線性代數(shù)(趙樹嫄)第二章課件.ppt

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1、Ch2 矩 陣 本章介紹矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算、 逆矩陣、分塊矩陣及計(jì)算、矩陣的初等變 換等。 矩陣是從生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)問題中抽象 出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，它在線性代數(shù)中既是最 基本的研究對(duì)象，又是最重要的研究工具，它 貫穿線性代數(shù)的各個(gè)方面。 1、理解矩陣概念，知道零矩陣、單位陣、 對(duì)角陣、對(duì)稱陣等特殊矩陣。 2、熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算、 轉(zhuǎn)置運(yùn)算以及它們的運(yùn)算規(guī)律。 3、知道矩陣的分塊方法。 4、理解逆矩陣的概念及其存在的充分必要 條件。掌握求逆陣的方法。 5、熟練掌握矩陣的初等變換。 本章基本要求 本章重點(diǎn) 矩陣

2、的乘法、逆陣及矩陣的初等變換。 1 矩陣的概念 在很多實(shí)際問題中，我們常常會(huì)碰到具有 m 個(gè)方程 n個(gè)末知量的最一般形式的線性方程組： 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的 研究 . 線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原來(lái)相對(duì)位 置不變可排為 11 12 1 1 21 22 2 2 12 n n m m m n m a a a b a a a b a a a b 定義 1 由 mn個(gè)數(shù) aij( i=1

3、, 2， ， m ； j=1, 2， ， n)排列成的 m行 n列的數(shù)表： mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 簡(jiǎn)記為 (a ij)m n, aij表 示矩陣 A的第 i行、第 j 列的元素。 稱為 m行 n列的矩陣，簡(jiǎn)稱為 m n階矩陣。常記為 矩陣通常用大寫字母 A、 B、 C等表示。 元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為 實(shí)矩陣 , 元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為 復(fù)矩陣 . 例如 3469 5301 是一個(gè) 實(shí)矩陣 ,

4、 42 222 222 2613 i 是一個(gè) 復(fù)矩陣 , 33 4 2 1 是一個(gè) 矩陣 , 13 9532 是一個(gè) 矩陣 , 41 4 是一個(gè) 矩陣 . 11 4 nij nnnn n n aAnnnn aaa a a aa aa A )(,, 21 2 1 2221 1211 簡(jiǎn)記為階矩陣階方陣或常稱為方陣為 方陣 A的元素按原來(lái)相對(duì)位置不變所構(gòu)成的 n階行 列式稱為方陣 A的行列式，記為 |A|或 detA。 例如 222 222 2613 是

5、一個(gè) 3 階方陣 . 幾種特殊矩陣 （ 1） n階方陣 , 2 1 n a a a B 只有一列的矩陣 稱為 列矩陣 (或 列向量 ). 稱為 對(duì)角 矩陣 (或 對(duì)角陣 ） . n 00 00 00 2 1 （ 3） 形如 的方陣 , (2)只有一行的矩陣 ,,,, 21 naaaA 稱為 行矩陣 (或 行向量 )。 記作 .,,, 21 ndi agA （ 4） 元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零 矩陣記作 或 . nm nmo o 注意 .0000 0

6、000 0000 0000 0000 不同階數(shù)的零矩陣是不一樣的 . 例如 (5)單位矩陣 100 010 001 nII 稱為 單位矩陣 （或 單位陣 ）。 同型矩陣與矩陣相等的概念 1、 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)相等時(shí)，稱為 同型矩陣 。 2.兩個(gè)矩陣 A=(aij)， B=(bij) 為同型矩陣，并且對(duì) 應(yīng)元素相等，即 ,,,2,1;,,2,1 njmiba ijij 則稱 矩陣 A與 B相等 ，記作 .BA 例如 93 48 314 73 65 21 與 為

7、同型矩陣 . (6) 上 (下 )三角矩陣 階上三角矩陣稱為 n a aa aaa A nn n n 222 11211 . 21 2221 11 階下三角矩陣稱為 n aaa aa a B nnnn (7) 對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣 . ),,,2,1,(,,)( 為對(duì)稱矩陣稱 則如果中在方陣 A njiaaaA jiijnij 為對(duì)稱矩陣 762 681 210 A 為反對(duì)稱陣 032 301 210 B 如為反對(duì)稱矩陣則稱如果 .,,,2,1,,

