《二次曲面習(xí)題課》PPT課件.ppt

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1、解 析 幾 何 習(xí) 題 課 (二 ) Chap. 4 二 次 曲 面 (quadric surfaces)空 間 解 析 幾 何 的 兩 個 基 本 問 題 ： 一 、 給 定 曲 面 ， 建 立 方 程 ； 二 、 給 定 方 程 ,研 究 它 的 圖 形 及 其 幾 何 性 質(zhì) 。 1、 柱 面 (cylinder)定 義 ： 一 直 線 L沿 一 已 知 曲 線 C平 行 移 動 而 得 的 曲 面 稱 為 柱 面 。 C 準 線 (directrix ) ， L 母 線 (ruling )( , ) 0( , ) 0 ,0 . F x zF x z yy 方 程 表 示 為 準 線母

2、線 平 行 于 軸 的 柱 面直 柱 面 ： 射 影 柱 面 0),( 0),( zyxG zyxF空 間 曲 線 依 次 消 去 一 個 變 元0),( 0),( 0),( 321 zyF zxF yxF 射 影 柱 面柱 面 的 參 數(shù) 方 程 (parametric equation)（ P147 ex4）( ) ( ), ( ), ( ) , , ( , ) ( )r u x u y u z u s X Y Zr u v r u vs 準 線 為 母 線 平 行 于 的 柱 面 為 圓 錐 面 直 線 l1繞 另 一 條 與 l1相 交 于 O的 直 線 l2旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 旋

3、 轉(zhuǎn) 曲 面 稱 為 圓 錐 面 . O 頂 點 (vertex) 兩 直 線 的 夾 角 半 頂 角 錐 面 一 直 線 通 過 定 點 O， 且 沿 空 間 中 一 條 定 曲 線 C 移 動 所 產(chǎn) 生 的 曲 面 稱 為 錐 面 . O 頂 點 C 準 線 （ 不 唯 一 ） 動 直 線 母 線 （ 不 唯 一 ）2、 錐 面 (conical surface) 錐 面 的 參 數(shù) 方 程 （ P152 ex6） 0 0 0 00( ) ( ), ( ), ( ) , , ( , ) ( ) (1 )r u x u y u z u r x y zr u v vr u v r 準 線 為

4、 ， 頂 點 向 徑 為 的 錐 面 為 3、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 (surface of revolution)定 義 ： 曲 線 C繞 定 直 線 l旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 生 成 的 曲 面 稱 為 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 。 l 旋 轉(zhuǎn) 軸 ， C 母 線( , ) 0: 0f y zC zx 曲 線 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 而 得 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 為 2 2( , ) 0f x y z 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 參 數(shù) 方 程 （ P158 ex3） 2 2 2 2( ) ( ), ( ), ( ) ( , ) ( ) ( ) cos , ( ) ( ) sin , ( ) .r u x u

5、y u z u zr u v x u y u v x u y u v z u 曲 線 ： 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 得 到 4、 橢 球 面 (ellipsoid) （ 1） 橢 球 面 的 方 程 )0,(1222222 cbaczbyax（ 2） 橢 球 面 的 性 質(zhì) （ 1） 關(guān) 于 坐 標 原 點 、 坐 標 軸 、 坐 標 面 都 對 稱 。 （ 2） czbyax |,|,|并 有 六 個 頂 點 ),0,0(,)0,0(,)0,0,( cba （ 3） 形 狀 （ 與 三 個 坐 標 面 的 交 線 ） ： 0 12222 z byax (1) 是 一 個 橢 圓 (ellips

6、e) 0 12222 y czax (2) 是 一 個 橢 圓 0 12222 x czby (3) 是 一 個 橢 圓 x yzo bca （ 4） 橢 球 面 的 參 數(shù) 方 程 sin sincos coscoscz by ax （ 廣 義 球 坐 標 系 ） , 0 22 2 5、 雙 曲 面 (hyperboloid) I 單 葉 雙 曲 面 (hyperboloid of one sheet) 方 程 ： )0,(1222222 cbaczbyax性 質(zhì) ： （ 1） 關(guān) 于 坐 標 原 點 、 坐 標 軸 、 坐 標 面 都 對 稱 。 （ 2） 有 四 個 頂 點 )0,0(,

