函數列一致收斂性三.ppt

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1、第十三章 函數列與函數項級數 一、點態(tài)收斂的概念 二、一致收斂性及其判別法 三、一致收斂的函數列 與函數項級數的性質 1 一致收斂性 一、函數列與函數項級數 二、函數列一致收斂性 三、函數項級數一致收斂性 下 頁 上 頁 返 回 一、函數列與函數項級數的的概念 1. 函數列的定義 : 收斂數列 (數項級數 )可表示、定義一個數； 試用函數列、函數項級數來表示、定義一個函數。 (1) 定義 1 是定義在同設函數 ),(,),(),( 21 xfxfxf n ., 上的函數列則稱其為上一個數集 EE ,2,1),()( : nxfxf nn 或記為 ) .()(, 00 xfxfxx nn 為一個

2、數列則函數列特別地取定 (2) 定義 2 ,)(,)( 00 點收斂在則稱收斂若數列 xxfxf nn .)(0 的收斂點為也稱 xfx n .)(,)( 00 點發(fā)散在則稱發(fā)散若數列 xxfxf nn ,)( 上的每一點均收斂在若數列 Dxf n .)( 上收斂在則稱 Dxf n 下 頁 上 頁 返 回 (3) 定義 3 則可確定一個新的上收斂在若 ,)( Dxf n .),( Dxxf 函數 .)()( 的極限函數為函數列則稱 xfxf n nxfxfDxDxxfxf nnn ),()(,),()(l i m : 或記為 )()(lim xfxf nn即 定義 N )()(,N ,0, x

3、fxfNnNDx n有當),( x (4) 定義 4 .)(,)( 的收斂域稱為收斂點的全體集合函數列 xfxf nn 例 1 試求下列函數列的收斂域與極限函數 ),( ,2,1,)( )1( xnxxf nn 解 顯然 ,1時x 0lim nn x ,1時x ,lim 不存在nn x ,1時x 1lim nn x ,1時x ,lim 不存在nn x 1,1( 收斂域為nx 極限函數 1 ,1 1|,0)( x xxf 下 頁 上 頁 返 回 ),( ,2,1,s i n)( )2( xnn nxxf n 解 顯然 ),(s i n 收斂域為n nx 極限函數 ),(,0)( xxf ,1s

4、i n)( nn nxxf n 0s inlim nnxn 問題： ;)( )1( 收斂域的判別函數列 xf n ).()( )2( 連續(xù)、可積、可導的分析性質極限函數 xf 是不是所有 的連續(xù)函數列的極限函數 在其收斂域上也連續(xù)。 )(l i m)()(l i m 000 xfxfxf nnxx 即 ？ 結論是：不一定 1 ,1 1|,0)(lim x xxfx n n如： .1)( 處不連續(xù)在 xxf 因此，保持連續(xù)性只有收斂的條件是不夠的。 下 頁 上 頁 返 回 (1) 定義 5 1 )( n n xu 稱為 E上的函數項無窮級數或簡稱為級數。 部分和實際是一個函數列 . ni inn

5、 xuxuxuxuxs 121 )()()()()( 同時稱 2. 函數項級數的概念 ) ,( xuE n上的函數列設 對其各項 依次 用“ +”連接起來的表達式 )()()()( 321 xuxuxuxu n記為 部分和 . .)(, 1 00 實際為一個數項級數函數項級數 n n xuEx特別地 , (2) 定義 6 .)(,)(, 101 00 收斂點為則稱收斂級數當 n nn n xuxxuEx .)(l i m)(l i m 1 00 存在即 n i innn xuxs .)(,)( 101 0 發(fā)散點為則稱發(fā)散當 n nn n xuxxu 下 頁 上 頁 返 回 (3) 定義 7

6、則可確定一個新的上收斂在若級數 ,)( 1 Dxu n n .),( Dxxs 函數 .)()( 1 的和函數為函數列則稱 n n xuxs Dxxsxu n n ),()( : 1 記為 )()(lim xsxs nn即 定義 N )()(,N ,0, xsxsNnNDx n有當),( x (4) 定義 8 .)(,)( 11 的收斂域稱為收斂點的全體集合級數 n nn n xuxu .)()( 1 的收斂域的收斂域本質上是 xsxu n n n 余項 )()()( xsxsxR nn )( 1 xu i in Dxxsxu n n ),()( 1 收斂與若 可通過部分和函數列討論級數的收斂

