《勾股定理的逆定理》課件

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1、第十七章勾股定理17.2 勾股定理的逆定理（第1課時(shí)）,八年級(jí) 下冊(cè),課件說(shuō)明,,,課題內(nèi)容 勾股定理的逆定理證明及簡(jiǎn)單應(yīng)用；原命題、逆命題的概念及相互關(guān)系.,學(xué)習(xí)目標(biāo),理解勾股定理的逆定理. 了解互逆命題、互逆定理.,創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題,問(wèn)題1： 你能說(shuō)出勾股定理嗎？并指出定理的題設(shè)和結(jié)論.,追問(wèn)1： 你能把勾股定理的題設(shè)與結(jié)論交換得到一個(gè)新的命題嗎？,追問(wèn)2： “如果三角形三邊長(zhǎng)a、b、c滿足， 那么這個(gè)三角形是直角三角形.”能否把它作為判定直角三角形的依據(jù)呢？本節(jié)課我們一起來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.,古埃及人曾用下面的方法得到直角,實(shí)驗(yàn)觀察,,,,,,問(wèn)題2：按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形

2、嗎？,用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段,然后以3個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)，5個(gè)結(jié)的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角。,實(shí)驗(yàn)觀察,,3,4,5,追問(wèn)：這個(gè)三角形的三條邊有什么關(guān)系嗎?,實(shí)驗(yàn)觀察,（1）下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長(zhǎng)（單位：cm）畫(huà)三角形：,2.5，6，6.5；4，7.5，8.5.,動(dòng)手畫(huà)一畫(huà),（2）量一量：用量角器分別測(cè)量上述各三角形的 最大角的度數(shù). （3）想一想：判斷這些三角形的形狀，提出猜想.,實(shí)驗(yàn)操作 提出猜想,問(wèn)題2 由上面幾個(gè)例子你發(fā)現(xiàn)了什么嗎?請(qǐng)以命題的形式說(shuō)出你的觀點(diǎn)!,實(shí)驗(yàn)操作 提出猜想,歸納概念,兩個(gè)命題

3、的題設(shè)和結(jié)論正好相反，象這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果其中一個(gè)叫原命題，那么另一個(gè)就叫做它的逆命題.,問(wèn)題3：把勾股定理記著命題1，上面的結(jié)論作為命題2.命題1和命題2的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？,問(wèn)題4：命題1和命題2的題設(shè)和結(jié)論有著什么的關(guān)系？,勾股定理,,互逆命題,歸納概念,問(wèn)題5 :請(qǐng)同學(xué)們舉出一些互逆命題，并思考：是否原命題正確，它的逆命題也正確呢？舉例說(shuō)明,追問(wèn)1： 在我們大家舉出的互逆命題中原命題和逆命題都成嗎？,問(wèn)題6 : 原命題正確，它的逆命題不一定正確.那么勾股定理的逆命題正確嗎？如果你認(rèn)為是真確的，你能證明這個(gè)命題“如果三角形的三邊長(zhǎng)、b、c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形

4、”嗎？,勾股定理逆定理的證明,已知:在ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2,求證: ABC是直角三角形.,,B,C,A,證明:畫(huà)一個(gè)ABC,使 C=90,BC=a, CA=b, AB =c, 邊長(zhǎng)取正值, AB 2=c2, a2+b2=c2, C/=900, AB2= a2+b2,勾股定理逆定理的證明,在 ABC和 ABC中, ABC ABC（SSS）, C= C/=90,則 ABC是直角三角形（直角三角形的定義）,定理與逆定理,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如: (1)勾股定理及其逆定理；(2)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等; (3) 內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行. (4)角的平分

5、線的性質(zhì)與判定； (5)線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定.,如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱另一個(gè)定理的逆定理.,(1) a15 , b 8 , c17,(2) a13 , b 14 , c15,分析：根據(jù)勾股定理的逆定理，一個(gè)三角形中兩條較小邊長(zhǎng)的平方和等于最大邊長(zhǎng)的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形,例1 判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：,定理應(yīng)用,解（1）1528222564289 172289 15282172 這個(gè)三角形是直角三角形 （2）132+142=169+196=365 152=

6、225 因?yàn)?32+142152， 根據(jù)勾股定理，這個(gè)三角形不是三角形.,定理應(yīng)用,勾股數(shù) 能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù),定理應(yīng)用,所以這個(gè)三角形是直角三角形.,練習(xí)：同學(xué)們還知道哪些勾股數(shù)？請(qǐng)完成以下未完成的勾股數(shù). （1）3, 4， ， （2）6, 8， ， （3）7, 24, ， （4）5, 12， ， （5）9, 12， .,基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題： (1)直角三角形一條直角邊與斜邊分別為8cm和10cm.則斜邊上的高等于 cm. (2)已知兩條線段的長(zhǎng)為3cm和4cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為 cm時(shí),這三條線段能組成一個(gè)直角三角形

