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1、專題七 數學思想方法 浙江專用 數學思想方法是指對數學知識和方法形成的規(guī)律性的理性認識 ， 是解決數學問題 的根本策略數學思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質 ， 是溝通基礎知識與能力 的橋梁 ， 是數學知識的重要組成部分數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽 象和概括 ， 它蘊含于數學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中 抓住數學思想方法 ， 善于迅速調用數學思想方法 ， 更是提高解題能力根本之所在 因此 ， 在復習時要注意體會教材例題、習題以及中考試題中所體現(xiàn)的數學思想和 方法 ， 培養(yǎng)用數學思想方法解決問題的意識 數學思想方法是數學的精髓 ， 是讀書由厚到薄的升華 ， 在復習中一定要注重
2、培養(yǎng) 在解題中提煉數學思想的習慣 ， 中考常用到的數學思想方法有：整體思想、轉化思 想、方程與函數思想、數形結合思想、分類討論思想等 解題方法 1 整體思想 ：整體是與局部對應的 ， 按常規(guī)不容易求某一個 (或多個 )未知量 時 ， 可打破常規(guī) ， 根據題目的結構特征 ， 把一組數或一個代數式看作一個整體 ， 從而使問題得到解決 2 轉化思想 ：在研究數學問題時 ， 我們通常是將未知問題轉化為已知的問題 ， 將復雜的問題轉化為簡單的問題 ， 將抽象的問題轉化為具體的問題 ， 將實際問 題轉化為數學問題 3 分類討論思想 ：體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法分 類的原則：分類
3、中的每一部分是相互獨立的；一次分類按一個標準；分類 討論應逐級進行正確的分類必須是周全的 ， 既不重復 ， 也不遺漏 4 方程思想 ：用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式 、 定理中的已知 結論構造方程 (組 ) 這種思想在代數 、 幾何及生活實際中有著廣泛的應用 5 函數思想 ：用運動和變化的觀點 ， 集合與對應的思想 ， 去分析和研究數學 問題中的數量關系 ， 建立函數關系或構造函數 ， 運用函數的圖象和性質去分析問 題 、 轉化問題 ， 從而使問題獲得解決 運用函數思想要善于抓住事物在運動過程 中那些保持不變的規(guī)律和性質 6 數形結合思想 ：從幾何直觀的角度 ， 利用幾何
4、圖形的性質研究數量關系 ， 尋求代數問題的解決方法 (以形助數 )， 或利用數量關系來研究幾何圖形的性質 ， 解決幾何問題 (以數助形 ) 數形結合思想使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來 ， 使問題得以解決 1 (2016雅安 )已知 a2 3a 1， 則代數式 2a2 6a 1的值為 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 B 2 ( 2016 黔南州 ) 王杰同學在解決問題 “ 已知 A 、 B 兩點的坐標為 A(3 ， 2) 、 B(6 ， 5) 求直線 AB 關于 x 軸的對稱直線 AB 的解析式 ” 時 ， 解法如下： 先是建立平面直角坐標系 ( 如圖 ) ， 標出
5、A 、 B 兩點 ， 并利用軸對稱性質求出 A 、 B 的坐標分別為 A (3 ， 2 ) ， B (6 ， 5 ) ；然后設直線 AB 的解析式為 y kx b(k 0) ， 并將 A(3 ， 2 ) 、 B(6 ， 5 ) 代入 y kx b 中 ， 得方程組 3k b 2 ， 6k b 5 ， 解 得 k 1 ， b 1 ， 最后求得直線 AB 的解析式為 y x 1. 則在解題過程中他運用到 的數學思想是 ( ) A 分類討論與轉化思想 B 分類討論與方程思想 C 數形結合與整體思想 D 數形結合與方程思想 D 3 (
6、2016六盤水 )為了加強愛國主義教育 ， 每周一學校都要舉行莊嚴的升旗儀式 ， 同學們凝視著冉冉上升的國旗 ， 下列哪個函數圖象能近似地刻畫上升的國旗離 旗桿頂端的距離與時間的關系 ( ) A 4 ( 2016 濟南 ) 若代數式 6 x 2 與 4 x 的值相等 ， 則 x ____ 5 ( 2016 河南 ) 如圖 ， 在扇形 AOB 中 ， AOB 90 ， 以點 A 為圓心 ， OA 的長為半徑作 OC 交 AB 于點 C ， 若 OA 2 ， 則陰影部分的面積為 4 3 13 【例 1 】 ( 2016 福州 )
7、若 x y 10 ， xy 1 ， 則 x 3 y xy 3 的值是 ____ 【點評】 本題考查了因式分解和代數式的變形 ， 代數式右的字母表示的 數沒有明確告知 ， 且求出字母的值較為困難 ， 則對求值式可采用如下變形： x 3 y xy 3 xy(x 2 y 2 ) xy (x y) 2 2xy ， 再將 x y 與 xy 的值整體代入即 可此題求解過程體現(xiàn)了轉化思想與整體思想的應用 對應訓練 1 ( 2016 樂山 ) 先化簡再求值： (x 3x x 1 ) x 2 x 2 2x 1 ， 其中 x 滿足 x 2 x 2 0.
