《馬爾可夫鏈分析法》PPT課件

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1、馬爾可夫鏈分析法 馬爾可夫鏈 馬爾可夫鏈：一種隨機(jī)時(shí)間序列，它在將來(lái)取什 么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與它過(guò)去取什么 值無(wú)關(guān)。這種性質(zhì)稱(chēng)為無(wú)后效性。 形象示意：青蛙在若干荷葉上跳躍 ,下一位置僅與 當(dāng)前位置有關(guān)。 狀態(tài)概率向量： 設(shè)馬爾可夫鏈在 tK 時(shí)取狀態(tài) E1 E2 En的概率分別為 p1 p2 pn 而 0Pi1， 則向量 P1P2 Pn 稱(chēng)為 tK時(shí)的狀態(tài)概率向量。 一步轉(zhuǎn)移概率： 設(shè)系統(tǒng)可能出現(xiàn) N個(gè)狀態(tài) E1 E2 En， 則系統(tǒng)由 tK時(shí)刻從 Ei轉(zhuǎn)移到 tk+1時(shí)刻 Ej狀態(tài)的概 率就稱(chēng)為從 i到 j的轉(zhuǎn)移概率 . )( jiij EEpp 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

2、：在一定條件下，系統(tǒng)只能在 可能出現(xiàn)的狀態(tài) E1 E2 En中轉(zhuǎn)移，系統(tǒng)在所有 狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的可能性用矩陣 P表示，稱(chēng) P為狀態(tài) 轉(zhuǎn)移概率矩陣。 , jiijNNij EEPppP 其中 轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下述性質(zhì) : Njip ij ,2,1,0 Nip N j ij ,2,11 1 正規(guī)概率矩陣及性質(zhì) 概率向量：元素均為非負(fù)數(shù)且總和為 1的向量。 概率矩陣：方陣的各行 (或各列 )都是概率向量。 概率陣性質(zhì)：若 A、 B是概率陣，則 AB、 An也是。 固定概率向量 (均衡點(diǎn) )：若 U是 n維概率向量 ,A是 n 階方陣，且有 UA=U，則稱(chēng) U是 A的均衡點(diǎn)。 正規(guī)概率矩陣：對(duì)概率陣 P

3、，若存在某個(gè)正整數(shù) m, 使得 Pm所有元素大于零 ,則稱(chēng) P為正規(guī)概率矩陣。 正規(guī)概率陣 P的性質(zhì)： .,)1( 的分量都大于零且量只有唯一的固定概率向 UU .,)2( 的平衡態(tài)稱(chēng)的行向量都是均衡點(diǎn)且 PTtTTP nn .,)3( tttAPA mm 是均衡點(diǎn)且有對(duì)任意概率向量 多步轉(zhuǎn)移 多步轉(zhuǎn)移概率 : 若系統(tǒng)在時(shí)刻 t0處于狀態(tài) i,經(jīng)過(guò) n步 轉(zhuǎn)移，在時(shí)刻 tn處于狀態(tài) j，這種轉(zhuǎn)移的可能性的 數(shù)量指標(biāo)稱(chēng)為 n步轉(zhuǎn)移概率 ,記為 NjipixjxP ijn ,2,1,0| 0 )()()( )()()( )()()( )( 21 22221 11211 npnpnp npnpnp

4、npnpnp nP NNNN N N 性質(zhì) 1:設(shè)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 P(1)=P 則 P(n)=Pn 。 性質(zhì) 2：系統(tǒng)處在 j 狀態(tài)的概率與它在很遠(yuǎn)的過(guò)去處 在什么情況無(wú)關(guān)。 jijn pnp )(lim 市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)示例 之一 內(nèi)容 已知市場(chǎng)上有 A， B， C三種牌子的洗衣粉，上月的市場(chǎng)占 有分布為 (0.3 0.4 0.3)，且已知轉(zhuǎn)移概率矩陣為 P。試求本 月份和下月份的市場(chǎng)占有率？ 解： 1、求本月份市場(chǎng)占有率 8.01.01.0 2.07.01.0 2.02.06.0 P 38.037.025.0 8.01.01.0 2.07.01.0 2.02.06.0 3.04.03.0

