《2014高考數(shù)學一輪高強優(yōu)化課件：圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014高考數(shù)學一輪高強優(yōu)化課件：圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì).ppt（45頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第二講 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì) ( 選擇、填空題型 ) 橢 圓 考 點 圓錐曲線的綜合問題 拋 物 線 雙 曲 線 考 情 1.對橢圓的考查以橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)為主要考查對象， 有時也考查橢圓定義的應(yīng)用，尤其要熟記橢圓中參數(shù) a， b， c之間 的內(nèi)在聯(lián)系及其幾何意義 2.對于雙曲線的考查主要有兩種形式：一是求雙曲線方程；二 是通過方程研究雙曲線的性質(zhì)，如 2013年新課標全國卷 T4, 2013年浙江 T9. 3.高考對拋物線定義的考查主要體現(xiàn)在拋物線的標準方程、焦 點等問題上，考查方程主要有兩個方面，一是用定義或待定系數(shù) 法求拋物線方程
2、；二是利用拋物線方程研究幾何性質(zhì)，如 2013年 新課標全國卷 T11. 4.圓錐曲線綜合問題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，如 2013年天津 T5. 1 ( 2013 新課標全國卷 ) 已知雙曲線 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的離心率為 5 2 ，則 C 的漸近線方程為 ( ) A y 1 4 x B y 1 3 x C y 1 2 x D y x 解析： 因為雙曲線 x 2 a 2 y 2 b 2 1 的焦點在 x 軸上，所以雙曲線的 漸近線方程為 y b a
3、 x . 又離心率為 e c a a 2 b 2 a 1 b a 2 5 2 ，所以 b a 1 2 ，所以雙曲線的漸近線方程為 y 1 2 x . 答案： C 2 ( 2013 浙江高考 ) 如圖， F 1 ， F 2 是橢圓 C 1 ： x 2 4 y 2 1 與雙曲 線 C 2 的公共焦點， A ， B 分別是 C 1 ， C 2 在第二、四象限的 公共點若四邊形 AF 1 BF 2 為矩形，則 C 2 的離心率是 ( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 6 2 解析： 設(shè)雙曲線方程為 x 2 a 2 y 2
4、b 2 1( a 0 ， b 0) ，點 A 的坐標為 ( x 0 ， y 0 ) 由題意得 a 2 b 2 3 c 2 ，則 | OA | c 3 ， 所以 x 2 0 y 2 0 3 ， x 2 0 4 y 2 0 4 ， 解得 x 2 0 8 3 ， y 2 0 1 3 ，又點 A 在雙曲線上， 代入 得， 8 3 b 2 1 3 a 2 a 2 b 2 ，聯(lián)立 解得 a 2 ，所以 e c a 6 2 . 答案： D 3 ( 2013 新課標全國卷 ) 設(shè)拋物線 C ： y 2 2 px ( p 0) 的焦點為 F
5、，點 M 在 C 上， | MF | 5. 若以 MF 為直徑的圓過點 ( 0,2) ， 則 C 的方程為 ( ) A y 2 4 x 或 y 2 8 x B y 2 2 x 或 y 2 8 x C y 2 4 x 或 y 2 16 x D y 2 2 x 或 y 2 16 x 解析： 由已知得拋物線的焦點 F p 2 ， 0 ，設(shè)點 A ( 0,2) ，拋物線 上點 M ( x 0 ， y 0 ) ，則 AF p 2 ， 2 ， AM y 2 0 2 p ， y 0 2 . 由已 知得， AF A