8、 98 解：原式 x2 x， x2 x 2 0， x2 x 2， 則原式 2. 【 例 2】 (2016山西 )解方程： 2(x 3)2 x2 9. 解：方程變形得： 2(x 3)2 (x 3)(x 3) 0， 分解因式得： (x 3)(2x 6 x 3) 0. 解得： x1 3， x2 9. 【 點評 】 本題考查了解一元二次方程解一元二次方程的基本思想是 “ 轉化思 想 ” ， 把一元二次方程通過降次轉化為一元一次方程求解 對應訓練 2 圖 所示的正方體木塊棱長為 6 cm ， 沿其相鄰三個面的對角線 ( 圖中 虛線 ) 剪掉一角 ， 得到如圖 的幾何體 ， 一只螞蟻
9、沿著圖 的幾何體表面從頂 點 A 爬行到頂點 B 的最短距離為 cm . (3 2 3 6 ) 【例 3 】 ( 2015 茂名 ) 如圖 ， Rt ABC 中 ， ACB 90 ， AC 6 cm ， BC 8 cm . 動點 M 從點 B 出發(fā) ， 在 BA 邊上以每秒 3 cm 的速度向定點 A 運動 ， 同時動點 N 從點 C 出發(fā) ， 在 CB 邊上以每秒 2 cm 的速度向點 B 運動 ， 運動 時間為 t 秒 (0 t 10 3 ) ， 連結 MN. (1) 若 BMN 與 ABC 相似 ， 求 t 的值； (2) 連結 AN ，
10、CM ， 若 AN CM ， 求 t 的值 解： ( 1 ) 由題意知 ， BM 3t cm ， CN 2t cm ， BN ( 8 2t ) cm ， BA 6 2 8 2 10 ( cm ) ， 當 BMN BAC 時 ， BM BA BN BC ， 3t 10 8 2t 8 ， 解得 t 20 11 ；當 BMN BCA 時 ， BM BC BN BA ， 3t 8 8 2t 10 ， 解得 t 32 23 ， BMN 與 ABC 相似時 ， t 的值為 20 11 或 32 23 (2) 過點 M 作 MD CB 于點 D
11、， 由題意得： DM BM sin B 3t 6 10 9 5 t( cm ) ， BD BM cos B 3t 8 10 12 5 t( cm ) ， BM 3t cm ， CN 2t cm ， CD (8 12 5 t) cm ， AN CM ， ACB 90 ， CAN ACM 90 ， MCD ACM 90 ， CAN MCD ， MD CB ， MDC ACB 90 ， CAN DCM ， AC CN CD DM ， 6 2t 8 12 5 t 9 5 t ， 解得 t 13 12 對
12、應訓練 3 (2016龍東 )甲、乙兩車從 A城出發(fā)前往 B城 ， 在整個行程中 ， 兩車離開 A城 的距離 y與 t的對應關系如圖所示： (1)A， B兩城之間距離是多少千米？ (2)求乙車出發(fā)多長時間追上甲車？ (3)直接寫出甲車出發(fā)多長時間 ， 兩車相距 20千米 解： (1)由圖象可知 A， B兩城之間距離是 300千米 ( 2 ) 設乙車出發(fā) x 小時追上甲車 由圖象可知 ， 甲的速度 300 5 60 千米 / 小時 乙的速度 300 3 100 千米 / 小時 由題意 60 ( x 1 ) 10 0 x 解得 x 1.5 小時 (3) 設 y 甲
13、 kx b ， 則 5k b 0 ， 10k b 300 ， 解得 k 60 ， b 300 ， y 甲 60 x 300 ， 設 y 乙 kx b ， 則 6k b 0 ， 9k b 300 ， 解得 k 100 ， b 600 ， y 乙 100 x 600 ， 兩車相距 20 千米 ， y 甲 y 乙 20 或 y 乙 y 甲 20 或 y 甲 20 或 y 甲 280 ， 即 60 x 300 (10 0 x 60 0) 20 或 100 x 600 (60 x 30 0 )
