隨機變量及其概率分布

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1、第二章 隨機變量及其分布 本章要求 離散型隨機變量 隨機變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機變量 及其概率密度 隨機變 量函數(shù)的 概率 分布 本章要求 1.掌握隨機變量及其分布函數(shù)的概念 ; 2.理解離散型隨機變量及其分布律的概念； 掌握較簡單的離散型隨機變量的分布律的計算； 掌握兩點分布、二項分布與泊松分布； 3.掌握連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)、性質(zhì)及有關(guān)計 算；掌握均勻分布、指數(shù)分布及其計算；熟練掌握正態(tài)分 布及其計算 , 4.了解隨機變量函數(shù)的概念，會求簡單隨機變量函數(shù)的概 率分布 ; 重點： 隨機變量的分布律與概率密度函數(shù)的概念、性質(zhì) 和計算，隨機變量函數(shù)的分布，幾種常見分布 。 關(guān)于隨機變

2、量 (及向量 )的研究，是概率論的 中心內(nèi)容這是因為，對于一個隨機試驗，我 們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的 某個或某些量，而這些量就是隨機變量也可 以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn) 象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù) 學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣變量概念 是高等數(shù)學有別于初等數(shù)學的基礎(chǔ)概念同樣， 概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一 個更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是 隨機變量 2.1 離散型隨機變量 2.1.1 隨機變量的概念 定義 . 設(shè) S=e是試驗的樣本空間，如 果量 X是定義在 S上的一個單值實值函 數(shù)即對于每一個 eS，有一實數(shù) X=X(e)與之對應(yīng)，則稱

3、 X為 隨機變量。 隨機變量 常用 X、 Y、 Z 或 、 、 等 表示。 隨機變量的特點 : 1、 X的全部可能取值是互斥且完備的 2 、 X的部分可能取值描述隨機事件 隨機變量的分類 ： 隨機變量 2.1.2 離散型隨機變量 定義 若隨機變量 X取值 x1, x2, , x n, 且取 這些值的概率依次為 p1, p2, , p n, , 則稱 X為 離散型隨機變量，而稱 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為 X的 分布律 或概率分布。可表為 X PX=xk=pk, (k=1, 2, ) ， 或 X X x1 x2 xK Pk p1 p2 pk (1) pk 0, k 1, 2,

4、; (2) 1 .1 k kp . 3 5 3 32 C CCkXP kk 例 設(shè)袋中有 5只球，其中有 2只白 3只黑。現(xiàn)從中任 取 3只球 (不放回 )，求抽得的白球數(shù) X為 k的概率。 解 k可取值 0， 1， 2 分布律的性質(zhì) 例 某射手對目標獨立射擊 5次，每次命中目標的概 率為 p，以 X表示命中目標的次數(shù)，求 X的分布律。 解：設(shè) Ai 第 i次射擊時命中目標， i=1,2,3,4,5 則 A1,A2, A5,相互獨立且 P(Ai)=p,i=1,2, 5. SX=0,1,2,3,4,5, (1-p)5 2.1.3 (0-1)分布 與二項分布 1. (0-1)分布 若以 X表示進行

5、一次試驗事件 A發(fā)生的 次數(shù)，則稱 X服從 (0 1)分布 (兩點分布 ) X PX k pk(1 p)1 k, (0p0 是常數(shù) ,則稱 X 服從參數(shù)為 的 泊松分布 ,記作 XP( ). 據(jù) 00 1 ! k k kk p e e e k 得 :泊松 (Poisson)分布 滿足分布律的基本性質(zhì) 2 1 2 ! ! k e k 泊松 定理表明， 泊松分布是二項分布的極限分布， 當 n很大， p很小時， 二項分布就可近似地看成是參 數(shù) =np的 泊松分布 例 設(shè)某國每對夫婦的子女數(shù) X服從參數(shù)為 的泊松分 布 ,且知一對夫婦有不超過 1個孩子的概率為 3e-2.求任 選一對夫婦 ,至少有 3

