(江蘇專用)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項強(qiáng)化練(三)不等式選講 理 選修4-5

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1、專項強(qiáng)化練(三)選修45:不等式選講(理獨(dú))題型一含絕對值不等式1解不等式:|x2|x|x2|2.解:當(dāng)x2時,不等式化為(2x)x(x2)2,即x23x0,解得3x2;當(dāng)2x2時,不等式化為(2x)x(x2)2,即x2x0,解得2x1或0x2;當(dāng)x2時,不等式化為(x2)x(x2)2,即x23x40,解得x2.所以原不等式的解集為x|3x1或x02解不等式:|x2|x1|1.解:令f(x)|x2|x1|.當(dāng)x2時,f(x)(x2)(1x)3,此時f(x)|x2|x1|1恒成立;當(dāng)2x1時,f(x)(x2)(1x)2x1,令f(x)1,即2x11,解得x0,由于2x1,則有2x0;當(dāng)x1時,f

2、(x)(x2)(x1)3,此時f(x)1不成立綜上所述,不等式|x2|x1|1的解集為(,03已知x,yR,且|xy|,|xy|,求證:|x5y|1.證明:因為|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對值不等式性質(zhì),得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1. 臨門一腳1形如|xa|xb|c(c)不等式的解法常用零點(diǎn)分段討論法,其步驟為:(1)求零點(diǎn);(2)劃分區(qū)間、去絕對值號;(3)分別解去掉絕對值的不等式;(4)取每個結(jié)果的并集,特別注意在分段時不要漏掉區(qū)間的端點(diǎn)值2絕對值不等式也可用|xa1|xa2|的幾何意義求解集3應(yīng)用絕對值不等

3、式|a|b|ab|a|b|求最值,一定要寫出等號成立的條件題型二基本不等式的應(yīng)用1已知a,b是正數(shù),求證:a24b24.證明:因為a,b是正數(shù),所以a24b24ab.所以a24b24ab2 4,當(dāng)且僅當(dāng)a2b,且ab時取等號即a24b24.2已知a,b,c均為正數(shù),求證:a2b2c226.證明:法一:因為a,b,c均為正數(shù),由均值不等式得a2b2c23(abc),3(abc),所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc),又3(abc)9(abc)26,所以原不等式成立法二:因為a,b,c均為正數(shù),由基本不等式得a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca,所以a2b2c2a

4、bbcca.同理.所以a2b2c22abbcca6,當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號所以原不等式成立臨門一腳1基本不等式應(yīng)用于證明關(guān)鍵是和積轉(zhuǎn)化,所以進(jìn)行證明前一定要觀察不等式兩邊式子結(jié)構(gòu)的特征系數(shù)、方次2要根據(jù)條件特征選擇使用三元還是兩元的基本不等式,等號成立條件一定要寫3多次使用基本不等式時要關(guān)注多個等號成立條件是否能夠同時成立題型三柯西不等式的應(yīng)用1求函數(shù)y3sin x2的最大值解:y3sin x23sin x4,由柯西不等式得y2(3sin x4)2(3242)(sin2xcos2x)25,當(dāng)且僅當(dāng)4sin x3|cos x|,即sin x,|cos x|時等號成立,所以ymax5.所以函數(shù)y3

5、sin x2的最大值為5.2已知a,b,cR,4a2b22c24,求2abc的最大值解:由柯西不等式,得(2a)2b2(c)2(2abc)2.因為4a2b22c24,所以(2abc)210.所以2abc,所以2abc的最大值為,當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c時等號成立3設(shè)x,y,z均為正實(shí)數(shù),且xyz1,求證:xyyzzx.證明:x,y,z均為正實(shí)數(shù),且xyz1,由柯西不等式可得(xyyzzx)22(xyyzzx)2.xyyzzx.4設(shè)a1,a2,a3均為正數(shù),且a1a2a3. 求證: 1.證明:法一:因為(a1a2)(a2a3)(a3a1)339,當(dāng)且僅當(dāng)a1a2a3時等號成立又a1a2a3.所以29,所以1.法二:由柯西不等式得9(a1a2)(a2a3)(a3a1)222()2()2()229,當(dāng)且僅當(dāng)()2()2()2,即a1a2a3時取等號,所以1.臨門一腳1二元柯西不等式:(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR,當(dāng)且僅當(dāng)adbc時,等號成立2三元柯西不等式可以用向量形式記憶:即|,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,得k時,等號成立3利用柯西不等式來證明不等式和基本不等式一樣也要關(guān)注式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、系數(shù)、方次、等號成立條件,如果不能夠直接使用,要對所給條件進(jìn)行變形后才能使用4利用柯西不等式求最值等問題, 也要關(guān)注式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、系數(shù)、方次,最后一定要寫出等號成立條件.4

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