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1、1 第 一 章 幾 何 空 間 中 的 向 量n 直 線 方 程n 兩 直 線 的 位 置 關 系n 直 線 與 平 面 的 位 置 關 系n 線 線 夾 角 與 線 面 夾 角n 點 線 距 離 2x y zo 1 2定 義 空 間 直 線 可 看 成 兩 平 面 的 交 線 0: 11111 DzCyBxA 0: 22222 DzCyBxA 空 間 直 線 的 一 般 方 程 L,01111 DzCyBxA ,02222 DzCyBxA直線的一般方程其 中 .021 nn (交面式) 3 ,01111 DzCyBxA 2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) 0.A A x B
2、 B y C C z D D 上述直線也等價于幾何上，一條直線可看作任意兩個過該直線且不平行的平面的交線，即直線方程的表達式不唯一. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2( ) ( ) 0.k Ax B y C z D k A x B y C z D 其中,通過直線的所有平面可以寫成1 1 1 1 2 2 2 2( ) 0.A x B y C z D A x B y C z D 或上面兩個方程稱為通過直線L的平面束 4x y zo方 向 向 量 的 定 義 ： 如 果 一 非 零 向 量 平 行 于一 條 已 知 直 線 ， 這 個 向 量 稱為 這 條 直 線 的 方 向 向 量 s L)
3、,( 0000 zyxM 0M M,LM ),( zyxM sMM 0 /, pnms , 0000 zzyyxxMM 5 pzznyymxx 000 直 線 的 對 稱 式 方 程tpzznyymxx 000令 ptzz ntyy mtxx 000 直 線 的 方 向 向 量直 線 的 參 數(shù) 方 程 6 例 1 用 對 稱 式 方 程 及 參 數(shù) 方 程 表 示 直 線.0432 01 zyx zyx解 在 直 線 上 任 取 一 點 ),( 000 zyx取 10 x ,063 0200 00 zy zy解 得 2,0 00 zy點 坐 標 ),2,0,1( 7 因 所 求 直 線 與
4、兩 平 面 的 法 向 量 都 垂 直取 21 nns ,3,1,4 對 稱 式 方 程 ,32104 1 zyx參 數(shù) 方 程 .32 41 tz ty tx提 示 ： 每 一 類 型 的 方 程 都 有 其 對 應 的 條 件 ， 轉(zhuǎn) 化 的 過 程就 是 尋 找 條 件 的 過 程 8 解 因 為 直 線 和 y軸 垂 直 相 交 , 所 以 交 點 為 ),0,3,0( B取 BAs ,4,0,2所 求 直 線 方 程 .4 40 32 2 zyx 9 21)1( LL ,0212121 ppnnmm21)2( LL / ,212121 ppnnmm 直 線 :1L直 線 :2L ,0
5、,4,11 s ,1,0,02 s,021 ss ,21 ss 例 如 ， .21 LL即令s1=m1, n1, p1, s2=m2, n2, p2. 10 直 線 :1L ,1 11 11 1 pzzn yymxx 直 線 :2L ,2 22 22 2 pzzn yymxx 222222212121 21212121 |),cos( pnmpnm ppnnmmLL 兩 直 線 的 夾 角 公 式| |cos 21 21 ss ss 兩直線 l1, l2 的方向 s1, s2 之間夾角稱為該兩直線的夾角 (通常指銳角). 11 解 法 一 、 直 線 參 數(shù) 方 程 方 法 （ 適 用 于 求
6、 直 線 上 的 點 ）1、 確 定 直 線 需 要 那 些 條 件 2、 怎 樣 尋 找 需 要 的 條 件 12 解 法 二 、 結(jié) 合 平 面 求 解 法先 作 一 過 點 M且 與 已 知 直 線 垂 直 的 平 面 0)3()1(2)2(3 zyx再 求 已 知 直 線 與 該 平 面 的 交 點 N,令 tzyx 12 13 1 .12 13 tz ty tx 13 代 入 平 面 方 程 得 ,73t 交 點 )73,713,72( N取 所 求 直 線 的 方 向 向 量 為 MNMN 373,1713,272 ,724,76,712 所 求 直 線 方 程 為 .4 3112
7、 2 zyx 14 定 義 直 線 和 它 在 平 面 上 的 投 影 直 線 的 夾角 稱 為 直 線 與 平 面 的 夾 角 ,: 000 pzznyymxxL ,0: DCzByAx , pnms , CBAn , 2s n , 2s n 0 .2 15 222222 |sin pnmCBA CpBnAm 直 線 與 平 面 的 夾 角 公 式直 線 與 平 面 的 位 置 關 系 ：L)1( .pCnBmA L)2( / .0 CpBnAm .cos 2 cossin 2 | | | | |s ns n /s n s n 16 例 5 設 直 線 :L 2 112 1 zyx ， 平
8、面: 32 zyx ， 求 直 線 與 平 面 的 夾 角 .解 ,2,1,1 n ,2,1,2 s 222222 |sin pnmCBA CpBnAm 96 |22)1()1(21| .637637arcsin 為 所 求 夾 角 17M0 M0 S l M1 注 ： d與 M0的 選 擇 無 關pzznyymxx 000 設 直 線 l方 程 為 ： 為的 距 離到 直 線則，外 一 點直 線 dlMzyxMl 11111 ),( 0 1s M Md s 問 ： 還 有 什 么 方 法 求 解 點 到 直 線 距 離 18 1M2M 異 面 直 線 間 的 距 離 定 義 ：L1 2L 2 11 2 1 1L LL LL M 經(jīng) 過 可 作 唯 一 的平 面 與 平 行 ，, 之 間 的 距 離 定義 為 上 任 意 一 點到 平 面 的 距 離n 19 2 12 11 2 2 11 2 1 2 2 11 2 Pr( )( , , )n n M Md j M M nS S M MS SS S M MS S 根 據(jù) 點 到 平 面 的 距 離 公 式 得 到
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