6、個孩子的概率。 解 :由題意 , 例 一家商店采用科學管理，由該商店過去的銷售 記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù) =5 的泊松分布來描述，為了以 95%以上的把握保證不 脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進 某種商品多少件？ 解 : 設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為 X, 已知 X服從參數(shù) =5的泊松分布 . 設(shè)商店在月底應(yīng)進 某種商品 m件 , 求滿足 P X m 0.95 的最小的 m . 進貨數(shù) 銷售數(shù) 此題特注 求滿足 P X m 0.95 的最小的 m. 查泊松分布表得 ,0 3 2.0 ! 5 10 5 k k k e PXm 0.05 也即 于是得 m+1=10, 1 5 05.0 ! 5

7、mk k k e m=9件 或 5 9 5 0 . 0 6 8 ! k k e k 注意 :P34 例 2-9;2-10,比上述例題容易 2.2 隨機變量的分布函數(shù) 定義 設(shè) X是 隨機變量，對任意實數(shù) x， 事件 Xx的 概率 PXx稱為隨機變量 X的 分布函數(shù) 。 記為 F(x)， 即 F(x) P Xx. 易知，對任意實數(shù) a, b (ab), P aXb PXb PXa F(b) F(a). 2.2.1分布函數(shù)的概念 . 當 x0 時 ， X x = ， 故 F(x) =0 例 設(shè) 隨機變量 X 的分布律為 當 0 x 1 時 ， F(x) = PX x = P(X=0) = 3 1

8、0 x1 2xx X X X kp 0 1 2 1 3 1 6 1 2 求 X 的分布函數(shù) F (x) . 解 F(x) = P(X x) 當 1 x 2 時 ， F(x) = PX=0+ PX=1= + = 3 1 6 1 2 1 當 x 2 時 ， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 1 0 x1 2 Xx xX 故 注意右連續(xù) 下面我們從圖形上來看一下 . 2,1 21, 2 1 10, 3 1 0,0 )( x x x x xF 31 21 1 20 21 61 O O O 1 )(xF 的分布函數(shù)圖 x y 2.2.2分布函數(shù)的性質(zhì) 1、 單調(diào)不減性： 若 x1x2

9、, 則 F(x1)F(x2); 2、 歸一 性： 對任意實數(shù) x， 0F(x)1， 且 3、 右連續(xù)性：對任意實數(shù) x， 反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨 機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的 充分必要性質(zhì)。 一般地，對離散型隨機變量 X PX= xk pk, k 1, 2, 其分布函數(shù)為 例 設(shè)隨機變量 X具分布律 如右表 解 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 試求出 X的分布函數(shù)。 例 向 0,1區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以 X表示質(zhì)點坐 標 .假定 質(zhì)點落在 0,1區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概 率與區(qū)間長成正比 ，求 X的分布函數(shù) 解： F(x)=PX x 當 x1時 ,F(

10、x)=1 當 0 x1時 , 特別 ,F(1)=P0 x1=k 1=1 2.3 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 1. 定義 對于隨機變量 X， 若存在非負函數(shù) f(x)， (-x+)， 使對任意實數(shù) x， 都有 則稱 X為連續(xù)型隨機變量， f(x)為 X的 概率密度 函數(shù) ，簡稱概率密度或密度函數(shù) . 常記為 X f(x) , (-x+) 2.3.1 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 密度函數(shù)的幾何意義為 2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (1) 非負性 f(x)0， (-x)； (2)歸一性 性質(zhì) (1)、 (2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)； 例 設(shè)隨機變量 X的概率密度為 求常數(shù) a. 答 : 0 0 00 x x

11、x x xa e d x a e d x a e d x a e a e 00 21a e e e e a ? (3) 若 x是 f(x)的連續(xù)點，則 例 設(shè)隨機變量 X的分布函數(shù)為 ,求 f(x) ()Fx （ 4） 對任意實數(shù) b， 若 X f(x)， (-x)， 則 PX=a 0。 于是 例 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為 0 , 1 , ( ) l n , 1 , 1 , . X x F x x x e xe ， 求（ 1 ） P X 2 , P 00的 指數(shù)分布。其分布函數(shù)為 指數(shù)分布在可靠性理論與排隊論中有廣泛應(yīng)用 例 .電子元件的壽命 X(年） 服從參數(shù)為 3的指數(shù)分布 (1)求該