6、M 0 ，即 y 2 0 8 y 0 16 0 ，因而 y 0 4 ， M 8 p ， 4 . 由 | MF | 5 得， 8 p p 2 2 16 5 ，又 p 0 ，解得 p 2 或 p 8. 答案： C 4 ( 2013 天津高考 ) 已知雙曲線 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的兩條 漸近線與拋物線 y 2 2 px ( p 0) 的準線分別交于 A, B 兩點， O 為坐標原點 . 若雙曲線的離心率為 2, AO B 的面積為 3 ， 則 p ( ) A 1
7、 B. 3 2 C 2 D 3 解析： 因為雙曲線的離心率 e c a 2 ，所以 b 3 a ，所以雙 曲線的漸近線方程為 y b a x 3 x ，與拋物線的準線 x p 2 相交于 A p 2 ， 3 2 p ， B p 2 ， 3 2 p ，所以 AOB 的面積為 1 2 p 2 3 p 3 ，又 p 0 ，所以 p 2. 答案： C 1 圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質(zhì) y2 2px(p 0) 標準 方程 |PF| |PM|點 F 不在直線 l上， PM l于 M ||PF1| |PF
8、2|| 2a(2a |F1F2|) |PF1| |PF2| 2a(2a |F1F2|) 定義 拋物線 雙曲線 橢圓 名稱 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 漸近線 e 1 離心率 幾何 性質(zhì) 圖像 拋物線 雙曲線 橢圓 名稱 e c a 1 b 2 a 2 (0 e 1) e ca 1 b 2 a 2 ( e 1) y ba x 2. 直線與圓錐曲線相交時的弦長 設(shè)而不求，根據(jù)韋達定理，進行整體代入即當直線與圓 錐曲線交于點 A ( x 1 ， y
9、1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 時， | AB | 1 k 2 | x 1 x 2 | 1 1 k 2 | y 1 y 2 |，而 | x 1 x 2 | x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 . 3 拋物線的過焦點的弦長 拋物線 y 2 2 px ( p 0) 的過焦點 F p 2 ， 0 的弦 AB ，若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，則 x 1 x 2 p 2 4 ， y 1 y 2 p 2 ，弦長 | AB | x 1 x 2 p . 同樣可得拋物線 y 2 2 px ， x 2
10、 2 py ， x 2 2 py 類似的性質(zhì) 圓錐曲線定義及標準方程 例 1 ( 1) ( 2013 廣東高考 ) 已知中心在原點的雙曲線 C 的 右焦點為 F ( 3,0) ，離心率等于 3 2 ，則 C 的方程是 ( ) A. x 2 4 y 2 5 1 B. x 2 4 y 2 5 1 C. x 2 2 y 2 5 1 D. x 2 2 y 2 5 1 (2) 設(shè) F 1 ， F 2 分別為雙曲線 x 2 9 y 2 16 1 的左、 右焦點，過 F 1 引圓 x 2 y 2 9 的切線 F 1 P 交雙 曲線的右支于點 P
11、 ， T 為切點， M 為線段 F 1 P 的中點， O 為坐標原點，則 | MO | | MT |等于 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 (3) 已知直線 l 1 ： 4 x 3 y 6 0 和直線 l 2 ： x 1 ，拋物線 y 2 4 x 上一動點 P 到直線 l 1 和直線 l 2 的距離之和的最小值是 ________ 自主解答 ( 1) 由題意可知 c 3 ， a 2 ， b c 2 a 2 3 2 2 2 5 ，故雙曲線的方程為 x 2 4 y 2 5 1. ( 2) 連接 PF 2 、 O