14、 20 或 60 x 300 20 或 60 x 300 280 解得 x 7 或 8 或 16 3 或 29 3 ， 7 5 2 ， 8 5 3 ， 16 3 5 1 3 ， 29 3 5 14 3 甲車出發(fā) 2 小時或 3 小時或 1 3 小時或 14 3 小時 ， 兩車相距 20 千米 【 例 4】 (2016遵義 )上網流量、語音通話是手機通信消費的兩大主體 ， 目前 ， 某 通信公司推出消費優(yōu)惠新招 “ 定制套餐 ” ， 消費者可根據實際情況自由定制每月 上網流量與語音通話時間 ， 并按照二者的階梯資費標準繳納通信費下表是流量與 語音的階梯定價標準
15、 流量階梯定價 標準 使用范圍 階梯單價 (元/MB) 1 100 MB a 101 500 MB 0.07 501 20 GB b 語音階梯定價 標準 使用范圍 階梯資費 (元 /分鐘 ) 1 500分鐘 0.15 501 1000分鐘 0.12 1001 2000分 鐘 m 小提示：階梯定價收費計算方法 ， 如 600分鐘語音通話費 0.15 500 0.12 (600 500) 87元 (1)甲定制了 600 MB的月流量 ， 花費 48元；乙定制了 2 GB的月流量 ， 花費 120.4元 ， 求 a， b的值 (注： 1 GB 1024 MB) (2)甲的套餐費用為 199元
16、 ， 其中含 600 MB的月流量；丙的套餐費用為 244.2元 ， 其中包含 1 GB的月流量 ， 二人均定制了超過 1000分鐘的每月通話時間 ， 并且丙的 語音通話時間比甲多 300分鐘 ， 求 m的值 解： (1) 依題意得： 100a （ 500 100 ） 0. 07 （ 600 500 ） b 48 ， 100a （ 500 100 ） 0. 07 （ 1024 2 500 ） b 12 0.4 ， 解得： a 0.15 ， b 0.05 ， a 的值為 0. 15 元 / MB ， b 的值為 0.05 元 / MB . (2)設甲的
17、套餐中定制 x(x 1000)分鐘的每月通話時間 ， 則丙的套餐中定制 (x 300)分鐘的每月通話時間 ， 丙定制了 1 GB的月流量 ， 需花費 100 0.15 (500 100) 0.07 (1024 500) 0.05 69.2(元 )， 依題意得： 48 500 0.15 (1000 500) 0.12 (x 1000)m 199， 69.2 500 0.15 (1000 500) 0.12 (x 300 1000)m 244.2， 解得： m 0.08.答： m的值為 0.08元 /分鐘 【 點評 】 本題考查了二元一次方程組的應用 ， 解題關鍵是： (1)根據數量關系列 出
18、關于 a， b的二元一次方程組； (2)根據數量關系列出關于 x， m的二元一次方程組 ， 本題屬于中檔題 ， 難度不大 ， 解決該題型題目時 ， 根據數量關系列出方程 (或方 程組 )是關鍵 對應訓練 4 (2016樂山 )如圖 ， 禁止捕魚期間 ， 某海上稽查隊在某海域巡邏 ， 上午某一時 刻在 A處接到指揮部通知 ， 在他們東北方向距離 12海里的 B處有一艘捕魚船 ， 正在沿 南偏東 75 方向以每小時 10海里的速度航行 ， 稽查隊員立即乘坐巡邏船以每小時 14 海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā) ， 在 C處成功攔截捕魚船 ， 求巡邏船從出發(fā)到成 功攔截捕魚船所用的時間 解：設巡
