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1、第四章
1.試求邊長為（包括外推距離）的長方體裸堆的幾何曲率和中子通量密度的分布。設有一邊長（包括外推距離）的長方體裸堆， 。（1）求達到臨界時所必須的；（2）如果功率為，求中子通量密度分布。
解：長方體的幾何中心為原點建立坐標系，則單群穩(wěn)態(tài)擴散方程為：
邊界條件：
（以下解題過程都不再強調(diào)外推距離，可認為所有外邊界尺寸已包含了外推距離）
因為三個方向的通量拜年話是相互獨立的，利用分離變量法：
將方程化為：
設：
想考慮X方向，利用通解：
2、 代入邊界條件：
同理可得：
其中是待定常數(shù)。
其幾何曲率：
（1）應用修正單群理論，臨界條件變?yōu)椋?
其中：
（2）只須求出通量表達式中的常系數(shù)
2.設一重水—鈾反應堆的堆芯。試按單群理論，修正單群理論的臨界方程分別求出該芯部的材料曲率和達到臨界時候的總的中子不泄露幾率。
解：對于單群理論：
在臨界條件下：
（或用）
對于單群修正理論：
在臨界條件下：
3、 （注意：這時能用，實際上在維持臨界的前提條件下修正理論不會對不泄露幾率產(chǎn)生影響，但此時的幾何曲率、幾何尺寸已發(fā)生了變化，不再是之前的系統(tǒng)了。）
4. 設有圓柱形鈾-水柵裝置，R=0.50米，水位高度H=1.0米，設柵格參數(shù)為：k∞=1.19，L2=6.610-4米2，τ=0.5010-2米2。（a）試求該裝置的有效增殖系數(shù)k；（b）當該裝置恰好達臨界時，水位高度H等于多少？（c）設某壓水堆以該鈾-水柵格作為芯部，堆芯的尺寸為R=1.66米，H=3.50米，若反射層節(jié)省估算為δr=0.07米，δH=0.1米。試求反應堆的初始反應性ρ以及快中子不泄漏幾率和熱中子不泄漏幾率。
4、5.一個球殼形反應堆，內(nèi)半徑為,外半徑為，如果球的內(nèi)、外均為真空，求證單群理論的臨界條件為：
解答：以球心為坐標原點建立球坐標系，單群穩(wěn)態(tài)擴散方程：
邊界條件：i.
ii.
（如果不包括了外推距離的話，所得結果將與題意相悖）
球域內(nèi)方程通解：
由條件i可得：
由條件ii可得：
5、
由此可見，，證畢。
7.一由純金屬組成的球形快中子堆，其周圍包以無限厚的純
，試用單群理論計算其臨界質(zhì)量，單群常數(shù)如下：
。
解：以球心為左邊原點建立球左邊系，對于U-235和U-238分別列單群穩(wěn)態(tài)擴散方程，設其分界面在半徑為R處：
方程1
方程2
邊界條件：i. ii.
iii. iv.
令（.在此臨界條件下，既等于材料曲率
6、，也等于幾何曲率），球域內(nèi)方程1通解：
由條件i可知，所以：
球域內(nèi)方程2通解：
由條件iv可知,所以：
由條件ii可得：
由條件iii可得：
所以（由題目已知參數(shù)）
即：
代入數(shù)據(jù)：
8.試證明有限高半圓形反應堆中子通量密度分布和幾何曲率
其中：是的第一個零點，即。
證明：（1）書上圖4-8所示的柱坐標系下，單群穩(wěn)態(tài)擴散方程可寫為（臨界條件下，幾何曲率與材料曲率相等）：
邊界條件（不考慮外推距離）：i.
7、 II.
III.