8、 Anjiaa jiij (8) 負(fù)矩陣 ( ) ( ) ( ) ij m n ij m n ij A a a A A A a 設(shè) ， 則 稱 為 矩 陣 的 負(fù) 矩 陣 ， 記 作 - 。 即 - 。 例如 1 0 3 59 6 4 3A 則 1 0 3 5 9 6 4 3A ).5,4,3,2,1;4,3,2,1( ,2),(54 ji jiaaA ijij 其中矩陣試寫出例 :解 . 34567 12345 10123 32101 A 2.2 矩陣的運(yùn)算 矩陣的意義

9、不僅僅在于將一些數(shù)據(jù)排成一個(gè) 有規(guī)律的數(shù)表形式，更重要的是在于當(dāng)我們對(duì)它定 義了一系列運(yùn)算后，矩陣可以像數(shù)一樣運(yùn)算，從而 使得矩陣成為進(jìn)行理論研究和解決實(shí)際問題的有力 工具。 定義 設(shè)有兩個(gè) mn矩陣 A=(aij)， B=(bij),那末矩陣 A和 B的和記作 A+B，規(guī)定為 nmijij baBA )( mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 一、矩陣的加法 例 1 有某種物資（單位：噸）從 3個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往 4個(gè)銷 地，兩次調(diào)運(yùn)方案分別為矩陣 A與矩陣

10、B： 3210 3402 2753 A 8460 7512 0231 B 則從各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地兩次的物資調(diào)運(yùn)量（單位： 噸）共為： 83426100 73541022 02273513 BA 11670 10914 2984 .: 加只有同型矩陣才可以相注 矩陣加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律： 性質(zhì) 1 設(shè) A、 B、 C是同型矩陣，則 (1)交換律： A+B=B+A； (2)結(jié)合律： (A+B)+C=A+(B+C)； (3)A+O=A，其中 O是與 A同型的零矩陣。 矩陣的減法：

11、 nmijij baBABA )()( 顯然有 A-A=O 二、數(shù)乘矩陣 定義 數(shù) 與矩陣 A的乘積記作 A，規(guī)定為： mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 例 1 設(shè)有 3個(gè)產(chǎn)地與 4個(gè)銷地的里程（單位：公里）， 為矩陣 A： 1 0 5951 9 01 3 5 50401 3 080 90801 7 51 2 0 A 如果運(yùn)費(fèi)為 1.5元 /公里，則運(yùn)費(fèi)矩陣為： 1055.1955.11905.11355.1 505.1405.11305

12、.1805.1 905.1805.11755.11205.1 5.1 A 5.1 5 75.1 4 22 8 55.2 0 2 75601 9 51 2 0 1 3 51 2 05.2 6 21 8 0 矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算規(guī)律： 性質(zhì) 2 設(shè) A， B是同型的矩陣， 、 為常數(shù)，則 (1)()A= (A) = (A)； (2) (+)A = A+ A； (3) (A+B)= A+ B； (4) A=O，當(dāng)且僅當(dāng) =0或 A=O。 矩陣相加與數(shù)與矩陣的數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。 顯然， ( 1)A= A， ( A )=A。

13、310 282 A已知 .23, 130 541 BAB 求 :3例 310 282323: BA解 130 5412 930 6246 260 1082 1130 4164 。求矩陣且 ：設(shè)例 XBXA BA ,2 , 6123 7915 4257 , 8642 9751 0213 4 )(21 ABX 解： 2721 2244 4464 2 1 12/712/1 1122 2232 例子，設(shè)有兩個(gè)線性變換