19、邏船從出發(fā)到成功攔截所用時間為 x 小時； 如圖所示 ， 由題意得： ABC 45 75 120 ， AB 12 ， BC 10 x ， AC 14x ， 過點 A 作 AD CB 的延長線于點 D ， 圖略 ， 在 Rt ABD 中 ， AB 12 ， ABD 60 ， BD AB cos 60 1 2 AB 6 ， AD AB sin 60 6 3 ， CD 1 0 x 6. 在 Rt ACD 中 ， 由勾股定理得： (14 x) 2 (10 x 6) 2 (6 3 ) 2 ， 解得： x 1 2 ， x 2 3 4
20、 ( 不合題意舍去 ) 答：巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時間為 2 小時 【 例 5】 (2016黔東南州 )凱里市某文具店某種型號的計算器每只進價 12元 ， 售 價 20元 ， 多買優(yōu)惠 ， 優(yōu)惠方法是：凡是一次買 10只以上的 ， 每多買一只 ， 所買的全 部計算器每只就降價 0.1元 ， 例如：某人買 18只計算器 ， 于是每只降價 0.1 (18 10) 0.8(元 )， 因此所買的 18只計算器都按每只 19.2元的價格購買 ， 但是每只計算器的 最低售價為 16元 (1)求一次至少購買多少只計算器 ， 才能以最低價購買？ (2)求寫出該文具店一次銷售 x(x 10)只時
21、 ， 所獲利潤 y(元 )與 x(只 )之間的函數關 系式 ， 并寫出自變量 x的取值范圍； (3)一天 ， 甲顧客購買了 46只 ， 乙顧客購買了 50只 ， 店主發(fā)現(xiàn)賣 46只賺的錢反而 比賣 50只賺的錢多 ， 請你說明發(fā)生這一現(xiàn)象的原因；當 10 x50時 ， 為了獲得最大 利潤 ， 店家一次應賣多少只？這時的售價是多少？ 解： (1) 設一次購買 x 只 ， 則 20 0.1(x 10) 16 ， 解得： x 50. 答：一次至少買 50 只 ， 才能以最低價購買； (2) 當 10 x 50 時 ， y 20 0.1(x 10) 12x 0.1x 2
22、 9x ， 當 x 50 時 ， y (16 12)x 4x ； 綜上所述： y 0.1x 2 9x （ 10 50 ）； (3)y 0.1x 2 9x 0. 1(x 45) 2 202.5 ， 當 10 x 45 時 ， y 隨 x 的 增大而增大 ， 即當賣的只數越多時 ， 利潤更大 當 45 x 50 時 ， y 隨 x 的 增大而減小 ， 即當賣的只數越多時 ， 利潤變小且當 x 46 時 ， y 1 20 2.4 ， 當 x 50 時 ， y 2 20 0.y 1 y 2 . 即出現(xiàn)了賣 46 只賺的錢比賣 50 只賺的錢多
23、的現(xiàn)象當 x 45 時 ， 最低售價為 20 0.1(4 5 10) 16 .5 ( 元 ) ， 此時利 潤最大 【點評】 本題主要考查了二次函數的應用 ， 根據題意得出 y 與 x 的函數關 系是解題關鍵 ， 解答時注意函數思想的應用 對應訓練 5 (2015溫州 )某農場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室 ， 一面靠現(xiàn)有墻 (墻足夠長 )， 中間 用一道墻隔開 ， 并在如圖所示的三處各留 1 m寬的門已知計劃中的材料可建墻體 (不包括門 )總長為 27 m， 則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為 ____m2. 75 【例 6 】 ( 2016 湖州 ) 已知點 P 在一次函數 y kx b(
