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1、特殊三角形第五章圖形的性質(zhì)(一) 等 腰 (邊 )三 角 形 、 直 角 三 角 形 的 性 質(zhì) 及 判 定性質(zhì)判定等腰三角形(1)兩腰相等，兩底角相等；(2)頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合；(3)是軸對稱圖形，有一條對稱軸(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形等邊三角形(1)三邊相等；(2)各角相等，且都等于60；(3)是軸對稱圖形，有三條對稱軸(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角等于60的_是等邊三角形 直角三角形(1)兩銳角之和等于90；(2)斜邊上的中線等于斜邊的_；(3)3
2、0角所對的直角邊等于斜邊的一半；(4)若有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于_；(5)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(1)有一個角為90的三角形是直角三角形；(2)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形等腰三角形一半30 1計(jì)算有關(guān)線段長問題，如果所求線段是在直角三角形中，一般應(yīng)用勾股定理求解，即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和2有關(guān)等腰三角形的問題，若條件中沒有明確底和腰時，一般應(yīng)從某一邊是底還是腰這兩個方面進(jìn)行討論，還要特別注意構(gòu)成三角形的條件；同時，在底角沒有被指定的等腰三角
3、形中，應(yīng)就某角是頂角還是底角進(jìn)行討論注意運(yùn)用分類討論的方法，將問題考慮全面，不能想當(dāng)然3面積法：用面積法證題是常用的技巧方法之一，使用這種方法時一般是利用某個圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到要證明的結(jié)論 1(2014盤 錦 )如圖，ABC中，ABAC6，點(diǎn)M在BC上，ME AC，交AB于點(diǎn)E，MF AB，交AC于點(diǎn)F，則四邊形MEAF的周長是()A6 B8 C10 D12D2(2014丹 東 )如圖，在ABC中，ABAC， A40，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，則 CBE的度數(shù)為()A70 B80 C40 D30D D 4(2015遼 陽 )如圖
4、，在ABC中，BD AC于D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AD6，DE5，則線段BD的長等于_5(2014鞍 山 )如圖，H是ABC的邊BC的中點(diǎn)，AG平分 BAC，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且AG BD于點(diǎn)G，已知AB12，BC15，GH5，則ABC的周長為_. 849 6(2014遼 陽 )如圖，ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF AE于F，AB5，AC3，則DF的長為_12 8(2013沈 陽 )已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AB的距離是1，點(diǎn)P到AC的距離是2，則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是_1，7 9(2014錦 州 )如圖，在ABC中，點(diǎn)D在
5、AB上，且CDCB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，連接EF交CD于點(diǎn)M，連接AM.(1)求證：EFAC.(2)若 BAC45，求線段AM，DM，BC之間的數(shù)量關(guān)系 等 腰 三 角 形 有 關(guān) 邊 角 的 討 論 【 例 1】(1)(2015荊 門 )已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為()A8或10 B8C10 D6或12(2)(葫 蘆 島 模 擬 )等腰三角形一條邊的邊長為3，它的另兩條邊的邊長是關(guān)于x的一元二次方程x212xk0的兩個根，則k的值是()A27 B36 C27或36 D18解析：分兩種情況：當(dāng)其他兩條邊中有一個為3時，將x3代入原方程，得3 2
6、123k0，k27，將k27代入原方程，得x212x270，解得x3或9.3，3，9不能夠組成三角形；當(dāng)3為底時，則其他兩條邊相等，即0，此時1444k0，k36.將k36代入原方程，得x212x360，解得x6，3，6，6能夠組成三角形，故答案為BC B 【 點(diǎn) 評 】 在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底，也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類討論對 應(yīng) 訓(xùn) 練 1(1)(2015南 寧 )如圖，在ABC中，ABADDC， B70，則 C的度數(shù)為()AA35B40C45D50(2)(朝 陽 模 擬 )等腰三角形的一個外角是60，則它的頂角的度數(shù)是 _12
7、0 等 腰 三 角 形 的 性 質(zhì) 【 例 2】(2015北 京 )如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，BE AC于點(diǎn)E.求證： CBE BAD.證明： ABAC，AD是 BC邊 上 的 中 線， AD BC，AD平分 BAC， BE AC， CBE C CAD C90，又 CAD BAD， CBE BAD【 點(diǎn) 評 】 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合 對 應(yīng) 訓(xùn) 練 2(2014菏 澤 )如圖，在ABC中，AD平分 BAC，BD AD，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE AC，交AB于點(diǎn)E，若AB5，求線段DE的長解： AD平分 BAC， BAD CAD， DE
8、 AC， CAD ADE， BAD ADE， AEDE， AD DB， ADB90， EAD ABD90， ADE BDE ADB90， ABD BDE， DEBE， AB5， DEBEAE2.5 等 邊 三 角 形 【 例 3】如圖，在等邊ABC中， ABC與 ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD AB，OE AC.(1)試判定ODE的形狀，并說明你的理由；(2)線段BD，DE，EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程解：(1)ODE是等邊三角形，理由：ABC是等邊三角形， ABC ACB60， OD AB，OE AC， ODE ABC60， OED ACB60ODE是等邊三角形(2)BDDEEC，