7、域與和函數 . 下 頁 上 頁 返 回 例 2 試求下列級數的收斂域與和函數 ),( , )1( 1 xx n n 解 xxxxxs nn k k n 1 )1()( 1 ),( x )(lim xsnn xxx nn 1 )1(lim 1, 1,1 x xxx 發(fā)散 ),( ,)()()( )2( 12 1 xxxxxxxu nn n n 解 nn xxs )( ),( x )(lim xsnn nn x lim 1 ,1 1|,0 xx 收斂于內在 1 )1,1( n nxxx1 收斂域 1 ,1 1|,0)( x xxf和函數 1,1( 下 頁 上 頁 返 回 問題 ： (1) 函數項級

8、數的收斂域與和函數； (2) 和函數的分析性質。 對有限個連續(xù)、可積、可導函數的和仍相應是 連續(xù)、可積、可導 ,有很好的運算法則 . 對無限個連續(xù)、可積、可導函數的和仍相應是 連續(xù)、可積、可導？ 由上例 (2)知 1 ,1 1|,0)()()()( 12 1 x xxfxxxxxxu nn n n .1 ,1 1|,0)( 在其收斂域上不連續(xù) xxxf 進一步討論和函數的性質只在收斂條件下進行不夠。 下 頁 上 頁 返 回 1,0(,2)()( 222 1 xxenxsxu xnn n n 的部分和又如：若 1,0(,0)( xxs ,可積連續(xù) dxxu n n 1 0 1 )( dxxs n

9、n 10 )(l i m )()( 1 1 0 1 0 1 n k k n k k dxxudxxu由于 dxxun k kn )(l i m10 1 dxxs 10 )( dxxs nn )(l i m10 ,0 )( l i m)( l i m 1 1 0 1 0 1 n k kn n k kn dxxudxxu )1(l i m 2nnn e 1 dxxu n n 1 0 1 )( 1 10 )(n n dxxu 1 10 )(n n dxxu 結論： 即使和函數可積，求和函數的積分時也不能先 對每個函數積分后，再和 . 為此引進 一致收斂 的概念 下 頁 上 頁 返 回 二、函數列的一

10、致收斂 回顧： 上連續(xù)在數集函數 Exf )( 處連續(xù)在 xxfEx )(, |)()(|),(,0 ,0, xfxfxUxEx 有當),( x 上一致連續(xù)在數集函數 Exf )( |)()(| ,|,0 ,0 xfxf xxExx 有 時當)( )()(l i m xfxf nn )()(,N ,0, xfxfNnNDx n有當),( x 1 定義 9 滿足上函數列設 ),(),( xfxfD n )()(,N ,0 xfxfDxNnN n有當)( )()( xfDxf n 上一致收斂于在則稱函數列 Dxnxfxf n ),(),( )( :記為 下 頁 上 頁 返 回 命題： Dxnxfx

11、f n ),(),( )( )1( 若 Dxnxfxf n ),(),()(則 由定義顯然可得 . (2) 反之不真 . Dxnxfxf n ),(),()( 若即 ).(),( )( nxfDxf n 上不一定一致收斂于在 ).(),( )( nxfDxf n 上不一致收斂于在 Dxnxfxf n ),(),( )( 000000 )()(,N,0 0 xfxfDxNnN n有 例 3 判斷下列函數列在給定的區(qū)間上的一致收斂性 ),( ,2,1,s i n)( )1( xnn nxxf n 解 ),(,0)()(lim xxfxf nn ,N,1s i n)()( nnn nxxfxf n

12、,0 .1 即可取 N Rxn nx 0, s i n 下 頁 上 頁 返 回 1,1( ,2,1,)( )2( xnxxf nn 解 nn xxfxfx |)()(|,0 時當 000000 )()(,N,0 0 xfxfDxNnN n有 Dxnxfxf n ),(),( )( 0)11(,N,2 0 1 0 000 nnxnn故對 00 |)()(| 000 nn xxfxf 21)11( 0 n ,)11(,2m a x ,N,21 0 1 0 000 nnxNnN 取即 000 )()(0 xfxf n有 1,1(,1 ,1 1|,0)( xxxxf)( xf n從而 1,1(,1 ,

13、1 1|,0)()( xxxxfxf n由前知 下 頁 上 頁 返 回 )()( xfDxf n 上一致收斂于在函數列 2. 幾何意義 )()(,N )(,0 xfxfDxNnN n有當 Dx 0先取定 x o y x0 f(x0) Nn 當項數充分大即給定 ,0 的每一條曲線函數列 )( xf n . 2,)( )( 帶形區(qū)域內 的寬為為中的函數 將位于以極限 xf xfy n )()( xfDxf n 上收斂于在函數列 的幾何意義呢？ 下 頁 上 頁 返 回 3. 函數列一致收斂的判別法 (1) Cauchy準則 定理 1 上一致收斂在函數列 Dxf n )( )()(,N )(,0 xf