12、T ，則有 | MO | 1 2 | PF 2 | 1 2 (| PF 1 | 2 a ) 1 2 (| PF 1 | 6) ， | MT | 1 2 | PF 1 | | F 1 T | 1 2 | PF 1 | c 2 a 2 1 2 | PF 1 | 4 ，于是 有 | MO | | MT | 1 2 | PF 1 | 3 1 2 | PF 1 | 4 1. ( 3) 直線 l 2 ： x 1 為拋物線 y 2 4 x 的 準線，由拋物線的定義知， P 到 l 2 的距離等 于 P 到拋物線的焦點 F ( 1,0) 的距離故本題 可化為在拋物線 y
13、2 4 x 上找一個點 P 使得 P 到點 F ( 1,0) 和直線 l 1 的距離之和最小如圖所示，距離之和的 最小值為焦點 F ( 1,0) 到直線 l 1 ： 4 x 3 y 6 0 的距離，即 d m in |4 0 6| 5 2. 答案 ( 1) B ( 2) D ( 3) 2 本例 ( 3) 中把直線 l 1 換成點 A ( 2,3) ，如何求點 P 到點 A 和 直線 l 2 的距離之和的最小值？ 解析： 直線 l 2 ： x 1 為拋物線 y 2 4 x 的準線，由拋物 線定義知， P 到 l 2 的距離等于 P 到拋物線焦點 F ( 1,0) 的
14、距離故 本題可以轉(zhuǎn)化為在拋物線上找一個點 P ，使得 | PA | | PF |最小， 即 | AF |為所求， A ( 2,3) ， F ( 1,0) ， | AF | 2 1 2 3 2 10 . 答案： 10 規(guī)律 總 結(jié) 圓錐曲線方程的求法 求解圓錐曲線標準方程的方法是 “ 先定型，后計算 ” ( 1) 定型就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置， 從而設(shè)出標準方程 ( 2) 計算即利用待定系數(shù)法求出方程中的 a 2 ， b 2 或 p .另 外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為 y 2 2 ax 或 x 2 2 ay ( a 0) ，橢圓
15、常設(shè) mx 2 ny 2 1( m 0 ， n 0) ，雙曲線常設(shè) 為 mx 2 ny 2 1( mn 0) 1 已知 F 1 ， F 2 為雙曲線 C ： x 2 y 2 2 的左、右焦點，點 P 在 C 上， | PF 1 | 2| PF 2 |，則 c os F 1 PF 2 ( ) A. 1 4 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 5 解析： 因為 c 2 2 2 4 ，所以 c 2,2 c | F 1 F 2 | 4 ，由題 意可知 | PF 1 | | PF 2 | 2 a 2 2 ， | PF
16、1 | 2| PF 2 | ，所以 | PF 2 | 2 2 ， | PF 1 | 4 2 ，由余弦定理可知 c os F 1 PF 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 3 4 . 答案： C 2 已知拋物線 y 2 8 x 的準線過雙曲線 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的一 個焦點， 且雙曲線的離心率為 2 ，則該雙曲線的方程為 ________ 解析： 拋物線 y 2 8 x 的準線 x 2 過雙曲線的一個焦點， 所以 c 2 ，又離心率為 2 ，所以 a 1 ， b c 2 a 2 3
17、 ， 所以該雙曲線的方程為 x 2 y 2 3 1. 答案： x 2 y 2 3 1 例 2 ( 1) ( 2013 山東高考 ) 拋物線 C 1 ： y 1 2 p x 2 ( p 0) 的焦點與 雙曲線 C 2 ： x 2 3 y 2 1 的右焦點的連線交 C 1 于第一象限的點 M .若 C 1 在點 M 處的切線平行于 C 2 的一條漸近線，則 p ( ) A. 3 16 B. 3 8 C. 2 3 3 D. 4 3 3 圓錐曲線的幾何性質(zhì) ( 2) ( 2013 福建高考 ) 橢圓 ： x 2 a 2 y 2 b