5、1 S 2、求下月份市場(chǎng)占有率 )428.0,347.0,225.0( 8.01.01.0 2.07.01.0 2.02.06.0 3.04.03.0 2 2 S 計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，在顧客 (或用戶(hù) )購(gòu)買(mǎi)偏好改變不大情況下， 下個(gè)月 A牌洗衣粉市場(chǎng)占有率 22.5%， B牌洗衣粉市場(chǎng)占有率為 34.7%， C牌洗衣粉的市場(chǎng)占有率為 42.8%。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算 估算方法一般有二種 :一是主觀概率法 (缺乏歷史統(tǒng) 計(jì)資料或資料不全情況下使用 )。二是統(tǒng)計(jì)估算法。 例 設(shè)味精市場(chǎng)的銷(xiāo)售記錄共有 6年的 24個(gè)季度的數(shù) 據(jù)見(jiàn)表。試求味精銷(xiāo)售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。 上表中共有 24個(gè)季度數(shù)據(jù)，其中有 1

6、5個(gè)季度暢銷(xiāo) ,9 個(gè)季度滯銷(xiāo)。經(jīng)統(tǒng)計(jì)得出連續(xù)暢銷(xiāo) 7次、由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn) 為滯銷(xiāo) 7次、由滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)為暢銷(xiāo) 7次和連續(xù)滯銷(xiāo) 2次。 5.077 7,5.0115 7 1211 pp 22.027 2,78.097 2221 pp 轉(zhuǎn)移概率統(tǒng)計(jì)估算方法 對(duì)于一般的情況，假定系統(tǒng)有 m種狀態(tài) S1,S2,.,Sm， 根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的歷史記錄，得出各狀態(tài)間 轉(zhuǎn)移次數(shù)得分類(lèi)統(tǒng)計(jì)表格，由此估計(jì)狀態(tài) i轉(zhuǎn)移到 狀態(tài) j的轉(zhuǎn)移概率 pij。 m k ikijij nnp 1 / 期望利潤(rùn)示例 某品牌味精市場(chǎng)銷(xiāo)售情況有暢銷(xiāo) 1、滯銷(xiāo) 2兩狀態(tài)。轉(zhuǎn)移概 率分別為 p11=0.6,p12=0.4,p21=0.54,p2

7、2=0.46構(gòu)成轉(zhuǎn)移概率矩 陣 P；獲利情況為 r11=30,r12=10,r21=15,r22= -10構(gòu)成利潤(rùn)矩陣 R。預(yù)測(cè)三期后的期望利潤(rùn)。 解：用 Vi(n)表示在 i狀態(tài)下轉(zhuǎn)移 n期后的期望利潤(rùn) ,可構(gòu)成各 狀態(tài)轉(zhuǎn)移 n期后期望利潤(rùn)列向量 V(n),則： 22)1( 121211111 rprpV 5.3)1( 222221212 rprpV Tiiiiiii RPrprpV 2211)1(即 6.36)12()2( 2 1 111 j jjj pVrV 99.16)12()2( 2 1 222 j jjj pVrV )13()1()3( VPVV 08.31 76.50 )2( )

8、2( )1( )1( 2 1 2221 1211 2 1 VVpp ppVV 若當(dāng)前暢銷(xiāo) ,則三期后期望利潤(rùn)為 50.76,當(dāng)前滯銷(xiāo) ,則三期后為 31.08。 期望利潤(rùn)預(yù)測(cè)公式 有利潤(rùn)的馬氏鏈 : 若狀態(tài) i轉(zhuǎn)入狀態(tài) j的概率為 pij,記 P=(pij),同時(shí)產(chǎn)生利潤(rùn) rij, 由 rij構(gòu)成的矩陣 R=(rij)稱(chēng)利 潤(rùn)矩陣。通常稱(chēng)轉(zhuǎn)移概率矩陣和利潤(rùn)矩陣為帶利 潤(rùn)的馬氏鏈。 馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率決定狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程中利潤(rùn) 值的概率分布。設(shè) Vi(k)表示狀態(tài) i經(jīng) k步轉(zhuǎn)移后的期 望向量 ,記 V=(V1(k), V2(k), Vn(k)T，則 )1()1()( kVPVkV nijinij