14、 （ 2.1) (2.2) , , , , , 2 32 1 31 3 2 22 1 21 2 2 12 1 11 1 3 23 2 22 1 21 2 3 13 2 12 1 11 1 t b t b x t b t b x t b t b x x a x a x a y x a x a x a y (2.1)稱為從變量 Y 到變量 X的線性變換； (2.2)稱為從變量 X 到變量 T 的線性變換。 三、矩陣與矩陣相乘 它們的系數(shù)矩陣分別是 32 22 12 31 21 11 23 13 22

15、12 21 11 , b b b b b b B a a a a a a A 如要求出從 Y(y1， y2)到 T(t1， t2)的線性變換，可 將（ 2.2）代入（ 2.1），便得： 的乘積。 與可以看作是由線性變換線性變換 ）（ 2.2)(2.1)()3.2( 2.3 )( )( )( )( 2322322221221 13123212211212 2321322121211 13113211211111 tbababa tbababay tbababa tbababay 觀察 (2.1) 、 (2.2)、 (2.3

16、)所對(duì)應(yīng)的矩陣的關(guān)系 ： 232221 131211 aaa aaa 322322221221312321221121 321322121211311321121111 babababababa babababababa 32 22 12 31 21 11 b b b b b b 由此我們定義它們之間關(guān)系為矩陣的乘積，即 一般地， 2.4 ,)( , )(,)( 5 1 2211 s k kjiksjisjijiij nmij nsijsmij babababac cCnm ABBAns bBsmaA 其中矩陣

17、一個(gè) 是的乘法與那么規(guī)定矩陣矩陣是 矩陣是設(shè)定義 記為 C=AB。 (2.4)式表明，乘積矩陣 AB的 i行 j列位置上的元素是 A 的第 i行與 B的第 j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。 *** *** 21 isii aaa ** ** ** 2 1 sn j j b b b * ** * * ij c 即 .,)( )(.1 : 兩個(gè)矩陣才能相乘的行數(shù)相等時(shí)右矩陣 的列數(shù)與第二個(gè)矩陣左矩陣只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣 說(shuō)明 ., 可以相乘的并非任意兩個(gè)矩陣都是因

18、此 . ,.2 右乘矩陣的列數(shù) 列數(shù)等于乘矩陣的行數(shù)乘積矩陣的行數(shù)等于左 例 1 2222 63 42 21 42 C 22 16 32 8 16 設(shè) 4150 0311 2101 A 121 113 121 430 B例 2 ? 故 121 113 121 430 4150 0311 2101 ABC . 解 ,)( 43 ijaA ,34)( ijbB .)( 33 ijcC 5 6 7 10 2 6 2 17 1

19、0 注意： 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣 的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘 . 106 861 985 123 321 例如 1 2 3 321 132231 10 沒有意義。 321 1 2 3 321 642 963 =10 。及的乘積 與求矩陣?yán)?BAAB BA 63 42 21 42 3 解： 21 42 63 42 BA 63 42 21 42 AB ;168 3216

20、 。 00 00 . . 20 02 , 11 11 , 11 11 4 ACAB CBA 與求 設(shè)矩陣?yán)? ; 22 22 . 22 22 11 11 11 11 AB 解： 20 02 11 11 AC 由矩陣的定義及上述例題可知， 矩陣乘法與普 通數(shù)的乘法有根本的差別， 應(yīng)特別引起注意。 ; )1( 以相乘不是任意兩個(gè)矩陣都可 ; )2( 律矩陣的乘法不滿足交換 ; )3( 能是零矩陣兩個(gè)非零矩陣的

21、乘法可 . )4( 矩陣乘法不滿足消去律 例 5 可交換的一切矩陣。求與矩陣 0000 1000 0100 0010 A 利用矩陣的乘法 ,線性方程組 (1.1)可以寫成矩陣 形式。設(shè)線性方程組 (1.1)的系數(shù)組成 m n矩陣： mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 . , 2 1 2 1 mn b b b b x x x X 末知數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別組成 n 1與 m 1列矩陣 (列向量 )： 也可用矩陣乘積表

22、示： 同理線性變換 2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay )(,,, 2 1 2 1 ij mn aA y y y Y x x x XAXY 其中 這樣線性方程組 (1.1)可以寫成 AX=b。 例 7 41 21 , 21 12 BA BAX 其中。解矩陣方程： 21 01X 矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 (1)結(jié)合律 (AB)C=A(BC)