(注意,這里不能用線性微分方程解的存在唯一性定理：
如果都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則對于任一及任意的方程：
存在唯一解
定義于區(qū)間上，且滿足初值條件
而此擴散方程并非線性微分方程。）
對于表達式：
不難證明其滿足上述全部三個邊界條件。
（2）將表達式代入方程，其中，已
8、知如下條件：
可推得：
所以：
所以：
再有：
所以方程為：
可知該表達式為方程的解。證畢。
（也可如此推出解的形式：分離變量：
方程變形：
設：（為任意實數(shù)），；
變量替換：
此為階方程，通解為
由邊界條件i可得,n須取使的值，在其中，我們只去基波，即，相應的：
相應的：
由邊界條件ii可得：
對于z有：
9、 由邊界條件ii可得，
所以:
10.設有均勻圓柱形裸堆，其材料曲率等于，試求：
（1）使臨界體積為最小的的值；
（2）最小臨界體積V與的關系。
解：（1）對于均勻圓柱體裸堆，其幾何曲率：
可得，在臨界條件下：
臨界體積：
其取最小值時: ,即：
所以：
（2）由上可得臨界最小體積：
由于臨界條件下：，所以：
11.設有意純組成的球形快中子臨界裸堆，試用下列單群常數(shù)：
計算其臨界半徑與臨界質(zhì)量
10、。
解：由已知條件可得：
設臨界半徑為，則臨界條件：，可得：
對于這一實際問題，需要考慮外推距離：
所以實際臨界體積為：
臨界質(zhì)量：
12.試求下列等效裸堆內(nèi)熱中子通量密度的最大值與平均值，即熱中子通量密度的不均勻系數(shù):
（1）半徑為的球形堆，反射層節(jié)省為；
（2）半徑為，高度為的圓柱形堆，反射層節(jié)省分別為和；
（3）邊長為的長方形堆，反射層節(jié)省分別為。
11、 解：可利用裸堆的結論，球：
圓柱：
立方體：
詳細推導：據(jù)97頁4-1裸堆的通解形式可得：
球：
圓柱：
立方體：
12、
16.設有如圖4-9所示的 一維無限平板反應堆。中間區(qū)域（）的，厚度為已知，兩側區(qū)域（）的，試用單群理論導出確定臨界尺寸的公式及臨界時中子通量密度的分布。說明尺寸對臨界尺寸有無影響及其理由。
解：以平板厚度方向上的幾何中心為原點建立坐標系，對兩區(qū)分別建立單群穩(wěn)態(tài)擴散方程（由于幾何上的對稱性，對于本體只需考慮一側，如X為正一側）：
方程1
方程2
邊界條件：i. ii.
由表3-1查得方程1的通解：
13、 其中第二項明顯有悖于對稱性條件，故，同理有：
（由于本體是求解臨界尺寸，默認的前提是幾何曲率等于材料曲率，故以下不再
對其進行區(qū)別，統(tǒng)一用表示）
有條件ii可得：
整個系統(tǒng)的臨界條件為：
=中子率/（中子泄漏率+中子吸收率）=1
即：
（注意，此處的泄露僅僅是區(qū)外表面上的泄露，區(qū)之間的凈流動時通過對通量分布產(chǎn)生影響從而作用于泄漏率的）
可見，臨界尺寸a與b負相關，從物理上的理解：由于區(qū)增值性質(zhì)弱于區(qū)，故存在由區(qū)向區(qū)的凈流動，相當于區(qū)的泄露。區(qū)尺寸越小，則這一泄露越弱，此時的臨界尺a最小。但不要認為ab之和為固
14、定常數(shù)！這里用幾何曲率只是考慮基波，求出的a+b相當于同一材料曲率下最小的臨界尺寸，而實際對于任意n平方倍的幾何曲率，臨界條件都可以滿足。
由條件i可得：
中子通量密度分布為：，
其中由臨界時的功率條件確定。
17. 設有高度為（端部無反射層）徑向為雙區(qū)的圓柱形反應堆，中心為通量密度展平區(qū)，要求中子通量密度等于常數(shù)，假定單群理論可以適用。試求：
（1）中心區(qū)的應等于多少？
（2）臨界判別式及中子通量密度分布。
解：自己設定材料有關參數(shù)，以幾何中心為原點建立坐標系：
方程1
方程2
由于區(qū)進行了通量展平，即為常數(shù)，易知，而必須大于1.
邊界條件： i. ; ii.
iii. iv.
核反應堆物理分析習題答案第四章