14、xfDxNmnN mn有當 .)()( 未知的極限函數函數列 xfxf n 證 2)()(,N ,0 xfxfDxNnN n有當 )( xf n設 Dxxf ),( 2)()(, xfxfDxNm m有 )()()()()()( xfxfxfxfxfxf mnmn )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有當即 )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有當 ,)(, 收斂xfDx n Dxnxfxf n ),(),()(設 mxfxf mn 中令在 )()( )()(,N )(,0 xfxfDxNnN n有當 )()( xfxf n )( xf n即 Dxxf ),( 下

15、頁 上 頁 返 回 3. 函數列一致收斂的判別法 (1) Cauchy準則 定理 1 上一致收斂在函數列 Dxf n )( )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有當 .)()( 未知的極限函數函數列 xfxf n )()( ,N,N,0 xfxf DxpNnN npn有 當 雖然 Cauchy準則，較用定義判別改進一步，應用時 往往也需要較復雜的技巧，操作上不理想的弱點。 (2) 上確界判別法 )()( xfDxf n 上一致收斂于在函數列 )()( xfxf n 定理 2 Dxsupnlim 0 證 2)()(,N ,0 xfxfDxNnN n有當 )( xf n設 Dxxf

16、),( )()( xfxf n Dxsup,Nn 當 2 )()( xfxf n Dxsupnlim 0 下 頁 上 頁 返 回 (2) 上確界判別法 )()( xfDxf n 上一致收斂于在函數列 )()( xfxf n 定理 2 Dxsupnlim 0 證 )()( xfxf n Dxsupnlim 0 ,N ,0 NnN 當 )()( xfxf nDxsup ,)()(, xfxfDxNn n有當 )( xf n Dxxf ),( 此判別法涉及上確界的求法。 .,)()( 法可利用導數求最值的方上可導在、若 Dxfxf n 當然也可以適當放大，如下所述： )()( xfxf n Dxsu

17、p 若 0l i m , nnn aa 且 )( xf n Dxxf ),( 下 頁 上 頁 返 回 例 3 求下列函數列的收斂域，并討論一致收斂性 ),(,)(1)( )1( 2 xnxxxf n 解 )(lim xf n n 2)(1lim nx x n 0 進一步考察一致收斂 )()( xfxf n ),( x)(xf 2)(1 | nx x )(12 1 2 22 nxn xn nan 2 1 021limlim na nnn由于 ),( x 2)(1)( nx xxf n ),( ,0)( xxf 也可以利用一致收斂的定義驗證 . 下 頁 上 頁 返 回 ),(,)( )2( xxx

18、f nn 解 )(lim xf nn 1,1(收斂域為 1 ,1 1|,0)( xxxf 進一步考察一致收斂 )()( xfxf n 1 ,0 1|,| xxx n 1,1(supx )()( xfxf n ,1 nlim 1,1(supx )()( xfxf n ,01 .1,1()( 上不一致收斂在故 xf n .)1,1()( 上也不一致收斂在同理 nn xxf ),1,0( k但 ,supkkx )()( xfxf n , nk nlim )()( xfxf n 0lim nn k nn xxf )( , ,0)( kkxxf 內閉一致收斂 完全與一致連 續(xù)性質相似 ,supkkx 下

19、 頁 上 頁 返 回 例 4 證明 )( xf n若 ,),( Dxxf )( xgn Dxxg ),( )()( xgxf nn 則 ,),()( Dxxgxf ,N ,0 11 NnN 當 ,2)()(, xfxfDx n有證 ,N 22 NnN 當 ,2)()(, xgxgDx n有 ,N,m ax 21 NnNNN 當取 )()()()(, xgxfxgxfDx nn 有 )()()()( xgxgxfxf nn )()( xgxf nn 則 ,),()( Dxxgxf 下 頁 上 頁 返 回 三、函數項級數的一致收斂 函數列一致收斂是函數在區(qū)間上的整體性質，收 斂僅僅是局部性質。 下

20、面介紹函數項級數的一致收斂性 . 1 定義 10 ,)()( 的部分和函數列是函數項級數設 xuxs nn )( xsn若 , ),( Dxxs )()( xsDxu n 上一致收斂于在則稱 )()(,N ,0 xsxsDxNnN n有當)( )()(,N )(,0 xsxsDxNmnN mn有當 )()( xsxs n Dxsupnlim 0 函數項級數的一致收斂歸結為部分和函數列的一致收斂 . 由前討論可得： )()( xsDxu n 上一致收斂于在 )( xR n , ,0 Dx 下 頁 上 頁 返 回 以上方法只有在級數的部分和函數列能求得時可用， 然而有時求部分和函數列非常困難 .