23、(2) (AB)= (A)B=A(B ) (3)分配律 A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA (4)對(duì)于單位陣 I，有 Im Am n= Am n Am n In= Am n 證明略。 四、矩陣的轉(zhuǎn)置 定義 4 把矩陣 A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩 陣，叫做 A的轉(zhuǎn)置矩陣，記做 A或 AT。 例如 2 0 1 2 1 3 0 1 , 2012 1301 T AA ;1 AA TT ;2 TTT BABA ;3

24、TT AA .4 TTT ABAB 轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 特別地，矩陣 A是 對(duì)稱 矩陣的充要條件是 AT=A； 矩陣 A是 反對(duì)稱 矩陣的充要條件是 AT= -A。 。求已知例 TABBA )(. 102 324 171 , 231 102 8 2 3 1 1 0 2 131 027 241 TT T ABAB解二 , 101317 3140 AB因?yàn)榻庖?. 10 13 17 3 14 0 10 13 17 3

25、 14 0 )( TAB所以 .: .2 ,1 ),,,( 9 21 IHHH XXI H nIXX xxxX T T T T n 是對(duì)稱矩陣，且證明 階單位矩陣，為 滿足設(shè)列矩陣?yán)? TTT XXIH )2( 因?yàn)樽C明： . 是對(duì)稱陣所以 H TTT XXI )(2 ;2 HXXI T ))((422 TTTT XXXXIX XIXXI )2)(2( )2)(2( TT TTTT XXIXXI XXIXXIHH 又 .所以題得證 TTT XXXXXXI )(44 IXXXXI TT 44 例 10 證明任一 n階矩陣 A都可表示成 個(gè)對(duì)稱

26、陣 與一個(gè)反對(duì)稱陣之和 . 證明 TAAC 設(shè) TTT AAC )( 則 AA T ,C 所以 C為對(duì)稱矩陣 . ,TAAB 設(shè) ()T T TB A A則 AA T ,B 所以 B為反對(duì)稱矩陣 . 22 TT AAAA A ,2BC 命題得證。 五、方陣的冪 設(shè) A是 n階方陣，設(shè) k為正整數(shù) ,記 A1=A， A2=AA， ， Ak+1=AkA。 叫做方陣 A的冪。 特別規(guī)定 A0=I。 性質(zhì) 4 設(shè) A是 n階方陣， k是常數(shù)、 m、 n是正整數(shù)， 則 (1) Am Ak=Am+k； (2) (Am)k=Amk； 一般地， (AB)m Am

27、Bm 。 矩陣多項(xiàng)式： 設(shè) nnnn axaxaxaxf 1110)( 則定義 IaAaAaAaAf nnnn 1110)( 這里，一般 )()()()( AfBgBgAf 但 )()()()( AfAgAgAf 例 11 設(shè)矩陣： 3 , 10 11 AA 求 解法一 AAA 23 , 10 21 10 11 10 11 2 A . 10 31 10 11 10 21 解法二 BBIIB 又因?yàn)?, 00 10 10 01 10 11 BIA

28、 , , 00 10 2 OBB 且其中 33 )( BIA 所以 3223 33 BIBBII . 10 31 3 BI . c o ss i n s i nc o s c o ss i n s i nc o s 12 nn nnn 證明例 用數(shù)學(xué)歸納法。解：對(duì) n 1 c oss i n s i nc os 12 k knkn 時(shí)，有時(shí)等式成立，則當(dāng)）假設(shè)當(dāng) 時(shí)，等式顯然成立當(dāng)） 1 1 n c oss i n s i nc os c oss i n s i nc os

29、 kk kk c o ss i n s i nc o s c o ss i n s i nc o s k c osc oss i ns i ns i nc osc oss i n c oss i ns i nc oss i ns i nc osc os kkkk kkkk )1c os ()1s i n ( )1s i n ()1c os ( kk kk 求 例 14 設(shè) 。 )251(),321( BA .)( kT BA 13例 IBAA