12、電子元件壽命超過 2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了 1.5年，求它還能使用 兩年的概率為多少？ 解 本問題屬于條件概率 例 某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為 T， 設(shè) 0， t時段內(nèi)過橋的汽車數(shù) Xt服從參數(shù)為 t的泊 松分布，求 T的概率密度。 解 當 t 0時， 當 t 0時， =1- 在 t時刻之前無汽車過橋 于是 PX k 次數(shù) 有何發(fā)現(xiàn)？ 概率密度就是指數(shù)分布， F（ t）就是其分布函數(shù) 請欣賞 其中 為實數(shù)， 0 ，則稱 X服從參數(shù)為 ,2的 正 態(tài)分布 ,記為 N(, 2)， 可表為 X N(, 2). 若隨機變量 2.3.3. 正態(tài)分布 (1) 單峰對稱 密度曲線關(guān)于

13、直線 x=對稱 ； f() maxf(x) . 正態(tài)分布有兩個特性： (2) 的大小直接影響概率的分布 越大，曲線越平坦， 越小，曲線越陡峻 。 正態(tài)分布也稱為高斯 (Gauss)分布 4.標準正態(tài)分布 參數(shù) 0， 2 1的正態(tài)分布稱為 標準正態(tài)分布 ，記作 XN(0, 1)。 分布函數(shù)表示為 其密度函數(shù)表示為 一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表 供讀者查閱 (x)的值。 (P195附表 1)如，若 ZN（ 0， 1） ,（ 0.5)=0.6915, 注 ： (1) (x) 1 ( x)； (2) 若 X N(, 2)， 則 標準化 P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32) =0

14、.9925-0.9066 例 設(shè) X N （ 3 , 2 2 ） （ 1 ）求 P 2 X 5 ， P 4 2 ， （ 2 ）決定 C 使得 P X C = P X C 解： 52)1( XP 2 35 2 3 2 32 XP 5.0)1( 15.0)1( 5328.0 104 XP 2 3102 32 34 XP 5.3)5.3( 1)5.3(2 9996.0 2 XP 2 3 3 2 31 2 2 2XP 5.2)5.0(1 5.0)5.2(1 6977.0)2( 由對稱性得： 3C 3 0, 12X N 例 設(shè)隨機變量 XN(-1,22),P-2.45X2.45=? 例 設(shè) XN(,2)

15、,求 P-3X3的值 . 如在質(zhì)量控制中，常用標準指標值 3作兩條線， 當生產(chǎn)過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報 . 表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常 . 利用 例 一種電子元件的使用壽命（小時）服從正態(tài)分 布 (100,152),某儀器上裝有 3個這種元件，三個元 件損壞與否是相互獨立的 .求：使用的最初 90小時內(nèi) 無一元件損壞的概率 . 解 :設(shè) Y為使用的最初 90小時內(nèi)損壞的元件數(shù) , 故 則 YB(3,p) 其中 解 P(X h)0.01 或 P(X h) 0.99， 下面我們來求滿足上式的最小的 h . 看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子 : 例 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭 碰頭機會在 0.

16、01 以下來設(shè)計的 .設(shè)男子身高 X N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定 ? 設(shè)車門高度為 h cm,按設(shè)計要求 因為 X N(170,62), 故 P(X0.99 即 h=170+13.98 184 設(shè)計車門高度為 184厘米時，可使 男子與車門碰頭 機會不超過 0.01. )1,0(6 1 70 NX 所以 . 1 7 0 1 7 0 66 XhP 170 6 h P(X h ) 0.99 求滿足 的最小的 h . 6 170h因而 = 2.33, 170 6 h 標準正態(tài)分布的上 分位點 0 , 1 ,XN設(shè) , 0 1P X z 則稱點 為 z 標準正態(tài)分布的 上 分位點 . )

17、(x 1 zz zz 1 1P X z 1 P X z P X z 若數(shù) 滿足條件 z 2.4.1離散型隨機變量函數(shù)的概率分布 2.4 隨機變量函數(shù)的概率分布 設(shè) X一個隨機變量，分布律為 X PX xk pk, k 1, 2, -1 0 1 例 已知 X Pk 求： Y=X2的分布律 Y P k 1 0 若 y g(x)是一元單值實函數(shù)，則 Y g(X)也是一個隨 機變量。求 Y的分布律 . 解： 當 X 取值 1， 2， 5 時 ， Y 取對應(yīng)值 5， 7， 13， 例 設(shè) X 3.0 5 5.02.0 21 求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù) . 30 13 5020 75 . Y 而且