18、 2 1( a b 0) 的左、右焦 點分別為 F 1 ， F 2 ，焦距為 2 c ，若直線 y 3 ( x c ) 與橢圓 的 一個交點 M 滿足 MF 1 F 2 2 MF 2 F 1 ，則該橢圓的離心率等 于 ________ 自主解答 (1) 拋物線的焦點坐標為 0 ， p 2 ，雙曲線的右焦 點坐標為 (2,0) ，所以上述兩點連線的方程為 x 2 2 y p 1. 雙曲線的 漸近線方程為 y 3 3 x . 對函數(shù) y 1 2 p x 2 求導(dǎo)，得 y 1 p x . 設(shè) M ( x 0 ， y 0 ) ，則 1 p x 0 3
19、 3 ，即 x 0 3 3 p ，代入拋物線方程得， y 0 1 6 p . 由于點 M 在直線 x 2 2 y p 1 上，所以 3 6 p 2 p p 6 1 ，解得 p 4 3 4 3 3 . ( 2) 直線 y 3 ( x c ) 過點 F 1 ，且傾斜角為 60 ，所以 MF 1 F 2 60 ，從而 MF 2 F 1 30 ，所以 MF 1 MF 2 . 在 Rt MF 1 F 2 中， | MF 1 | c ， | MF 2 | 3 c ，所以該橢圓的離心率 e 2 c 2 a 2 c c 3 c 3 1. 答案 ( 1) D
20、 ( 2) 3 1 規(guī)律 總 結(jié) 兩類離心率問題 ( 1) 橢圓的離心率： e 2 c 2 a 2 1 b 2 a 2 ， b a 1 e 2 ； ( 2) 雙曲線的離心率： e 2 c 2 a 2 1 b 2 a 2 ， b a e 2 1 . 3 已知雙曲線 C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的離心率為 2. 若拋物 線 C 2 ： x 2 2 py ( p 0) 的焦點到雙曲線 C 1 的漸近線的距離為 2 ， 則拋物線 C 2 的方程為 ( ) A x 2 8
21、 3 3 y B x 2 16 3 3 y C x 2 8 y D x 2 16 y 解析： 雙曲線 C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的離心率為 2 ， c a a 2 b 2 a 2 ， b 3 a ， 雙曲線的漸近線方程為 3 x y 0 ， 拋物線 C 2 ： x 2 2 py ( p 0) 的焦點 0 ， p 2 到雙曲線的漸近線的距 離為 3 0 p 2 2 2 ， p 8. 所求的拋物線方程為 x 2 16 y . 答案： D 4 已知橢圓
22、 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的左焦點為 F ， C 與過原點的 直線相交于 A ， B 兩點，連接 AF ， BF . 若 | AB | 10 ， | AF | 6 ， c os ABF 4 5 ，則 C 的離心率 e ________. 解析： 設(shè)橢圓的右焦點為 F 1 ，在 AB F 中，由余弦定理可 解得 | BF | 8 ，所以 A BF 為直角三角形，又因為斜邊 AB 的中點為 O ，所以 | OF | c 5. 連接 AF 1 ，因為 A ， B 關(guān)于原 點對稱，所以 | BF | | AF 1 | 8 ，所以 2 a 14
23、， a 7 ，所以離 心率 e 5 7 . 答案： 57 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例 3 ( 1) ( 2013 安徽高考 ) 已知直線 y a 交拋物線 y x 2 于 A ， B 兩點若該拋物線上存在點 C ，使得 AC B 為直角， 則 a 的取值范圍為 ____ ____ ( 2) ( 2013 東城模擬 ) 已知拋物線 y 2 2 px 的焦點 F 與雙曲線 x 2 7 y 2 9 1 的右焦點重合，拋物線的準線與 x 軸的交點為 K ，點 A 在拋物線上且 | AK | 2 | AF |，則 AFK 的面積為 ( ) A 4 B 8
24、 C 16 D 32 自主解答 ( 1) 法一： 設(shè)直線 y a 與 y 軸交于點 M ，拋物 線 y x 2 上要存在點 C ，只要以 | AB |為直徑的圓與拋物線 y x 2 有交點即可，也就是使 | AM | | MO |，即 a a ( a 0 ) ，所以 a 1. 法二： 易知 a 0 ，設(shè) C ( m ， m 2 ) ，由已知可令 A ( a ， a ) ， B ( a ， a ) ，則 AC ( m a ， m 2 a ) ， BC ( m a ， m 2 a ) ，因為 AC BC ，所以 m 2 a m 4 2 am 2
