2019年全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)試卷

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1、2019.6 2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（I卷） 理科數(shù)學(xué) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的。 1. 已知集合，則 A. B. C. D. 2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y)，則 A. B. C. D. 3. 已知，則 A. B. C. D. 4. 古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底長(zhǎng)度之比是 （，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如 此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的

2、長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是。 若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為 26 cm，則其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm 5. 函數(shù)的圖像大致為 A. B. C. D. 6. 我國(guó)古代典籍《周易》用卦描述萬(wàn)物的變化。每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè) 爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦。 在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是 A.

3、 B. C. D. 7. 已知非零向量a，b滿足|a| = 2|b|，且(a - b)b，則a與b的夾角為 A. B. C. D. 8. 右圖是求的程序框圖，圖中空白框應(yīng)填入 A. B. C. D. 9. 記Sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。已知S4 = 0，= 5，則 A. B. C. D. 10. 已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若，，則C的方程為 A. B. C. D. 11. 關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論： ①是偶函數(shù) ②在區(qū)間單

4、調(diào)遞增 ③在有4個(gè)零點(diǎn) ④的最大值為2 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 12. 已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA = PB = PC，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，，則球O的體積為 A. B. C. D. 2、 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13. 曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_(kāi)_____________。 14. 記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則_____________。 15. 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲

5、勝，決賽結(jié)束）。 根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”。設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6， 客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是__________。 16. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近 線分別交于A、B兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為_(kāi)___________。 3、 解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試 題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （1） 必考題：共60分。 17. （12分） 的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊

6、分別為a、b、c，設(shè)。 （1） 求A； （2） 若 A D B E C N A1 B1 D1 C1 M 18. （12分） 如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形， AA1 = 4，AB = 2，，E、M、N分別 是BC、BB1、A1D的中點(diǎn)。 （1） 證明：MN // 平面C1DE； （2） 求二面角A-MA1-N的正弦值。 19. （12分） 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A、B，與x軸的交點(diǎn)為P。 （1） 若，求l的方程； （2） 若。 20. （12分）

7、 已知函數(shù)。證明： （1） 存在唯一極大值點(diǎn)； （2） 有且僅有2個(gè)零點(diǎn)。 21. （12分） 為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試驗(yàn) 方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另 一只施以乙藥，一輪的治療效果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種 藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問(wèn)題，約定： 對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得 -1分； 若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分

8、，甲藥得 -1分；若都治愈或都未 治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X。 （1） 求X的分布列； （2） 若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最 終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，其中 。假設(shè)。 （i） 證明：為等比數(shù)列； （ii） 求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。 （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì) 分。 22. [選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為。 （1） 求C和l的直角坐標(biāo)方程； （2） 求C上的點(diǎn)到l距離的最小值。 23. [選修4—5：不等式選講]（10分） 已知a、b、c為正數(shù)，且滿足abc = 1。證明： （1） （2）