9、i T iii rRpPRPV 11 )(,)(,)1( 其中 期望利潤(rùn)示例的 R程序 P=matrix(c(0.6,0.4,0.54,0.46),ncol=2,byrow=T);P #建概率陣 R=matrix(c(30,10,15,-10),ncol=2,byrow=T);R #建利潤(rùn)矩陣 v11=P1,%*%R1,;v11 # 運(yùn)算符 %*%夾在向量間表示求內(nèi)積 v12=P2,%*%R2,;v12 V1=rbind(v11,v12);V1 # 計(jì)算出一期后的期望利潤(rùn)向量 V1=matrix(diag(P%*%t(R),ncol=1);V1 # 與上 3句等效 V2=V1+P%*%V1;V

10、2 # 計(jì)算出二期后的期望利潤(rùn)向量 V3=V1+P%*%V2;V3 # 計(jì)算出三期后的期望利潤(rùn)向量 期望利潤(rùn)預(yù)測(cè)步驟 1.進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查：首先查清銷(xiāo)路的變化情況，即 查清由暢銷(xiāo)到滯銷(xiāo)或由滯銷(xiāo)到暢銷(xiāo)，連續(xù)暢銷(xiāo)或 連續(xù)滯銷(xiāo)的可能性是多少，計(jì)算 P。其次，統(tǒng)計(jì)出 由于銷(xiāo)路的變化，獲得的利潤(rùn)和虧損情況，計(jì)算 R。 2.建立數(shù)學(xué)模型。列出預(yù)測(cè)公式。 3.根據(jù)預(yù)測(cè)公式和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，按預(yù)測(cè)期長(zhǎng)短進(jìn)行 預(yù)測(cè)。 市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè) 調(diào)查目前市場(chǎng)上各產(chǎn)品占有率： S(0) =(S1,S2,Sn) 調(diào)查顧客對(duì)各相關(guān)產(chǎn)品購(gòu)買(mǎi)的變動(dòng)： pij=PSi-Sj 建立數(shù)學(xué)模型： S(k+1)=S(k)P, 其中 P=(pij)nn。

11、 進(jìn)行預(yù)測(cè)： S(k)= S(0) Pk。 預(yù)測(cè)長(zhǎng)期的市場(chǎng)占有率：根據(jù)概率矩陣性質(zhì)，必有 S=SP，其中 S=(s1,s2,sn),且 s1+s2+sn =1。即最終 有穩(wěn)定狀態(tài)的占有率?？赏ㄟ^(guò)解方程組 (*)求得 S。 ( * )1 1111 1 1 nT n nn T nn OSIP bAAAxbxA TTmnnm 111 )( 的解可表示為注： 市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)示例 之二 R程序 P=matrix(c(0.6,0.2,0.2,0.1,0.7,0.2,0.1,0.1,0.8),ncol=3,byrow=T );P # 輸入轉(zhuǎn)移概率矩陣 S0=c(0.3,0.4,0.3);S0 # 輸入初始的

12、市場(chǎng)占有率分布向量 S1=S0%*%P;S1 # 經(jīng)一期轉(zhuǎn)移后的市場(chǎng)占有率分布向量 S2=S1%*%P;S2 # 經(jīng)二期轉(zhuǎn)移后的市場(chǎng)占有率分布向量 A=rbind(t(P)-diag(3),rep(1,3);A #上下拼接出 A矩陣 ,diag(3)生成 3階單位陣 b=rbind(t(t(rep(0,3),1);b #上下拼接構(gòu)造 b矩陣 x=solve(t(A)%*%A)%*%t(A)%*%b;x # 求出 Ax=b的解 x=(AA)-1Ab x=qr.solve(A,b);x #用 QR分解來(lái)解 Ax=b,效果與前面一樣 S=t(x);S # S為長(zhǎng)期均衡態(tài)時(shí)的市場(chǎng)占有率向量 市場(chǎng)占有率

13、預(yù)測(cè)示例 之二 程序 人力資源預(yù)測(cè) 某高校位要預(yù)測(cè)未來(lái)教師隊(duì)伍的結(jié)構(gòu)比例，將教師狀況分 為：助教、講師、副高、正高、流退 5類(lèi)狀態(tài)，且已知目 前狀況向量 S0=(135,240,115,60,0)，根據(jù)歷史資料統(tǒng)計(jì)分 析出各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣 P。要求分析三年后的教師結(jié) 構(gòu)以及三年內(nèi)為保持在編人數(shù)不變應(yīng)補(bǔ)充的研究生數(shù)。 解： 10000 20.08.0000 24.021.055.000 15.0025.06.00 0004.06.0 P )76,72,123,198,81(: 01 PSS一年后 )0,72,1 2 3,1 9 8,7681(:76 1 S人后的新結(jié)構(gòu)補(bǔ)充 )74831171