9、理由： OB平分 ABC，且 ABC60， ABO OBD30， OD AB， BOD ABO30， DBO DOB， DB DO，同理，ECEO， DEODOE， BDDEEC【 點(diǎn) 評 】 此題主要考查等邊三角形的判定及性質(zhì)的理解及運(yùn)用 對 應(yīng) 訓(xùn) 練 3(1)(沈 陽 模 擬 )如圖，將等邊ABC繞頂點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB與AC重合得ACD，BC的中點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為F，則 EAF的度數(shù)是_ 60 (2)(大 連 模 擬 )如圖，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長交BC的延長線于點(diǎn)E，EFFD.求證：ADCE. 直 角 三 角 形 、 勾 股 定 理 【
10、例 4】(1)(本 溪 模 擬 )如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開若測得AM的長為1.2 km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為()A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km(2)(2015桂 林 )下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是()A30，40，50 B7，12，13 C5，9，12 D3，4，6【 點(diǎn) 評 】 (1)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半理解題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵(2)在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證 兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷DA
11、對 應(yīng) 訓(xùn) 練 4(1)(撫 順 模 擬 )在ABC中，AB13 cm，AC20 cm，BC邊上的高為12 cm，則ABC的面積為_cm2.(2)(2015蘇 州 )如圖，四邊形ABCD為矩形，過點(diǎn)D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點(diǎn)E，取BE的中點(diǎn)F，連接DF，DF4.設(shè)ABx，ADy，則x2(y4)2的值為_ 126或6616 6.從 不 同 的 視 角 來 證 明 幾 何 命 題 試 題 (2015營 口 )【問題探究】(1)如圖，銳角ABC中分別以AB，AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AEAB，ADAC， BAE CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理
12、由【深入探究】(2)如圖，四邊形ABCD中，AB7 cm，BC3 cm， ABC ACD ADC45，求BD的長 審 題 視 角 (1)首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明 EAC BAD，則根據(jù)SAS即可證明EACBAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；(2)在ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角BAE，使 BAE90，AEAB，連接EA，EB，EC，證明EACBAD，證明BDCE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解 答 題 思 路第一步：通讀問題，根據(jù)問題選擇合理的幾何分析方法；第二步：(1)綜合法(由因?qū)Ч?：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過一系列的有關(guān)定理、公理、定義的運(yùn)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的
13、解決；(2)分析法(執(zhí)果索因)，從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需必備的條件，然后再把條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步向上逆推，直到已知的條件為止；(3)兩類結(jié)合法，將分析法與綜合法合并使用比較起來，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)因此，在實(shí)際思考問題時，可綜合使用，靈活處理，以縮短題設(shè)與結(jié)論之間的距離，直到完全溝通；第三步：視問題需要，添加合理的輔助線，把已知與未知集中在一起；第四步：從已知出發(fā)，一步一步作推理，使得問題得以證明；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)，完善解題步驟 19.三 角 形 的 高 可 能 在 形 外 試題1在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求 ABC的
14、度數(shù)錯 解解 ： 如 圖 ，在RtBHD和RtACD中， C CAD90， C HBD90， HBD CAD.又 BHAC，BHDACD， BDAD. ADB90， ABC45.剖 析當(dāng)ABC是銳角三角形時，高AD和高BE的交點(diǎn)H在三角形內(nèi)；當(dāng)ABC是為鈍角三角形時，高AD和高BE的交點(diǎn) H在三角形外在解與高有關(guān)的問題時，應(yīng)考慮的全面 試 題 2已知ABC是等腰三角形，由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，試求 BAC的度數(shù)剖 析(1)對于等腰三角形問題，當(dāng)給出的條件(如邊、角情況)不明時，一般要分情況逐一考察，否則容易出現(xiàn)錯解或漏解的錯誤(2)當(dāng)頂角是銳角時，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角為直角時，腰上的 高與另一腰重合；當(dāng)頂角為鈍角時，腰上的高在三角形外這是在解與等腰三角形腰上的高有關(guān)的問題時，應(yīng)考慮的幾個方面
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