30、 IBAnBA 22 :),( 2 1 ,, 試證明且階方陣均為設(shè) 從而對(duì)于任意的正整數(shù) n，要證的等式成立。 六、方陣的行列式 定義 由 n階方陣 A的元素所構(gòu)成的行列式， 叫做方陣 A的行列式，記作 |A|或 det(A) 。 86 32A例 86 32A則 .2 運(yùn)算性質(zhì) ;1 AA T ;2 AA n ;3 BAAB .BAAB .||||2||, 16 2 TAAAAA ，求且為三階方陣設(shè)例 . .11 12,32 01 15 ABBA 求設(shè)例 :解法一 :解法二 , 51 12 11 12 32 0

31、1 AB因?yàn)?.951 12 AB所以 11 12 32 01 BAAB .9)3)(3( 4 分塊矩陣 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，我們用若干條縱 線和橫線將其分成許多個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為 原來(lái)矩陣的子陣或子塊，以這些子塊為元素所構(gòu)成 的矩陣稱為 分塊矩陣 。 在許多工程問題的矩陣計(jì)算中，由于矩陣的階 數(shù)一般很高，因此，為了使矩陣的結(jié)構(gòu)更清楚，同 時(shí)也為了利用矩陣所具有的某些特點(diǎn)，常常采用分 塊法，將階數(shù)較高的矩陣的運(yùn)算化成一些階數(shù)較低 的小矩陣的運(yùn)算。 一、分塊矩陣的概念 34 24 14

32、 33 23 13 32 22 12 31 21 11 a a a a a a a a a a a a A 例如： 矩陣的分塊可以是任意的，具體分塊方法的選取， 主要取決于問題的需要和矩陣自身的特點(diǎn)。 34 24 14 33 23 13 32 22 12 31 21 11 a a a a a a a a a 34 24 14 33 23 13 32 22 12 31 21 11 a a a a a a a a a a a a 34 24 14 33 23 13 32 22 12 31 21 11 a a a a a a a a

33、 a a a a 2221 1211 | | AA AA 3 2 1 4321 1000 0100 1010 3001 A 1000 0100 1010 3001 2 22 IO AI 1000 0100 1010 3001 1 33 IO AI 321 又如 srss r r srss r r BBB BBB BBB B AAA AAA AAA A 21 222

34、21 11211 21 22221 11211 , 二、分塊矩陣的運(yùn)算 srsrssss rr rr BABABA BABABA BABABA BA 2211 2222222121 1112121111 1. 設(shè)矩陣 A與矩陣 B的行數(shù)和列數(shù)，且采用相同的分 塊法，則 分塊矩陣有著與普通矩陣相類似的運(yùn)算方法和性質(zhì)。 為常數(shù)，，設(shè) 21 22221 11211 srss r r AAA AAA AAA A srss r r AAA AAA AAA A

35、 21 22221 11211 那末 2. 數(shù)與矩陣相乘 rtr t srs r BB BB B AA AA A nlBlm A 1 111 1 111 , .3 矩陣，分塊成為矩陣，為設(shè) rjirjiij tsij BABAC CABC 11 ,)( 其中 則的行數(shù) 的列數(shù)分別等于子塊即子塊 行的分法相同列的分法與矩陣其中矩陣 .,,, ,,, , 21 21 rjjj irii BBB AAA BA 。利用分塊矩陣計(jì)算 設(shè)例 ABBAkA BA ,, 1020 0136 0002 0021 , 10

36、00 0100 4210 3101 1 1000 0100 4210 3101 :, A BA,BA, 分塊為將的特點(diǎn)根據(jù)矩陣解： I CI 0 IF OD B 1020 0136 0002 0021 kA則： BA AB IO CI k ， kIO kCkI IF OD IO CI OF CI IF OD IO CI IF CCFD 得代

37、入上面三式然后在分別計(jì)算 ,,,,, CFDDIkCkI , 000 000 420 30 k k kkk kkk kA , 0020 0036 4212 3122 BA 1020 0136 42214 3117 AB )|( 21 1 212 111 21 22221 11211 AA aa aa aa aaa aaa aaa A mnrm nr nr mrmm r r 2211 2 1 21 )|( XAXAX XAAAX