7、)0,0,( ba （ 3） 形 狀 ： 0 12222 z byax （ 1） 是 一 個 橢 圓 （ 腰 橢 圓 ） x yz o 0 12222 y czax （ 2） 是 雙 曲 線 (hyperbola) 0 12222 x czby （ 3） 是 雙 曲 線 （ 4） 是 一 個 橢 圓 hz chbyax 222222 1x y z o II 雙 葉 雙 曲 面 (hyperboloid of two sheets) 方 程 ： 性 質(zhì) ： （ 1） 關(guān) 于 坐 標 原 點 、 坐 標 軸 、 坐 標 面 都 對 稱 。 （ 2） 有 兩 個 頂 點 （ 3） 形 狀 ： )0,

8、(1222222 cbaczbyax ),0,0( c 0 1 2222 y czax 0 12222 x czby （ 6） 是 雙 曲 線 （ 7） 是 雙 曲 線 )0,(1222222 cbaczbyax 參 數(shù) 方 程 (P168 ex.7)(1) 單 葉 雙 曲 面(2) 雙 葉 雙 曲 面 )0,(1 222222 cbaczbyaxsec cossec sintanx a u vy b u vz c u tan costan sinsecx a u vy b u vz c u 6、 拋 物 面 (paraboloid) I 橢 圓 拋 物 面 (elliptic parabol

9、oid) 方 程 ： )0,(22222 bazbyax性 質(zhì) ： （ 1） 橢 圓 拋 物 面 對 稱 于 XOZ與 YOZ坐 標 面 ， 對 稱 于 z軸 ， 無 對 稱 中 心 。 （ 2） 與 對 稱 軸 交 于 原 點 （ 0， 0， 0） ， 叫 做 橢 圓 拋 物 面 的 頂 點 。 x yz o （ 3） 形 狀 ： 02 22 y zax 02 22 x zby （ 1） 是 拋 物 線 (parabola) （ 2） 是 拋 物 線 主拋物線 （ 3） 是 一 個 橢 圓 容 易 知 道 圖 形 （ 3） 的 兩 對 頂 點 分 別 在 主 拋 物 線 （ 1） 與 （ 2

10、） 上 。 hz hbyhax 2222 122x y z o （ 4） 是 拋 物 線 ty btzax )2(2 2222 x yz o II 雙 曲 拋 物 面 (hyperbolic paraboloid) 方 程 ： 性 質(zhì) ： )0,(22222 bazbyax（ 1） 橢 圓 拋 物 面 對 稱 于 XOZ與 YOZ坐 標 面 ， 對 稱 于 z軸 ， 無 對 稱 中 心 。 （ 2） 形 狀 ： 0 0 2222 z byax （ 5）是 一 對 相 交 于 原 點 的 直 線 02 22 y zax 02 22 x zby （ 6） 是 拋 物 線 （ 7） 是 拋 物 線

11、主拋物線 （ 8） 是 雙 曲 線 (hyperbola) hz hbyhax 2222 122 ty btzax )2(2 2222 （ 9） 是 拋 物 線 、 單 葉 雙 曲 面 與 雙 曲 拋 物 面 的 直 母 線定 義 ： 由 一 族 直 線 生 成 的 曲 面 稱 為 直 紋 面 (ruled surface) 這 族 直 線 稱 為 曲 面 的 一 族 直 母 線 。 、 單 葉 雙 曲 面 )0,(1222222 cbaczbyax 不 同 時 為 零wubywczaxu byuczaxw , 11 u 族 直 母 線 不 同 時 為 零tvbytczaxv byvczaxt

12、 , 11 v 族 直 母 線x z yu va c b 當 時 ， 01 0yb 0 0 01 , .y x zu vb a c L1和 L2的 方 向 向 量 分 別 為2 2 2 21 2 2 2 21 1 2 1( ( ), , ( ),1 2 1( ( ), , ( )uvs u v u vbc ac absts t s s tbc ac ab 2 1: 1x z ys ta c bL x z yt sa c b 當 時 ， 01 0yb 0 0 01 , ;y x zs tb a c 當 時 ， 01 0yb 0 0 0, 1 .x z ys ta c b 由 垂 直 ， 得 1

13、2,s s 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 1( )( ) ( )( ) 0.uvsta u v t s u v s ta c a b 01 0yb 01 0yb 分 別 在 和 的 情 況 下 ， 計 算 上 式各 項 ， 再 整 理 得 所 求 軌 跡 均 為 2 2 20 0 02 2 22 2 2 2 2 20 0 0 1, .x y za b cx y z a b c 例 9. 將 下 列 曲 線 化 為 參 數(shù) 方 程 表 示 : 632 1)1( 22 zx yx 0)2( 22 222 xayx yxaz解 : (1) 根 據(jù) 第 一 方 程 引 入 參 數(shù)