21、2 函數項級數一致收斂的判別方法 (1) 必要條件 定理 3 ,)( 上一致收斂在若 Dxu n ( xun則 . ,0 Dx )()( ,N )(,0 1 xsxs DxNnN nn有 當 事實上 ,)( 上一致收斂在若 Dxu n |)(| 1 xu n即 )( xun則 . ,0 Dx 0)1,1()( 上不一致收斂于在由于 nn xxu .)1,1( 上也不一致收斂在 nx .)1,1(, 上不一致收斂在但 kkx n 頁詳見 32P 下 頁 上 頁 返 回 (2) 優(yōu)級數法 Weierstrass法 定理 4 .)( 上一致收斂在則 Dxu n 此法類似于正項級數的比較法，將一致收斂

22、轉化為 尋找一個收斂的正項級數 ,稱為 M-審斂法 . ).(,)( 級數為優(yōu)級數稱若 MMDxMxu nnn 證 由柯西收斂準則即得 收斂nM N,N ,0 pNnN 當 pnnpnn MMMM 11 | pnnpnn MMxuxu 11 |)()(|即 ,2,1,)(, ,)( nDxMxuM xuD nnn n 使得正項級數 若存在一個收斂的上函數項級數在 ,Dx .)( 上一致收斂在則 Dxu n 下 頁 上 頁 返 回 例 5 討論下列函數級數在給定的區(qū)間上的一致收斂性 , )1( 絕對收斂設數項級數 na .),(c o ss i n 一致收斂性在與討論 nxanxa nn |co

23、s,si n nnn anxanxa 由于 收斂 na .),(cossi n 內一致收斂在與 xnxanxa nn 解 .),(,1 )2( 1 25 n xxnnx 解 )1(1 252 3 2 5 25 xnn xn xn nx )1(2 1 252 3 25 xnn xn 2 3 2 1 n 收斂由于 1 232 1 n n .),(1 1 25 n xxnnx 一致收斂在 下 頁 上 頁 返 回 .),(),1(,c o s )3( 1 n p xpn nx一致收斂 例 5 討論下列函數級數在給定的區(qū)間上的一致收斂性 .),(,1s i n)1( )4( 1 2 n n x n nx

24、一致收斂 .),1(,2 )1( )5( 1 n n n x x ),1(,1,12 1 2 )1( xn x nn n 收斂由于 12 1n .),1(2 )1( 1 內一致收斂在 xx n n n .,)!1( )6( rrxn x n )!1()!1( n r n x nn 收斂 )!1( n r n 一致收斂 下 頁 上 頁 返 回 類似于數項級數，有方法可以判別形如 .)()( 1 上一致收斂在 Dxvxu n nn ,)( )1( 1 上一致收斂在設 Dxu n n , )2( 是單調的數列 nvDx .)()( 1 上一致收斂在則 Dxvxu n nn 定理 5 (3) 阿貝爾判

25、別法 ).(,N,0, )3( 稱為一致有界MvnDxM n ,)()( )1( 1 上一致有界在的部分和設 Dxsxu n n n , )2( 是單調的數列 nvDx .)()( 1 上一致收斂在則 Dxvxu n nn 定理 6 (4) 狄利克雷判別法 )( 3)( xv n . ,0 Dx 下 頁 上 頁 返 回 例 6 討論下列函數項級數在給定區(qū)間上的一致收斂性 ),( ,)1( )1( )1( 2 21 xx x nn 1)1()( nn xu設解 nn x xxv )1()( 2 2 nxxun k k ),(,1)( 1 顯然 nnx x nx x x x n 1 1)1(0 2 2 2 2 2 2 由于 ,)1()(),( 22 單調遞減nn xxxvx )( xvn則 ),( ,0 x 由狄利克雷判別法 .),()1( )1( 2 21 內一致收斂在 nnx x 下 頁 上 頁 返 回 ),0 ,)1( )2( 1 xn x n 例 6 討論下列函數項級數在給定區(qū)間上的一致收斂性 nxu n n )1()( 設解 xn nxv 1)( 收斂顯然 n n)1( .)1( 一致收斂 n n 單調遞減xn nxv 1)( ),0 x .110 一致有界 xn 由阿貝爾判別法 .),0)1( 1 上一致收斂在 x nn