第四單元《比例》教材解析 人教版數(shù)學(xué)六年級下冊

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1、人教版數(shù)學(xué) 一、教材介紹 六年級下冊 《比例》教材解析 本單元比例的知識屬于“數(shù)與代數(shù)”的領(lǐng)域 ,在知識的 鏈接上起著重要作用。比例是小學(xué)數(shù)學(xué)研究“數(shù)與代數(shù)”的 最后一個知識點 , 是前面學(xué)習(xí)的一個綜合應(yīng)用 ,是數(shù)與計算 的發(fā)展。同時 ,比例又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué) 的基礎(chǔ)知識。如中學(xué)將學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角 函數(shù)等,這些知識的基礎(chǔ)就是比和比例。另外,許多物理公式 是用比和比例的形式出現(xiàn)的 , 并用比值法定義物理量。中學(xué) 物理教材中,用比值法定義的物理量很多 ,如密度、加速度、 電場強度等。由此 ,可以看出比例知識的重要性。本單元教 學(xué)內(nèi)容主要包括

2、比例的意義和性質(zhì) , 正比例和反比例 , 以及 比例的應(yīng)用三部分內(nèi)容。本單元的核心思想就是函數(shù)思想。 本單元是六年級下冊的重點單元。是在學(xué)習(xí)了有關(guān)比的 知識并掌握了一些常見數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)比例的有關(guān)知 識以及應(yīng)用。比例的知識是除法、分?jǐn)?shù)、比、方程等知識的 綜合與提升，并為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。例如。 通過對正、反比例知識的學(xué)習(xí)，在靈活運用解決問題的同時， 還可以加深學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，滲透函數(shù)思想，進(jìn)行辯 證唯物主義觀點的啟蒙教育。本單元的內(nèi)容主要包括比例的 意義和基本性質(zhì)、正比例和反比例、比例的應(yīng)用三個部分。 二、課標(biāo)解讀 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》

3、在“學(xué)段目標(biāo)” 的“第二學(xué)段”中提出：“會獨立思考，體會一些數(shù)學(xué)的基 本思想”“嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學(xué)問題， 并運用一些知識加以解決”“能探索分析和解決簡單問題的 有效方法，了解解決問題方法的多樣性”“能回顧解決問題 人教版數(shù)學(xué) 六年級下冊 的過程，初步判斷結(jié)果的合理性”“在運用數(shù)學(xué)知識和方法 解決問題的過程中，認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值”。 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在“課程內(nèi)容” 的“第二學(xué)段”中提出：“在實際情境中理解比及按比例分 配的含義，并能解決簡單的問題”“通過具體情境，認(rèn)識成 正比例的量和成反比例的量”“會根據(jù)給出的有正比例關(guān)系 的

4、數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，并會根據(jù)其中一個量的值估計另一 個量的值”“能找出生活中成正比例和成反比例關(guān)系量的實 例，并進(jìn)行交流”。 （一）借助生活實際，重視概念的理解與應(yīng)用 正比例和反比例是一類常見的數(shù)量關(guān)系，這部分內(nèi)容的學(xué) 習(xí)是函數(shù)思想在小學(xué)的體現(xiàn)。在現(xiàn)實中，有許多數(shù)量關(guān)系可 以表示為成正比例的量和成反比例的量，其本質(zhì)是兩個量按 一定的比例關(guān)系發(fā)生變化（即正比例關(guān)系和反比例關(guān)系）。 從本質(zhì)上說，正比例和反比例的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，但小學(xué)階 段并不出現(xiàn)函數(shù)的概念，而是讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中具體感知 兩個量之間的關(guān)系。這樣，一是使學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識和 理解更豐富；而是為第三學(xué)段進(jìn)一步學(xué)習(xí)正比例函