14、 , tx cos ty sin )cos26(31 tz (2) 將 第 二 方 程 變 形 為 ,)( 4222 2aa yx 故 所 求 為得 所 求 為tx aa cos22 ty a sin2 taz cos2121 )20( t )20( t 1x ty tz 2繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 所 得 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 為 cos1 2tx sin1 2ty tz 2 20 t消 去 t 和 , 得 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 為4)(4 222 zyx例 10. 求 空 間 曲 線 : r例 11. 直 線 110 1: zyxL 繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 , 求 此 旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 曲 面

15、的 方 程 . 解 : 在 L 上 任 取 一 點 ),1( 000 zyM軸繞為設(shè) zMzyxM 0),( 旋 轉(zhuǎn) 軌 跡 上 任 一 點 , Lxoz y0MM 則 有00 zy z22 yx 201 y得 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 1222 zyx r，代 入 第 二 方 程將 zy 0 例 12 求在 xoy 面 上 的 投 影 曲 線 方 程 。2 22 2 01x y yy z 1)1()1( 1: 222 222 zyx zyxC 0 022 22 z yyx zx yo 1C例 13 求所 圍 的 立 體 在 xoy 面 上 的 投 影 區(qū) 域 。上 半 球 面 和 錐 面224

16、 yxz )(3 22 yxz 0 122 z yx在 xoy 面 上 的 投 影 曲 線 )(34: 22 22 yxz yxzC二 者 交 線 .0,122 zyx所 圍 圓 域 : 22 yxz 2 21z x yx y z 2 2 1x y x y 2 2 10 x y x yz 例 14求 曲 線 繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 的 曲 面 與 平 面 的 交 線 在 xoy 平 面 的 投 影 曲 線 方 程 . 1 zyx解 ： 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 為交 線 為此 曲 線 向 xoy 面 的 投 影 柱 面 方 程 為 此 曲 線 在 xoy 面 上 的 投 影 曲 線 方 程 為 2y

17、z 0 x ,它 與 所 給 平 面 的 作 圖 練 習(xí) (2)o z yx 1 21x 2y(1) 224 yxz 0 xy xz yo 21、 畫 圖 : (3) zx yoa a222 azx 222 ayx (4) oz y15 xy3 xy15 xy 3 xy yz2x 3思 考 : by 對 平 面 交 線 情 況 如 何 ?,3時當 b 交 線 情 況 如 何 ?,3時當 b(5) 194 22 yx 3y ,2)1( 2 xy 拋 物 柱 面 0z平 面 ;1224 zyx及例 2、 畫 出 下 列 各 曲 面 所 圍 圖 形 : )0,1,2()0,2,8( 4x yzo2x

18、 yzo x yz1 1 1 1x yz 111 1o zx 12 1 yx 0y 0z,1)2( 2 zx 拋 物 柱 面 ;10,0 yxzy 及平 面 1 )1,1()1,1( zx yo zyx 22 xy 2 0z 1x2 2 2(3) , ,x y z y x 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 柱 面 0z平 面.1x及 2 2 2 2 2 8 2 x y z z x y L xoy 例 : 與 線 及 其 。求 曲 面 的 交 在 平 面 的 投 影2 22 28 2z x yz x y 1 . 2 2 4 2x yz 解 yx zo得 交 線 L：由 z =0 .2 212 2 4 2x y

19、z yx zo解 2 2 4x y L 所 求 投 影 曲 線 為2 2 4x y 2 2 4 0 x yz 得 交 線 L： . 投 影 柱 面2 22 28 2z x yz x y 由 2 2 2 2 2 8 2 x y z z x y L xoy 例 : 與 線 及 其 。求 曲 面 的 交 在 平 面 的 投 影2 aa 所 圍 立 體 圖作 出 曲 面 z,y,x,azxayx ， x z y0作 圖 練 習(xí) z = 0y = 0 x = 0 aax z y0 所 圍 立 體 圖作 出 曲 面 z,y,x,azxayx ， 作 圖 練 習(xí) . aax z y0 所 圍 立 體 圖作 出 曲 面 z,y,x,azxayx ， . a作 圖 練 習(xí)