25、a 2 0 ，可得 ( m 2 a )( m 2 1 a ) 0. 因為由題易知 m 2 a ，所以 m 2 a 1 0 ， 故 a 1 ， ) ( 2) 由題意知，拋物線焦點坐標為 ( 4,0) 作 AA 垂直于拋 物線的準線，垂足為 A ，根據(jù)拋物線定義知 | AA | | AF |， 所以在 AA K 中， | AK | 2 | AA |，故 KAA 45 . 此時 不妨認為直線 AK 的傾斜角為 45 ，則直線 AK 的方程為 y x 4 ，代入拋物線方程 y 2 16 x 中，得 y 2 16( y 4) ，即 y 2 16 y
26、 64 0 ，解得 y 8 ，點 A 的坐標為 ( 4,8) ，故 AFK 的面積為 1 2 8 8 32. 答案 ( 1) 1 ， ) ( 2) D 規(guī)律 總 結(jié) 求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的方法 在涉及直線與二次曲線的兩個交點坐標時，一般不是求出這 兩個點的坐標，而是設(shè)出這兩個點的坐標，根據(jù)直線方程和曲線 方程聯(lián)立后所得方程的根的情況，使用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體 代入，這種設(shè)而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相 交問題的最基本方法 5 已知點 A (1,0) ，橢圓 C ： x 2 4 y 2 3 1 ，過點 A 作直線交
27、橢圓 C 于 P ， Q 兩點， AP 2 QA ，則直線 PQ 的斜率為 ( ) A. 5 2 B. 2 5 2 C 2 5 5 D 5 2 解析： 設(shè)點 P ， Q 坐標分別為 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ，則 AP ( x 1 1 ， y 1 ) ， QA (1 x 2 ， y 2 ) 因為 AP 2 QA ，所以 x 1 1 2( 1 x 2 ) ，整理得 x 1 2 x 2 3 . 設(shè)直線 PQ 的斜率為 k ，則其 方程為 y k ( x 1) ，代入橢圓方程，得 (
28、4 k 2 3) x 2 8 k 2 x 4 k 2 12 0. 于是 x 1 x 2 8 k 2 4 k 2 3 ， x 1 x 2 4 k 2 12 4 k 2 3 . 聯(lián)立 ， 解得 k 5 2 . 答案： D 6 已知拋物線 C 的頂點在坐標原點，焦點為 F ( 1,0) ，直線 l 與 拋物線 C 相交于 A ， B 兩點若 AB 的中點坐標為 ( 2,2) ，則 直線 l 的方程為 ______ __ 解析： 由已知得拋物線的方程為 y 2 4 x .當直線 l 的斜率不存 在時，根據(jù)拋物線的對稱性，點 (2,2) 不可能是 AB 的中點
29、， 故直線 l 的斜率存在，設(shè)其為 k ，則直線 l 的方程為 y 2 k ( x 2) 且 k 0 ，與拋物線方程聯(lián)立得 y 2 4 y 2 k 2 0 ， 即 y 2 4 k y 8 k 8 0. 設(shè) A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，則 y 1 y 2 4 k ， 又因為 y 1 y 2 2 2 ，即 2 k 2 ，解得 k 1 ，故所求的直線方程 是 y 2 x 2 ，即 y x . 答案： y x 課題 17 方程思想求解圓錐曲線離心率 典例 ( 2013 湖南高考 ) 設(shè) F
30、 1 ， F 2 是雙曲線 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的兩個焦點， P 是 C 上一點若 | PF 1 | | PF 2 | 6 a ， 且 PF 1 F 2 的最小內(nèi)角為 30 ，則 C 的離心率為 ________ 考題揭秘 本題主要考查雙曲線的定義及其幾何性質(zhì)、 余弦定理，考查方程思想與數(shù)形結(jié)合思想 審題過程 第一步：審條件已知雙曲線的兩個焦點 F 1 ， F 2 ，點 P 是雙曲線上的點，且 PF 1 F 2 的最小內(nèi)角為 30 . 第二步：審結(jié)論求雙曲線的離心率 第三步：建聯(lián)系由點 P 是雙曲線上的點，假設(shè)在右支上，