5、數(shù)和反比 例函數(shù)，以及學(xué)習(xí)一般的函數(shù)知識做準(zhǔn)備。由此，教學(xué)中應(yīng) 與實際情境緊密聯(lián)系，用具體的學(xué)生可以理解的方式呈現(xiàn)這 個內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量之間關(guān)系，兩個量之間變化的規(guī)律 的角度來理解和掌握這個內(nèi)容。在教學(xué)中，要多給學(xué)生提供 有效的材料，讓學(xué)生判斷、思考并表達(dá)思維過程，促進(jìn)理解。 （二）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識、方法的獲得過程，積累基本的 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，獲得基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高能力 教學(xué)的目標(biāo)不僅要讓學(xué)生獲得必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和 基本技能，還應(yīng)該讓學(xué)生獲得必須的數(shù)學(xué)的基本思想和基本 人教版數(shù)學(xué) 六年級下冊 活動經(jīng)驗。而數(shù)學(xué)的基本思想和基本活動經(jīng)驗的獲得，必須

6、依賴于過程的經(jīng)歷。因此，在教學(xué)中，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生參與， 經(jīng)歷知識形成的過程，體會方法獲得的過程。例如，教學(xué)比 例的意義時，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—觀察提問—計算 比值—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—得到比例—類比拓展”這樣一個完整的過 程。在“問題情境—觀察提問”階段，要讓學(xué)生仔細(xì)觀察形 狀相同、大小不同的物體或圖形，從而引出問題：它們的對 應(yīng)邊之間有什么關(guān)系？在這個問題的引領(lǐng)下逐步研究。當(dāng)?shù)?到比例以后，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是像這樣的“形 狀相同、大小不同”的圖形之間可以找到很多比例？然后出 示更豐富的材料：形狀相同、大小不同的三角形、平行四邊 形，大小不同的圓等，讓學(xué)生根據(jù)這些圖形上面的的數(shù)據(jù)寫 出

7、比例并匯報交流。這樣通過豐富的材料和活動，讓學(xué)生充 分經(jīng)歷知識的形成過程。顯然，學(xué)生通過不斷的抽象、推理、 模型化，數(shù)學(xué)思想越來越豐富，研究數(shù)學(xué)、建構(gòu)知識等數(shù)學(xué) 基本活動經(jīng)驗也得到了有效的積累。 （三）注重知識的溝通與梳理，重視問題解決策略的多樣 性和方法的多樣性 比例是小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)的最后一單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，這個內(nèi) 容的特點是應(yīng)用性強、綜合性強、內(nèi)容情境不新但采用新的 思維方式和數(shù)學(xué)模型，需要學(xué)生在較高水平層面上學(xué)習(xí)。教 學(xué)時，需要對知識之間的關(guān)系進(jìn)行梳理、比較，找出它們的 聯(lián)系和區(qū)別。例如，用正、反比例解決問題時，所解決的問 題是以前用算術(shù)方法解決過得“歸一”“歸總”問題，用新

8、的方法解決舊的問題，對學(xué)生而言，也是一種挑戰(zhàn)。教學(xué)時， 要通過問題解決方法的回憶與比較，使學(xué)生明白：用以前的 方法解決時，必須先求出“單一量”是多少才能求出結(jié)果， 人教版數(shù)學(xué) 六年級下冊 而現(xiàn)在只要判斷相關(guān)聯(lián)的兩個量成什么比例關(guān)系，列出比例 式，再解比例即可，無需求出具體的比值；以前重點思考“單 一量”是多少，現(xiàn)在重點思考問題中的兩種量成什么比例關(guān) 系。通過這樣的溝通與比較，可以是學(xué)生更清楚地了解知識、 方法之間的聯(lián)系與差別，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和方 法系統(tǒng)。 三、教學(xué)目標(biāo)及重難點 1. 理解比例的意義和基本性質(zhì) ,會解比例。 2. 理解正比例和