7、. (3)ABC中,AB=AC,BAC=120,AB=12cm,則BC邊上的高AD= cm；AB邊上的高CE= cm,（4）下列命題中是假命題的是( ) (A)ABC中,若B=CA,則ABC是直角三角形. (B)ABC中,若a2=(b+c)(bc),則ABC是直角三角形. (C)ABC中,若ABC=345則ABC是直角三角形. (D)ABC中,若abc=543則ABC是直角三角形.,1、請(qǐng)完成以下未完成的勾股數(shù)： （1）8、15、； （2）10、26、。 2、三角形三邊長(zhǎng)分別為 、 、 則這個(gè)三角形是。,3、如圖，ABC中，CD是AB邊上的高， 且 ,求證：ABC是

8、 直角三角形。,,,,,A,B,C,D,4、在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)， E為BC上的一點(diǎn)，且 , 求證：EFA=90.,,,,,,,,A,B,C,D,F,E,5、如圖，在等邊ABC中，D為三角形內(nèi)一 點(diǎn)，且BD=3，DA=4，DC=5.將BDA沿順時(shí) 針旋轉(zhuǎn)60使點(diǎn)D到D,求BDC的度數(shù)。,,,,,,,,,A,B,C,D,D,8：如圖，設(shè)A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向6OOkm的B處，以每小時(shí)2OOkm的速度向北偏東6O的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心5OOkm的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域. (1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響?為什么? (2)若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受

9、這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間?,課堂練習(xí),1 判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：,(1) a6.5 , b 7.5 , c4,(2) a11 , b 60 , c61,,2、 已知a，b，c為ABC的三邊,且 滿足 試判斷ABC的形狀.,課堂小結(jié),（1）勾股定理的逆定理的內(nèi)容是什么？ （2）原命題、逆命題之間的關(guān)系. （3）用什么方法證明勾股定理的逆定理?,目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì),1.以長(zhǎng)度分別為下列各組數(shù)的線段為邊，能構(gòu)成直角三角形的有哪些？,(1) 1 , 2 , 3,(2) 6 , 8 , 14,(3) 2, 1.5 , 2.5,2.說(shuō)出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題是真命題

10、嗎？,（1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 （2）對(duì)頂角相等 （3）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì),,3.已知：如圖，四邊形ABCD中，B900，AB3，BC4，CD12，AD13,求四邊形ABCD的面積?,,,,目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì),第十七章勾股定理17.2 勾股定理的逆定理（第2課時(shí)）,八年級(jí) 下冊(cè),課件說(shuō)明,,,1.內(nèi)容 應(yīng)用勾股定理及勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.,2.學(xué)習(xí)目標(biāo) （1）靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題. （2）進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí).,3.教學(xué)重難點(diǎn) 靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.,復(fù)習(xí)反思，引出課題,問(wèn)題1： 通過(guò)前面的學(xué)習(xí)

11、，我們對(duì)勾股定理及其逆定理的知識(shí)有一定的了解，請(qǐng)說(shuō)出勾股定理及其逆定理的內(nèi)容.,追問(wèn)1：你能用勾股定理及逆定理解決哪些問(wèn)題？,問(wèn)題2： “遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里。它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里。如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？,點(diǎn)擊范例，以練促思,追問(wèn)1：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真審題，弄清已知是什么？解決的問(wèn)題是么？,追問(wèn)2：你能根據(jù)題意畫(huà)出圖形嗎？,分析：如何確定航向：由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號(hào)的航向了.,解：根據(jù)題意

12、，,由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知.因此,即“海天”號(hào)沿西北方向航行.,點(diǎn)擊范例，以練促思,練習(xí)1. 課本33頁(yè)練習(xí)第3題。,練習(xí)2. 在港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時(shí)8海里速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)15海里速度前進(jìn)，1小時(shí)后甲船到達(dá)島，乙船到達(dá)島，且島與島相距17海里，你能知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？,初步應(yīng)用、鞏固知識(shí),問(wèn)題3 實(shí)驗(yàn)中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量 若每平方米草皮需要200元，問(wèn)學(xué)校需要投入多少資金購(gòu)買(mǎi)草皮？,綜合應(yīng)用、深化提高,反思小結(jié)，觀點(diǎn)提煉,（1）知識(shí)總結(jié)：勾股定理以及逆定理的實(shí)際應(yīng)用； （2）方法歸

13、納：數(shù)學(xué)建模的思想.,例2.如圖,點(diǎn)A是一個(gè)半徑為 400 m的圓形森林公園的中心,在森林公園附近有 B .C 兩個(gè)村莊,現(xiàn)要在 B.C 兩村莊之間修一條長(zhǎng)為 1000 m 的筆直公路將兩村連通,經(jīng)測(cè)得 AB=600m,AC=800m,問(wèn)此公路是否會(huì)穿過(guò)該森林公園?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.,,400,1000,,D,應(yīng)用拓展：,如圖：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中 點(diǎn)，且CE= BC，則AFEF，試說(shuō)明理由,,解：連接AE ABCD是正方形，邊長(zhǎng)是4，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，EC=1/4BC,根據(jù)勾股定理，在 RtADF，AF2=AD2+DF2=20 RtEFC，EF2=EC2+FC2=5 RtA