24、k ， b 為常數 ， 且 k 0 ， b 0) 的圖象上 ， 將點 P 向 左平移 1 個單位 ， 再向上平移 2 個單位得到點 Q ， 點 Q 也在該函數 y kx b 的圖象上 (1)k 的值是 ____ ； (2) 如圖 ， 該一次函數的圖象分別與 x 軸、 y 軸交于 A ， B 兩點 ， 且與反比 例函數 y 4 x 圖象交于 C ， D 兩點 ( 點 C 在第二象限內 ) ， 過點 C 作 CE x 軸 于點 E ， 記 S 1 為四邊形 CEO B 的面積 ， S 2 為 OAB 的面積 ， 若 S 1 S 2 7 9 ， 則 b 的值是 ____
25、 2 3 2 解： (1) 設點 P 的坐標為 (m ， n ) ， 則點 Q 的坐標為 (m 1 ， n 2) ， 依題意得： n km b ， n 2 k （ m 1 ） b ， 解得： k 2. 故答案為： 2. (2) BO x 軸 ， CE x 軸 ， BO CE ， AOB AEC. 又 S 1 S 2 7 9 ， S AOB S AEC 9 7 9 9 16 . 令一次函數 y 2x b 中 x 0 ， 則 y b ， BO b ；令一 次函數 y 2x b 中 y 0 ， 則 0 2x b
26、 ， 解得： x b 2 ， 即 AO b 2 . AOB AEC ， 且 S AOB S AEC 9 16 ， AO AE BO CE 3 4 . AE 4 3 AO 2 3 b ， CE 4 3 BO 4 3 b ， OE AE AO 1 6 b. OE CE | 4| 4 ， 即 2 9 b 2 4 ， 解得： b 3 2 ， 或 b 3 2 ( 舍去 ) 故答案為： 3 2 . 對應訓練 6 ( 2016 菏澤 ) 如圖 ， OAC 和 BA D 都是等腰直角三角形 ， ACO ADB 90 ， 反比例函數
27、 y 6 x 在第一象限的圖象經過點 B ， 則 OAC 與 BAD 的面積之差 S OAC S BAD 為 ( ) A 36 B 12 C 6 D 3 D 點撥：設 OAC 和 BAD 的直角邊長分別為 a ， b ， 則點 B 的坐標為 ( a b ， a b ) 點 B 在反比例函數 y 6 x 的第一象限圖象上 ， ( a b ) ( a b ) a 2 b 2 6. S O AC S BAD 1 2 a 2 1 2 b 2 1 2 ( a 2 b 2 ) 1 2 6 3. 故選 D. 試題
28、如圖 ， 在矩形 ABCD中 ， AB 4， BC 6， 若點 P在 AD邊上 ， 連結 BP， PC， BPC是以 PB為腰的等腰三角形 ， 則 PB的長為 ________ 錯解 5 如圖 ， 在矩形 AB CD 中 ， AB CD 4 ， BC AD 6. 點 P 是 BC 的垂直平 分線與 AD 的交點 ， 則 AP DP 1 2 AD 3. 在 Rt ABP 中 ， 由勾股定理得 PB AP 2 AB 2 3 2 4 2 5 剖析 本題要注意分類討論的數學思想進行分類討論： PB PC 和 PB BC 兩種情況解題時需認真審題 ， 全面考慮 ， 對可能存在的各種情況進行討 論 ， 做到不重、不漏、條理清晰 正解 5 或 6 如圖 ， 在矩形 AB CD 中 ， AB CD 4 ， BC AD 6. 如圖 ， 當 PB PC 時 ， 點 P 是 BC 的垂直平分線與 AD 的交點 ， 則 AP DP 1 2 AD 3. 在 Rt ABP 中 ， 由勾股定理得 PB AP 2 AB 2 3 2 4 2 5 ； 如圖 ， 當 BP BC 6 時 ， BPC 也是以 PB 為腰的等腰三角形綜上 所述 ， PB 的長度是 5 或 6
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