高數(shù) 下 期末考試試卷及答案

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1、 三峽大學(xué) 試卷紙 教學(xué)班號(hào) 序號(hào) 學(xué)號(hào) 姓名 ……………………．……答 題 不 要 超 過(guò) 密 封 線…………．……………………………… 2017學(xué)年春季學(xué)期 《高等數(shù)學(xué)Ⅰ（二）》期末考試試卷（A） 注意： 1、本試卷共 3 頁(yè)； 2、考試時(shí)間110分鐘； 3、姓名、學(xué)號(hào)必須寫(xiě)在指定地方 題號(hào) 一 二 三 四 總分 得分 閱卷人 得分 一、單項(xiàng)選擇題（8個(gè)小題，每小題2分，共16分）將每題的正確答案的代號(hào)A

2、、B、C或D填入下表中． 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．已知與都是非零向量，且滿(mǎn)足，則必有（ ）. (A) (B) (C) (D) 2.極限( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函數(shù)中，的是( ). （A） （B） （C） （D） 4．函數(shù)，原點(diǎn)是的( ). （A）駐點(diǎn)與極值點(diǎn) （B）駐點(diǎn)，非極值點(diǎn)

3、 （C）極值點(diǎn)，非駐點(diǎn) （D）非駐點(diǎn)，非極值點(diǎn) 5．設(shè)平面區(qū)域，若，，，則有（ ）. （A） （B） （C） （D） 6．設(shè)橢圓：的周長(zhǎng)為，則（ ）. (A) (B) (C) (D) 7．設(shè)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，，則（ ）. (A)該級(jí)數(shù)收斂 (B)該級(jí)數(shù)發(fā)散 (C)該級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 (D)該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 8.下列四個(gè)命題中，正確的命題是（ ）. （A）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散

4、（B）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散 （C）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂 （D）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂 閱卷人 得分 二、填空題(7個(gè)小題，每小題2分，共14分)． 1.直線與軸相交，則常數(shù)為　 . 2．設(shè)則______ _____. 3．函數(shù)在處沿增加最快的方向的方向?qū)?shù)為 . 4．設(shè)，二重積分=　 　. 5．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，，在柱面坐標(biāo)系下 的三次積分為

5、 . 6.冪級(jí)數(shù)的收斂域是 . 7.將函數(shù)以為周期延拓后，其傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂 于 . 三峽大學(xué) 試卷紙 教學(xué)班號(hào) 序號(hào) 學(xué)號(hào) 姓名 ……………………．……答 題 不 要 超 過(guò) 密 封 線…………．……………………………… 閱卷人 得分 三、綜合解答題一（5個(gè)小題，每小題7分，共35分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

6、） 1．設(shè)，其中有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求，． 解： 2．求曲面在點(diǎn)處的切平面方程及法線方程． 解： 3.交換積分次序，并計(jì)算二次積分． 解： 4．設(shè)是由曲面及 所圍成的空間閉區(qū)域，求. 解： 5．求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和． 解： 閱卷人 得分 三峽大學(xué) 試卷紙

7、 教學(xué)班號(hào) 序號(hào) 學(xué)號(hào) 姓名 ……………………．……答 題 不 要 超 過(guò) 密 封 線…………．……………………………… 四、綜合解答題二（5個(gè)小題，每小題7分，共35分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 1.從斜邊長(zhǎng)為1的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形． 解 2．計(jì)算積分，其中為圓周 ()． 解： 3．利用格林公式，計(jì)算曲線積分，其中是由拋物線和

8、所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線． 4． 計(jì)算，為平面在第一卦限部分. 解： 5．利用高斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分， 其中為圓錐面介于平面及之間的部分的下側(cè). 解： 2017學(xué)年春季學(xué)期 《高等數(shù)學(xué)Ⅰ（二）》期末考試試卷(A) 答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、單項(xiàng)選擇題（8個(gè)小題，每小題2分，共16分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7

9、8 答案 D A B B A D C D 1．已知與都是非零向量，且滿(mǎn)足，則必有（D ） (A)； (B) ； (C)； (D)． 2.極限 ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函數(shù)中，的是( B )； （A） ； （B）； （C） ； （D）. 4．函數(shù)，原點(diǎn)是的( B ). （A）駐點(diǎn)與極值點(diǎn)； （B）駐點(diǎn)，非極值點(diǎn)； （C）極值點(diǎn)，非駐點(diǎn)； （D）非駐點(diǎn)，非極值點(diǎn).

10、 5．設(shè)平面區(qū)域D：，若，，，則有（ A ） （A）； （B）； （C）； （D）． 6．設(shè)橢圓：的周長(zhǎng)為，則（D ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) ． 7．設(shè)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，，則（ C ） (A)該級(jí)數(shù)收斂； (B)該級(jí)數(shù)發(fā)散； (C)該級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散； (D) 該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 8.下列四個(gè)命題中，正確的命題是（ D ） （A）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散； （B）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散； （C）若級(jí)

11、數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂； （D）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂． 二、填空題(7個(gè)小題，每小題2分，共14分)． 1.直線與軸相交，則常數(shù)為　　3 。 2．設(shè)則_______1_____ 3．函數(shù)在處沿增加最快的方向的方向?qū)?shù)為 4．設(shè)，二重積分=　　　　　　． 5．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，，在柱面坐標(biāo)系下的三次積分為 6.冪級(jí)數(shù)的收斂域是 . 7.函數(shù)，以為周期延拓后，其傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂于 . 三、綜合解答題一（5個(gè)小題，每小題7分，共35分.解答題應(yīng)寫(xiě)

12、出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 1．設(shè)，其中有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求，． 解： ………………4分 . ………………7分 2．求曲面在點(diǎn)處的切平面方程及法線方程． 解：令，………………2分 ， ，………………4分 所以在點(diǎn)處的切平面方程為 ， 即 ；………………6分 法線方程為. ………………7分 3.交換積分次序，并計(jì)算二次積分； 解： = ………………4分 = ………………7分 4．設(shè)是由曲面及 所圍成的空間區(qū)域，求 解：注意到曲面經(jīng)過(guò)軸、軸，………………2

13、分 = ………………4分 故=． ………………7分 5．求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和． 解：， ， 由已知的馬克勞林展式：，………………2分 有=，，………………5分 ===2 ………………7分 四、綜合解答題二（5個(gè)小題，每小題7分，共35分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 1.從斜邊長(zhǎng)為1的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形． 解 設(shè)兩個(gè)直角邊的邊長(zhǎng)分別為，，則，周長(zhǎng)， 需求在約束條件下的極值問(wèn)題． ………………2分 設(shè)拉格朗日函數(shù)，………………4分 令 解方程組得為唯一駐點(diǎn)， ………………6分

14、又最大周長(zhǎng)一定存在，故當(dāng)時(shí)有最大周長(zhǎng). ………………7分 2．計(jì)算積分，其中為圓周 ()． 解：的極坐標(biāo)方程為 ，；………………2分 則，………………4分 所以 ．………………7分 或解：的形心，的周長(zhǎng)， === 3．利用格林公式，計(jì)算曲線積分，其中是 由拋物線和所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線． 解： ………………3分 ………………5分 ………………7分 4． 計(jì)算，為平面在第一卦限部分. 解：在面上的投影區(qū)域?yàn)?，………………2分 又故，………………4分 所以. ………………7分 或解：由對(duì)稱(chēng)性， 5．利用高斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，其中為錐面介于平面及之間的部分的下側(cè)。 解：補(bǔ)曲面（取上側(cè)），………………2分 由高斯公式知 ＝0， ………………4分 故 ＝ ＝= ………………7分