14、8294(: 12 ，兩年后的分布 PSS )0,83,171,182,168(:74 2 S人后的新結(jié)構(gòu)補(bǔ)充 )7291111176101(: 23 ，三年后的分布 PSS )0,91,101,176,173(:72 3 S人后的新結(jié)構(gòu)補(bǔ)充 相關(guān)程序 P=matrix(c(0.6,0.4,0,0,0,0,0.6,0.25,0,0.15,0,0,0.55,0.21,0.24,0,0 ,0,0.8,0.2,0,0,0,0,1),ncol=5,byrow=T);P S0=c(135,240,115,60,0);S0 # 當(dāng)前狀態(tài) sum(S0) #當(dāng)前編制人數(shù) S1=round(S0%*%P);S

15、1 # 轉(zhuǎn)移到下一年時(shí)的狀態(tài) S11=S11+S15;S15=0;S1 #下一年補(bǔ)充人員后的狀態(tài) S2=round(S1%*%P);S2 #轉(zhuǎn)移到兩年后的狀態(tài) S21=S21+S25;S25=0;S2 #兩年后再完補(bǔ)充人員的狀態(tài) S3=round(S2%*%P);S3 #轉(zhuǎn)移到叁年后的狀態(tài) S31=S31+S35;S35=0;S3 #叁年后再完補(bǔ)充人員的狀態(tài) 項(xiàng)目選址決策 某建筑公司的施工隊(duì)長(zhǎng)期分布在甲、乙、丙三地， 大型施工設(shè)備統(tǒng)一調(diào)配，大型設(shè)備在三地區(qū)的轉(zhuǎn)移 概率矩陣為 P，應(yīng)在何處建設(shè)備修理廠？ 解： 設(shè)設(shè)備在甲、乙、丙各地 停留的概率為 S=(s1,s2,s3),s1+s2+s3=1

16、由 SP=S求出平衡狀態(tài)時(shí)的概率向量 S: (P20,必有平衡態(tài) ) 6.02.02.0 8.002.0 02.08.0 P 1111 13313333 OSIP T T 即解方程組： 3/1,6/1,2/1 321 SSS解得： 長(zhǎng)期看，設(shè)備停留在甲處的可能性最大，故在甲建廠合適。 相關(guān) R程序 # 首先建立轉(zhuǎn)移概率矩陣 P P=matrix(c(0.8,0.2,0,0.2,0,0.8,0.2,0.2,0.6),ncol=3,byrow=T);P A=rbind(t(P)-diag(3),rep(1,3);A #建立求解平衡狀態(tài)的方程 Ax=b b=rbind(t(t(rep(0,3),1)

17、;b x=qr.solve(A,b);x #用 QR分解法解線性方程組 Ax=b S=t(x);S # 轉(zhuǎn)置 Ax=b的解 x,即為平衡狀態(tài)的概率向量 S 關(guān)于最佳維修策略決策 設(shè)備狀態(tài)分 5級(jí) : 優(yōu) (1),良 (2),中 (3),差 (4),壞 (5);轉(zhuǎn)移概率陣 P; 策略 ：只在狀態(tài) 5時(shí)才修理，費(fèi)用 8000元； 策略 ：處于狀態(tài) 4、 5時(shí)修理，狀態(tài) 4費(fèi)用 4000元； 策略 ：處于狀態(tài) 3、 4、 5時(shí)修，狀態(tài) 3費(fèi)用 3000元； 解：均衡狀態(tài)下 5種狀態(tài)的概率： 00001 5.05.0000 2.04.04.000 1.02.04.03.00 1.01.02.06.00

18、 P 20.0,25.0,18.0,17.0,20.0 1., 54321 521 SSSSS SSSSSP 解得：由 1 6 0 08 0 0 0I 51 SM費(fèi)用：策略策略 ：此時(shí)轉(zhuǎn)移概率矩陣將改變?yōu)椋?00001 00001 2.04.04.000 1.02.04.03.00 1.01.02.06.00 P 09.0,17.0,24.0,23.0,27.0 54321 SSSSS 解得均衡態(tài)各概率： 1 4 0 08 0 0 04 0 0 0 541 SSM費(fèi)用策略 ：此時(shí)轉(zhuǎn)移概率矩陣將改變?yōu)椋?00001 00001 00001 1.02.04.03.00 1.01.02.06.00