9、反比例的意義 , 能找出生活中成正比 例和成反比例的實例 , 能運用比例知識解決簡單的實際問 題。 3. 認(rèn)識正比例關(guān)系的圖象 , 能根據(jù)給出的正比例關(guān)系 數(shù)據(jù) ,在有坐標(biāo)系的方格紙上畫出圖象 , 會根據(jù)其中一個量 在圖象中找出或估計出另一個量的值。 4. 了解比例尺 ,會求平面圖的比例尺 , 會根據(jù)比例尺求 圖上距離或?qū)嶋H距離。 5. 認(rèn)識放大與縮小現(xiàn)象 , 能按一定的比將簡單圖形放 大或縮小,體會圖形的相似。 6. 滲透函數(shù)思想 , 使學(xué)生受到辯證唯物主義觀點的啟 蒙教育。 單元的教學(xué)重、難點是理解掌握比例、比例的基本性質(zhì)、 比例尺、正比例和反比例等概念和性質(zhì)

10、，特別是對正、反比 例概念的理解與把握；教學(xué)的難點是能運用有關(guān)概念進(jìn)行計 算及解決問題。 四、具體內(nèi)容 （一）比例的意義和基本性質(zhì) 人教版數(shù)學(xué) 六年級下冊 比例的意義，教材提供了天安門廣場、學(xué)校操場的國旗以 及教室里的國旗等一組有關(guān)國旗話題的真實情境，并分別標(biāo) 注出每個情境中的國旗的長和寬。這些情境為學(xué)生所熟悉， 自然促使學(xué)生運用經(jīng)驗和直觀表象聯(lián)想到這三種國旗雖然 大小不同，但它們的形狀卻相同，隱含圖形的相似特點。接 著，在問題“上圖中操場上和教室里的兩面國旗長和寬的比 值有什么關(guān)系？”的引導(dǎo)下，學(xué)生展開計算活動，求出每一 面國旗長與寬的比值。“你能發(fā)現(xiàn)什么

11、？”進(jìn)一步促使學(xué)生 對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，得出比值相等的結(jié)論。在此基礎(chǔ) 上揭示比例的概念。之后，依據(jù)小精靈提出的“在上圖的三 面國旗的尺寸中，還有哪些比可以組成比例？”讓學(xué)生利用 比例的概念解決問題，以進(jìn)一步比例知識的研究過程與研究 方法：計算并觀察相應(yīng)量的比值是否相等。 例 1： 比例的基本性質(zhì)。與實驗教材相比，對本部分知 識的編寫，修訂版教材的編寫分為比例各部分名稱、比例形 式的介紹以及比例的基本性質(zhì)兩部分。這樣的編排，知識呈 現(xiàn)的脈絡(luò)更為清晰，更有利于學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，也更有利 于抽象概括比例的基本性質(zhì)。教材具體展開如下：首先，教 材呈現(xiàn)了比例的典型形式，介紹了比例各部分的名稱，

12、然后 介紹比例的分?jǐn)?shù)形式及其內(nèi)外項。使學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)比例的 內(nèi)項與外項并不會因為比例形式的改變而變化，并且正好形 成交叉關(guān)系。第二，在此基礎(chǔ)上教材呈現(xiàn)例 1，進(jìn)行比例的 基本性質(zhì)的教學(xué)。教材先提出要求與問題“計算下面比例中 兩個外項的積和兩個內(nèi)項的積。比較一下，你能發(fā)現(xiàn)什么？” 引導(dǎo)學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)這兩個比例中，兩個外項之積等于兩 個內(nèi)項之積。接著要求學(xué)生舉例驗證自己的發(fā)現(xiàn)。最后，在 學(xué)生列舉眾多例子的驗證中，通過合作交流與分享，自然抽 人教版數(shù)學(xué) 六年級下冊 象概括總結(jié)出比例的基本性質(zhì)。并隨著小精靈的提問“你能 用字母表示這個性質(zhì)嗎？”激發(fā)學(xué)生對比例的基本性質(zhì)進(jìn)行 進(jìn)

