)不同坐標(biāo)系中方程的互化 P54 例 3 化圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2-2ax=0為 極坐標(biāo)方程。 解題時(shí)，應(yīng)用公式，注意整體替代。把 x2+y2=2，x=cos代入直角坐標(biāo)方程得 2-2acos = 0(-2acos)=0 所示的極坐標(biāo)方程是=0或-2acos =0 =0 是極點(diǎn)， =2acos 表示以(a，0)為圓心，a為 半徑，且過極點(diǎn)的圓，所以 =0不必寫出來。o x(a，0) 例 5 化=-4sin+cos 為直角坐標(biāo)方程 解題注意整體替代。 把原極坐標(biāo)方程兩邊同乘 2 =-4 sin + cos ， 2 =x2
7、+y2 ， cos = x， sin = y，它的直角坐標(biāo)方程 是x2+y2=-4y+x (x- )2+(y+2)2= 在直角坐標(biāo)系xoy中 方程表示的是以(，-2)為圓心 ，為半徑的圓。12 417o xy12214 把極坐標(biāo)方程2sin2 =2tg化為直角坐標(biāo)方程 解：把原方程化為sin cos = tg x= cos ，y= sin ， = tg 它的直角坐標(biāo)方程是 xy= y(x2-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0 從極坐標(biāo)方程直接看不出方程表示的曲線 是什么，化為直角坐標(biāo)方程后知道它表示的是三條直線：y=0或x=1或x=-1xyyx P54 例 4 化圓錐曲線的極坐標(biāo)方程= 為直角坐標(biāo)方程。 解：把原極坐標(biāo)方程化為 -ecos=ep =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos x2+y2=e(x+p)，兩邊平方得 x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐 標(biāo)方程是(1-e 2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0 ep1-ecos
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