19、P 1 4 9 0M0 7 ;.0,90.0,91.0 ,3.0,53.0 3543 21 SSS SS用：解得均衡態(tài)各概率、費(fèi) 相關(guān) R程序 P=matrix(c(0,0.6,0.2,0.1,0.1,0,0.3,0.4,0.2,0.1,0,0,0.4,0.4,0.2,0,0,0,0. 5,0.5,1,0,0,0,0),ncol=5,byrow=T);P #建立轉(zhuǎn)移概率陣 P A=rbind(t(P)-diag(5),rep(1,5);A #建立求解平衡狀態(tài)的方程 Ax=b b=rbind(t(t(rep(0,5),1);b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;M1=8000

20、*S5;M1 # 策略 1的費(fèi)用 P4,=c(1,rep(0,4);P #修改 P的第 4行 A=rbind(t(P)-diag(5),rep(1,5);A #建立求解平衡狀態(tài)的方程 Ax=b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;M2=4000*S4+8000*S5;M2 #策略 2的費(fèi)用 P3,=c(1,rep(0,4);P #修改 P的第 3行 A=rbind(t(P)-diag(5),rep(1,5);A #建立求解平衡狀態(tài)的方程 Ax=b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;M3=3000*S3+4000*S4+8000*S5;M3 #策略 3 最佳

21、營(yíng)銷(xiāo)策略決策 某地主要由 A、 B、 C叁廠銷(xiāo)售勞保鞋，該地區(qū)用戶(hù)數(shù)約 5萬(wàn)， 每年廠家可從每個(gè)用戶(hù)處平均獲利 200元。 A廠調(diào)查獲得轉(zhuǎn) 移概率矩陣 P，算出均衡態(tài)市場(chǎng)份額 S，感到不滿意；為此 做了甲、乙兩個(gè)營(yíng)銷(xiāo)方案估計(jì)轉(zhuǎn)移概率矩陣將分別變?yōu)?P甲 、 P乙 ，費(fèi)用分別為 C甲 、 C乙 。那種利潤(rùn)增加最多？ 38.034.028.0 5.03.02.0 4.05.01.0 2.02.06.0 S P 5.03.02.0 4.05.01.0 1.01.08.0 甲P 5.01.04.0 2.05.03.0 2.02.06.0 乙P 萬(wàn)萬(wàn) 乙甲 051,1 0 0 CC 30.027.043

22、.0甲額甲方案平衡態(tài)下市場(chǎng)份 S 萬(wàn)新增利潤(rùn) 甲 501 0 02 0 05)28.043.0( L 29.042.074.0乙額乙方案平衡態(tài)下市場(chǎng)份 S 萬(wàn)新增利潤(rùn) 乙 040512005)28.074.0( L 以利潤(rùn)作為衡量標(biāo)準(zhǔn) ,選擇甲方案 (留住老客戶(hù) )更好！ 相關(guān) R程序 P=matrix(c(0.6,0.2,0.2,0.1,0.5,0.4,0.2,0.3,0.5),ncol=3,byrow=T);P C1=100;C2=150;W=5;p=200 #甲、乙方案費(fèi)用 C,用戶(hù)數(shù) W,每戶(hù)獲利 p A=rbind(t(P)-diag(3),rep(1,3);A #建立求解平衡狀態(tài)的

23、方程 Ax=b b=rbind(t(t(rep(0,3),1);b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;SA=S1 #原方案下 ,平衡狀態(tài)的 A廠份額 SA P1=matrix(c(0.8,0.1,0.1,0.1,0.5,0.4,0.2,0.3,0.5),ncol=3,byrow=T);P1 A=rbind(t(P1)-diag(3),rep(1,3);A #建立求解平衡狀態(tài)的方程 Ax=b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;M1=(S1-SA)*W*p-C1;M1 #甲方案平衡態(tài)時(shí) A廠新增利潤(rùn) M1 P2=matrix(c(0.6,0.2,0.2,0.3,0.5,0.2,0.4,0.1,0.5),ncol=3,byrow=T);P2 A=rbind(t(P2)-diag(3),rep(1,3);A #建立求解平衡狀態(tài)的方程 Ax=b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;M2=(S1-SA)*W*p-C2;M2 #乙方案平衡態(tài)時(shí) A廠新增利潤(rùn) M2