13、一步的抽象概括：用字母表示比例的基本性質(zhì)。 例 2：解比例。在教學(xué)例 2 之前，教材首先介紹了什么叫 解比例，解比例的依據(jù)是什么。以提示解比例的方法是利用 比例的基本性質(zhì)將比例轉(zhuǎn)化為外項的積等于內(nèi)項的積，再利 用相應(yīng)的方程求出未知數(shù)。例 2 的教學(xué)通過創(chuàng)設(shè)真實的情境 引入，呈現(xiàn)了解答問題的去全過程。根據(jù)問題設(shè) x ，引導(dǎo)學(xué) 生根據(jù)相關(guān)量之間的關(guān)系列出比例，再根據(jù)比例的基本性質(zhì) 把比例轉(zhuǎn)化為方程，最后進(jìn)行解方程，求出未知數(shù)。 例 3：解分?jǐn)?shù)形式的比例。教材只根據(jù)比例的基本性質(zhì)把 比例轉(zhuǎn)化為方程，特別注意為學(xué)生自主探索提供空間，解方 程讓學(xué)生自己完成。 （二）正比例和反比例

14、 例 1：正比例。教材將實驗教材中的標(biāo)題“成正比例的 量”改為“正比例”，更加突出量與量之間的“關(guān)系”，充 分體現(xiàn)函數(shù)思想。改編了正比例的素材，著重探討總價與數(shù) 量兩個量之間的關(guān)系。主要是基于以下考慮：單價、數(shù)量、 總價之間的數(shù)量關(guān)系是學(xué)生最為熟悉的。這樣的引入方式既 符合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗，又揭示了正比例與日常生活的聯(lián)系。 教材通過表格中的數(shù)據(jù)和三個問題，在小精靈提問“你能發(fā) 現(xiàn)什么”的啟示下，使學(xué)生認(rèn)識了成正比例關(guān)系量的關(guān)系要 點：有兩個量，且是相關(guān)聯(lián)的量，一個量隨著另一個量的變 化而變化；兩個量之間的比值不變。在此基礎(chǔ)上，揭示成什 么是正比例的量（總價與數(shù)量），什么是正比例關(guān)系（總價 與數(shù)量

15、的關(guān)系）。最后，教材利用數(shù)學(xué)化的字母符號來表征 這一變化規(guī)律，使學(xué)生體會抽象與模型的數(shù)學(xué)思想。 人教版數(shù)學(xué) 六年級下冊 在理解正比例關(guān)系的意義之后，教材安排了讓學(xué)生認(rèn)識正 比例關(guān)系圖象，并要求學(xué)生利用圖象解決簡單的問題。讓學(xué) 生體會正比例圖象的特點和作用，加深對正比例的認(rèn)識。同 時，也充分體現(xiàn)了函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想。最后，教材 讓學(xué)生找一找生活中成正比例的量，找到變化的量與不變的 量，使學(xué)生加深對正比例關(guān)系的理解。 例 2：反比例。這部分的內(nèi)容是揭示反比例的意義。整個 編排思路和正比例完全一致，所不同的是不要求學(xué)生認(rèn)識反 比例的圖象。 （三）比例的應(yīng)用

16、 例 1：比例尺及其求法。在教學(xué)例 1 之前，教材著重介紹 了以下知識內(nèi)容：比例尺的概念；比例尺的不同表示形式（數(shù) 值比例尺和線段比例尺）及其線段比例尺轉(zhuǎn)化為數(shù)值比例尺 的方法（原實驗教材以例 1 的形式編排）；溝通比例尺與分 數(shù)的關(guān)系；除了用比例尺表示把實際距離縮小畫在圖紙上， 還介紹了生活中把實際距離放大的情況等。其中，教材強調(diào) 在線段比例尺轉(zhuǎn)化為數(shù)值比例尺時要特別注意單位的統(tǒng)一， 再化簡成最簡成數(shù)比；另外，在用數(shù)值比例尺表示時，為便 于計算，對一般的表示形式也做了特別的說明，即一般把比 例尺寫成前項或后項是 1 的形式。之后的例 1 教學(xué)，就是根 據(jù)比例尺的定義，介紹了比例尺的求法：