14、BE，AE2=AB2+BE2=25,AD=4，DF=2，F(xiàn)C=2，EC=1,AE2=EF2+AF2 AEF=90即AF EF,A,3以下各組數(shù)為三邊的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A B7，24，25 C4，7.5，8.5 D3.5，4.5，5.5,1請(qǐng)完成以下未完成的勾股數(shù)： （1）8、15、_______；（2）10、26、_____ 2ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5， 則最大邊上的高是_______,17,6.在RtABC中,C=90,CD 是高,AB=1,則 2 CD2 + AD2 +BD2 =;,7.三角形的三邊長(zhǎng) a, b, c 滿足

15、a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c, 此三角形為三角形.,9一艘輪船以20千米/時(shí)的速度離開(kāi)港口向東北方向航行，另一艘輪船同時(shí)離開(kāi)港口以15千米/時(shí)的速度向東南方向航行，它們離開(kāi)港口2小時(shí)后相距多少千米？,,10已知：如圖，ABD=C=90，AD=12，AC=BC，DAB=30，求BC的長(zhǎng),,,,,,11、如圖，已知：CDAB于D， 求證：ACB為直角三角形,證明： CDAB AC2=AD2+CD2 BC2=CD2+BD2 AC2=ADAB AD2+CD2=ADAB CD2=ADABAD2 =AD(ABAD) =ADBD BC2=CD2+BD2

16、 =ADBD+BD2 =BD(AD+BD) =BDAB AC2+BC2=ADAB+BDAB =AB(AD+BD) =AB2 ACB為直角三角形.,求：S四邊形ABCD,ACAB(已知), AC2+AB2=BC2(勾股定理), AB=3cm,BC=5cm,又CD=2 cm AD=2cm(已知), AC2=16 , CD2+AD2=12+4=16, AC2=CD2+AD2, ADC=900(勾股定理的逆定理), S四邊形ABCD=S ABC+ S ACD,,解（1）,邊長(zhǎng)為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的X軸和Y軸上，若 沿對(duì)角線AC折疊后

17、，點(diǎn)B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交X軸于點(diǎn)D，求（1）三角形ADC的面積，（2）點(diǎn)B1的坐標(biāo)，（3）AB1所在的直線解析式。,,,,,,,,O,C,B,A,B1,D,1,2,3,,E,1、如圖，在四邊形ABCD中，BAD=90，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面積,,,2、已知，如圖，RtABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)， 求證：BD2+CD2=2AD2,提升“學(xué)力”,目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì),1小明在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)上負(fù)責(zé)聯(lián)絡(luò)，他先從檢錄處走了75米到達(dá)起點(diǎn)，又從起點(diǎn)向東走了100米到達(dá)終點(diǎn)，最后從終點(diǎn)走了125米，回到檢錄處，則他開(kāi)始走的方向是（假設(shè)小明走的每段都是

18、直線） （ ） A.南北 B.東西 C.東北 D.西北,2甲、乙兩船同時(shí)從港出發(fā)，甲船沿北偏東的方向，以每小時(shí)9海里的速度向島駛?cè)ィ掖亓硪粋€(gè)方向，以每小時(shí)12海里的速度向島駛?cè)ィ?小時(shí)后兩船同時(shí)到達(dá)了目的地.如果兩船航行的速度不變，且兩島相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏東多少度？,目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì),,3如圖是一塊四邊形的菜地，已知 求這塊菜地的面積.,,目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì),例1 “蕩秋千”,平地秋千未起， 踏板一尺離地， 送行二尺與人齊， 五尺人高曾記。 仕女佳人爭(zhēng)蹴， 終朝笑語(yǔ)歡嬉 良士高士素好奇， 算出索長(zhǎng)有幾？,明朝程大位著作直指算法統(tǒng)宗,例2: “印度荷花問(wèn)題”,湖靜浪平六月天 荷花半尺出水面 忽來(lái)一陣狂風(fēng)急 湖面之上不復(fù)見(jiàn) 入秋漁翁始發(fā)現(xiàn) 殘花離根二尺遙 試問(wèn)水深有幾許？,印度數(shù)學(xué)家拜斯迦羅（公元11141185年）,例 3 “執(zhí)竿進(jìn)屋”,笨人持竿要進(jìn)屋，無(wú)奈門(mén)框攔住竹。 橫多四尺豎多二，沒(méi)法急得放聲哭。 有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角。 笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。 借問(wèn)竿長(zhǎng)多少數(shù)，誰(shuí)人算出我佩服。 ,當(dāng)代數(shù)學(xué)教育家、清華大學(xué)教授許莼舫 著作古算題味,chun,fang,