18、 X取某值與 Y取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件 ， 兩者具有相同的概率 . 故 或 Y g(X) PY g(xk) pk ， k 1, 2, （ 其中 g(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并 。） 一般地 X Pk Y=g(X) 例 設(shè)隨機變量 X 的分布律為： X 2 1 0 1 3 P 1 /5 1 /6 1 /5 1 /15 1 1 /3 0 求 Y =X 2 的分布律 解： 9,4,1,02 YXY 的所有可能取值為： 0 YP 0 2 XP 0 XP 5/1 1 YP 1 2 XP 11 XXP 或 11 XPXP 307 4 YP 4 2 XP 22 XXP 或 22 XPXP 5/1

19、 4 YP 4 2 XP 22 XXP 或 22 XPXP 2 XP 5/1 9 YP 9 2 XP 33 XXP 或 33 XPXP 3 XP 30/11 設(shè)隨機變量 Y 的分布律為： Y 0 1 4 9 P 1/5 7/ 30 1/5 1 1 /30 注意： P51 例 2-25， 2-26 2.4.2 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布 1、 一般方法 若 Xf(x), - x +, Y=g(X)為隨機變量 X 的函數(shù)， 然后再求 Y的密度函數(shù) 此法也叫“ 分布函數(shù)法 ” 則可先求 Y的分布函數(shù) FY (y) PYy P g(X) y 例 設(shè) XU(-1,1),求 Y=X2的分布函數(shù)與概率密度

20、。 當 y0時 當 0y1時 當 y1時 例 設(shè) X的概率密度為 fX(x),y=g(x)關(guān)于 x處處可導 且是 x的嚴格單減函數(shù)，求 Y=g(X)的概率密度。 解： Y的分布函數(shù)為 FY(y)=PYy=Pg(X)y =PXg-1(y)=1-FX(g-1(y) Y的概率密度為 fY(y)=F(g-1(y)= fX(g-1(y) g-1(y) 2、 公式法：一般地 若 X fX(x), y=g(x)是單調(diào)可導函數(shù)，則 注 ： 1、 只有當 g(x)是 x的單調(diào)可導函數(shù)時，才可用以 上公式推求 Y的密度函數(shù)。 2、 注意定義域的選擇 其中 h(y)為 y g(x)的反函數(shù) . 例 已知 XN(,2

21、),求 解 ： 的概率密度 關(guān)于 x嚴單 ,反函數(shù)為 故 解 baxxgy )( 的概率密度為隨機變量 X a byyhx )(解得 ayh 1)( 的概率密度為所以 baXY 例 設(shè)隨機變量 服從正態(tài)分布，證明 ),( 2NX baXY 也 服從正態(tài)分布 . 2 2 () 21( ) , 2 x Xf x e x 1( ) ( ) , yX ybf y f y aa ye a e a yf a aby a by y 2 2 2 2 2 )( 2 )( 2 1 2 11 )( 即 2)(, abaNbaXY 所以 本例與上例結(jié)論要牢記 例 設(shè) XU(0,1),求 Y=ax+b的概率密度 .(a

22、0) 解 : Y=ax+b關(guān)于 x嚴單 ,反函數(shù)為 故 而 故 第二章 自測題 一隨機變量 X 具有以下的分布律： X - 2 0 2 3 P 0 .2 0 .2 0 .3 0 .3 則 2XY 的分布律為 ._ _ _ _ _ 二 已 知 隨 機 變 量 X 的 概 率 密 度 為 _ _ _ _ _ _ ;,)( | AxAexf xX 系數(shù)X 的分 布函數(shù) 2_ _ _ _ _ ;)( XYxF X 的概率密度 ._ Y 0 4 9 P 0 .2 0. 5 0 .3 5.0 05.01 05.0 xe xexF x x X 0 2 1 00 ye y y yf yY 三設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為（ 2 ， P ）的二項分布， 隨機變量 Y 服從參數(shù)（ 3 ， P ）的二項分布，若 ._1, 9 5 1 YPXP 則 四設(shè) ,3.0)42(),2( 2 XPNX 且 ._)0( XP則 五 設(shè) 隨 機 變 量 X 的分布律為 ,2,1,0, ! )( )( k k b akXP k 其中 0, b 是 已知常數(shù)，則 ._ _ _ _ _ _a 27 19 2.0 be 精品課件資料分享 SL出品