38、 分塊為如果將矩陣?yán)?XA ,:2 分塊矩陣設(shè) A.4 即分塊矩陣轉(zhuǎn)置時(shí)，既要把整個(gè)分塊矩陣轉(zhuǎn)置， 又要把其中每一個(gè)子塊轉(zhuǎn)置。 的轉(zhuǎn)置矩陣則 A , 21 22221 11211 srss r r AAA AAA AAA A T sr T r T r T s TT T s TT T AAA AAA AAA A 21 22212 12111 方陣，即矩陣，且非零子塊都是 ，其余子塊都為零主對(duì)角線上有非零子塊 的分塊矩陣只有在階矩陣，若為設(shè) AnA .5 . ,,2,1 對(duì)角陣 為分塊則稱都是方陣其中 As

39、iA i s A A A A 2 1 例如： 450000 2580000 0023000 0001371 000544 0001012 A |;||||||| 1)( 21 sAAAA 分塊矩陣有下列性質(zhì)： ,,,2,1, 2)( 2 1 2 1 riBA B B B , B A A A A ii rr 是同階的子方陣其中 . 22 11

40、 rr BA BA BA AB 則 ., 2200 0200 0034 0043 2 48 AAA 及求設(shè)例 22 02 , 34 43 21 AA令 2 1 AO OA A則 8 2 8 1 8 2 18 AO OA AO OA A故 解 8 2 8 1 8 AAA 4 2 4 14 AO OA A 168 2 8 1 10 AA 46 4 4 4 2200 0200 0050 0005 5 可逆矩陣 一、逆陣的定義

41、 我們知道在數(shù)學(xué)上有很多運(yùn)算是成對(duì)出現(xiàn)的 那么，我們前面討論的矩陣的乘法是否存在除法呢？ 更一般地，在初等數(shù)學(xué)中解方程 ax=b，當(dāng) a0時(shí)， x=a-1b。 那么矩陣方程 AX=b，是否也有 X=A-1b呢？ .21 10,01 12: BA如 21 10 , 01 12 BA 其逆矩陣為可逆 逆矩陣。 的一個(gè)稱為是可逆的，并把方陣則稱方陣 使得 階方陣如果存在一個(gè)階方陣對(duì)于定義 ABA IBAAB BnAn * ,, 1 如果不存在滿足 (*)式的方陣 ,則稱方陣 A是不可 逆的

42、。 BAIAB 10 01則 逆矩陣是唯一的。 的是可逆的，那末如果矩陣定理 AA1 , , IACCAIABBA ACB 的逆矩陣，則有都是和設(shè)矩陣證 即逆矩陣是唯一的。 證畢 。 從而 CICCBAACBBIB )()( 方陣的 A逆陣記為 A 1。 由逆陣的定義知：?jiǎn)挝魂?I是可逆的，且 I的逆陣就 是 I本身。更一般地，對(duì)角矩陣 時(shí)當(dāng) 0,,0,0 ,,,, 2121 nn aaaaaad i a g 其逆矩陣是 ).,,( 11 211 naaadi ag 二、方陣可逆的充分必要條件

43、定義 2 設(shè) A是 n階方陣， Aij 是行列式 |A|中元素 aij 的代數(shù)余子式，則矩陣 nnnn n n AAA AAA AAA 21 22212 12111 的排列順序元素 中這里特別要注意 記作 的伴隨矩陣稱為矩陣 ij A A A A * * . , nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 的伴隨矩陣。求方陣?yán)? 343 122 321 1 A 2,2,2,5,6,3 332313322212 AAAAAA 4,6,2 34 12 )1

44、( 3121 11 11 AAA aA ij 的代數(shù)余子式分別為中各元素矩陣解： 222 563 462 *A所以它的伴隨矩陣 || , ** * IAAAAA AAnA 則有： 的伴隨矩陣。是階矩陣是設(shè)引理 ),(),( * ijij bAAaA 記證明：設(shè) 代數(shù)余子式的性質(zhì)知?jiǎng)t由矩陣乘法的定義和 j i j iA AAab ijjk n k ikij 0|| 1 IAAA || * 類似地有 ,||)(|| * IAAAA ij 的伴隨矩陣。為矩陣，其中 ，且可逆的充要條件是階矩陣定理