31、 由 | PF 1 | | PF 2 | 2 a 與條件 | PF 1 | | PF 2 | 6 a 得到 | PF 1 | ， | PF 2 | 的 值又易知 PF 1 F 2 3 0 ，在 PF 1 F 2 中由余弦定理得到 a ， c 關(guān) 系式進而得到 e 的一元二次方程，求出結(jié)果 規(guī)范解答 設(shè) F 1 ， F 2 分別為雙曲線的左、右焦點，不妨設(shè) 點 P 在雙曲線的右支上，由雙曲線定義得 | PF 1 | | PF 2 | 2 a ，又 | PF 1 | | PF 2 | 6 a ，聯(lián)立解得 | PF 1 | 4 a ， | PF 2 | 2 a . 而 | F 1
32、 F 2 | 2 c ， 則 PF 1 F 2 最小為 30 .在 PF 1 F 2 中，由余弦定理，得 | PF 2 | 2 | PF 1 | 2 | F 1 F 2 | 2 2| PF 1 | | F 1 F 2 | c os PF 1 F 2 ，所以 4 a 2 16 a 2 4 c 2 2 4 a 2 c c os 30 ，即 3 a 2 2 3 ac c 2 0. 因此， e 2 2 3 e 3 0 ， 即 ( e 3 ) 2 0 ， e 3 . 故雙曲線的離心率為 3 . 答案 3 模型歸
33、納 方程思想求圓錐曲線離心率 ( 范圍 ) 的模型示意圖如下： 變式訓練 1 已知雙曲線 C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的左、右焦點分別為 F 1 ， F 2 ，拋物線 C 2 ： y 2 2 px ( p 0) 的焦點與雙曲線 C 1 的一 個焦點重合 C 1 與 C 2 在第一象限相交于點 P ，且 | F 1 F 2 | | PF 1 |，則雙曲線的離心率為 ________ 解析： 設(shè)點 P ( x 0 ， y 0 ) ， F 2 ( c, 0) ，過點 P 作拋物線 C 2 準線的垂線， 垂足為 A ，連接 PF
34、2 . 由雙曲線的定義及 | F 1 F 2 | | PF 1 | 2 c ，得 | PF 2 | 2 c 2 a ，由拋物線的定義得 | PA | x 0 c 2 c 2 a ， x 0 c 2 a . 由題意知 p 2 c ， y 2 0 2 px 0 4 c ( c 2 a ) 在 Rt F 1 AP 中， | F 1 A | 2 (2 c ) 2 (2 c 2 a ) 2 8 ac 4 a 2 ，即 y 2 0 8 ac 4 a 2 . 8 ac 4 a 2 4 c ( c 2 a ) ，化簡得 c 2 4 ac a 2 0 ，即
35、e 2 4 e 1 0( e 1) ，解得 e 2 3 . 答案： 2 3 2. ( 2013 烏魯木齊模擬 ) 如圖，橢圓的中心在坐標原點 O ，頂點 分別是 A 1 ， A 2 ， B 1 ， B 2 ，焦點分別是 F 1 ， F 2 ，延長 B 1 F 2 與 A 2 B 2 交于 P 點， 若 B 1 PA 2 為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為 ________ 解析： 設(shè)橢圓的方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) ， B 1 PA 2 為 鈍角可轉(zhuǎn)化為 22 BA ， 21 FB 所夾的角為鈍角，則 ( a ， b ) ( c ， b ) 0 ，得 b 2 ac ，即 a 2 c 2 ac ，故 c a 2 c a 1 0 ，即 e 2 e 1 0 ，解得 e 5 1 2 或 e 5 1 2 . 又 0 e 1 ， 5 1 2 e 1. 答案： 5 1 2 ， 1
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