45、AA A A A AAn * * 1 || 0|| 2 ,,, 111 IAAAAAA 且則存在可逆若必要性證 可得從若充分性 IAAAAAA ||,0 ** ,1 1 IAA兩邊取行列式得 .0 A因而 ,11 ** IAA A A A A .1 ,, *1 A A AA 且可逆由矩陣可逆的定義知 若 n階矩陣 A的行列式不為零，即 |A|0，則稱 A為 非奇異 (非退化 )矩陣 ，否則稱為 奇異 (退化 )矩陣 。 此外，定理不僅給出了矩陣可逆的條件，而且也 告訴我們，對(duì)階數(shù)不大的矩陣，可以通過伴隨矩

46、陣 求它的逆陣。 . 111 2/532/3 231 222 563 462 2 1 1 A 如例 1 中， 222 563 462 * A 343 122 321 A 因?yàn)?|A|=20，所以 A可逆，且 推論 設(shè) A， B是 n階方陣，且 AB=I，那么， BA=I， 即 A， B都可逆，且 B -1=A， A-1=B。 證： 由條件 A， B都是 n階方陣，且 AB=I，得 |A||B|=| I |=10； 所以 |A|0，從而由定理 2可知 A

47、， B都可逆。 再由條件 AB=I可得， BA=(A-1A)BA=A-1(AB)A=A-1IA=I。 由定義 1知：且 B-1=A， A-1=B。 :2例 )0,,,.( ,:, 1 2 ccbaA AOcIbAaAA 且為常數(shù)且求 為可逆矩陣證明滿足設(shè)方陣 cIbAaAOcIbAaA 22 :,: 得由解 IAIcbAcaIAcbAcac )(,)(0 2 即 IcbAcaAIBAIcbAcaB 1, 則使存在 ;)( 1 11 AA ）（ IAAABBAABAB 11111 )())(( )3(證 三、可逆陣的性質(zhì) 設(shè) A， B為同階可逆矩陣，

48、 是非零常數(shù)，則 IIAAAA TTTT )()( )4( 11證 ;1)( )2( 11 AA ;)( )3( 111 ABAB ;)()( )4( 11 TT AA . )5( 11 AA .)( 111 ABAB由推論可得： .)()( 11 TT AA 例 3 設(shè) A， B為三階方陣， I是三階單位陣，且滿足 ： AB+I=A2+B，又知 . , 301 020 101 BA 求矩陣 ))(()( , 2 IAIABIAIABAB 即 為將已知的矩陣方程變形解 ,01 201 010 100 IA

49、因?yàn)? 即得 式兩邊同乘以在可逆矩陣所以 1)(** ., IAIA . 401 030 102 IAB (**) 例 4 設(shè)方陣 A與 B滿足 A B=AB，證明 A+I可逆 , 且求出它的逆陣 . 解 由條件 A B=AB可得， A+I B AB=I， (A+I) (A+I)B=I，于是 (A+I)(I B)=I。 所以， A+I 可逆，且其逆陣 (A+I) 1 =I B。 。是滿足求矩陣 設(shè)例 CA X BX CBA , 1 0 3 3 2 1 , 3

50、5 12 , 343 122 321 5 11 11111 111 , , CBAX CBAA X B BAB ABA 即右乘上式， 左乘上式，存在，則用解：若 222 563 462 2 1 1 A 知的逆陣由例而 可逆，且 1 25 13 ,01 35 12 || 1 A BBB 111 2 5 3 2 3 231 11 CBAX 注：矩陣的左乘和右乘一定要注意！ 25 13 1 0 3 3 2 1 11

51、1 2 5 3 2 3 231 25 13 2 2 1 0 0 1 4 4 2 10 10 2 . .,2 6 1* * n AA AAnnA 證明 的伴隨矩陣是階矩陣為設(shè)例 )( || * ** n AIAAA IAAAAA 得由于證 :下面分三種情況 . ,,,0)1( 1* n AA AAA 即得 上式兩端同除以可逆即當(dāng) .0,0,0)3( * AAA 則必有但當(dāng) ;,0,0,0)2( * 結(jié)論顯然成立則且當(dāng) AAA ,,0, **

52、可逆即假設(shè)用反證法 AA 因而 1*1** ))(())(( AIAAAAA ,0)( 1* AA .0.0 1* nAAA 所以也有矛盾這與 :7例 CBACABA ,,: 可逆時(shí)當(dāng)證明 ACAABAA 111 :, 即等式兩邊同時(shí)左乘證明： CBICIB :小結(jié) CACB BCBAACAB BA 或 或即矩陣乘法滿足消去律 有可逆時(shí)或當(dāng) :,)1( :,.1 OAOBOBA OBOAOAB , ,)3( 或 OABOBOA ,)2( 伴隨矩陣的有關(guān)性質(zhì).2 )()1( 是否可逆無(wú)論 階方陣是設(shè) AIAAAAA nAB 1*1 ,1,0)2( AAAA AA

53、A 則有時(shí)當(dāng) 1**)3( nAAIAAA AAA 1))(4( 1* AAAAA n 21**** )())(5( ***1**1** ))(8()())(7()())(6( ABABAAAA kk :8例 ., 3000 6300 3630 9361 1* AA 則求已知 .,1: *1 AAAA 則先求要求解 31* AAA n 因?yàn)?3,27* AA 所以且 3000 6300 3630 9361 3 11 *1 A A A所以 1000 2100 1610

54、 31231 可逆，則都是可逆矩陣 的每一個(gè)子塊若是分塊對(duì)角陣設(shè) AriA AA i ,,,2,1 , 3. . . 120 130 005 9 1 AA 求設(shè)例 . 1 1 2 1 1 1 s A A A A 且 120 130 005 A記解 , 12 13 ,5 21 AA其中 . 32 11 , 5 1 1 2 1 1 AA則 . 320 110 00 5 1 1

55、 A從而 2 1 AO OA . , ,,, 10 2221 11 2211 并求出它的逆陣可逆試證明分塊陣 階可逆陣階分別是設(shè)例 AA OA A srAA 相同的分塊法按將階方陣設(shè)有解 AXXsr , IAXsrXX XX XX X 令階方陣分別為其中 設(shè)分塊 ,,, , 2211 2221 1211 s r s r IO OI XAXAXAXA XAXA IO OI XX XX AA OA 2222122121221121 12111111 2221 1211

56、 2221 11 即 可得 得下面四個(gè)矩陣方程 OXAX A 12 1 1111 1 11 , ,)2()1( 可得兩邊同時(shí)左乘與方程 1 22 1 1121 1 22 -1 11 AAAA OAX從而有 ， 使 AX=I 所以， A可逆，且 A-1 =X。 ( 4 ) ( 3 ) )2( )1( 22221221 21221121 1211 1111 s r IXAXA OXAXA OXA IXA . , ),4(),3( 1 2222 1 1121

57、 1 2221 AXAAAX 解得分別代入方程 例 11 利用例 10結(jié)論求方陣 的逆陣 10101 11121 0000 3 1 00020 00100 A . 10 11 , 101 121 , 00 3 1 020 100 222111 2221 11 AAA AA OA A 其中 記 解 計(jì)算得： , 301 610 , 10 11 , 001 0 2 1 0 300 1 1121 1 22 -1 22 1 11

58、 AAA AA 于是 . 10301 11610 00001 000 2 1 0 00300 0 1 22 1 1121 1 22 1 111 AAAA A A 例題選講 例 1 若方陣 A滿足 A2 3A 10I=0，證明 A、 A-4I均 可逆，并求其逆。 例 2 已知 23 12 , 10 11 BA 。計(jì)算 .)( 1 0 01 ABB 例 3 已知 3階矩陣 A的逆矩陣： 試求其伴隨矩陣 A*的逆矩陣。 311 121 111 1A