17、利用圖上距離和相 對應(yīng)的實際距離，先統(tǒng)一長度單位，再相比、化簡。 例 2：比例尺的應(yīng)用。教材提供了一個真實的問題情境： 根據(jù)北京軌道交通路線示意圖，求兩站之間的實際距離。教 材給出了完整的解題過程：首先引導(dǎo)學(xué)生如何思考，再給出 了從設(shè)未知數(shù)、列出比例以及解比例求出實際距離的具體過 程。在教學(xué)的過程中，特別要注意培養(yǎng)學(xué)生以下幾方面的技 人教版數(shù)學(xué) 六年級下冊 能：在示意圖上尋找比例尺的信息；經(jīng)歷并能反思求實際距 離的思維過程：根據(jù)比例尺列出比例，解比例求出未知數(shù)的 值，再換算成合適的單位。 例 3：應(yīng)用比例尺畫平面圖。本例是綜合運用比例尺、方 位的有關(guān)知識解決

18、實際問題。與原實驗教材相比，修訂版教 材提供了繪制簡易位置的平面圖，給出了比例尺，這大大降 低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。 教材的編寫體現(xiàn)了解決問題的基本過程：首先理清相關(guān)的 信息，清楚要解決的問題；其次，確定方法，求出圖上距離； 最后，畫出平面圖，在圖上標(biāo)出相關(guān)的信息。其中，根據(jù)比 例尺與實際距離求圖上距離，教材提供的基本思路與例 2 相 仿，即根據(jù)圖上距離/實際距離=比例尺，推導(dǎo)得到圖上距離 =實際距離×比例尺。但在教學(xué)過程中要特別注意，應(yīng)允許 學(xué)生采用別的解法。 另外，教材編寫還特別注意到將數(shù)值比例尺化成線段比例 尺的知識點自然融合在畫平面示意圖的過程中。這一方面體 現(xiàn)了綜合運用知識解

19、決問題，另一方面也滲透了制作平面圖 的一般要求以及培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 例 4：探究圖形的放大與縮小的特征。在學(xué)習(xí)例 4 之前， 教材編排了一組圖形放大與縮小的生活現(xiàn)象的圖片。在這部 分內(nèi)容的教學(xué)中，教材突出強調(diào)通過對放大與縮小的生活現(xiàn) 象（如照相、用放大鏡看書、投影儀放大圖表、人和影子等） 觀察比較分析，初步感知圖形按一定的比放大或縮小后，只 是大小發(fā)生變化，形狀沒有變化，從而體會圖形的相似變化 特點。例 4 則是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究圖形放大與縮小的特點。 教材先讓學(xué)生按 2:1 的比在方格紙上畫出三個簡單的平面圖 形的放大圖。具體編寫過程如下：在明確任務(wù)后首先直接給 人教

20、版數(shù)學(xué) 六年級下冊 出“按 2:1 放大，就是把各邊的長放大到原來的 2 倍”。在 理解“按 2:1 放大”意思的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主完成放大圖 形。之后引導(dǎo)學(xué)生觀察放大前后的圖形，在“你能發(fā)現(xiàn)什 么？”這一問題的啟示下，比較它們的內(nèi)角、邊長、周長， 發(fā)現(xiàn)放大前后的圖形，大小變了，形狀沒變。緊接著，再讓 學(xué)生把放大后三個的圖形分別按 1:3、1:4、1:2 縮小，在“你 又發(fā)現(xiàn)了什么？”問題的引領(lǐng)下，使學(xué)生在具體的操作活動 中，通過觀察比較，進(jìn)一步體會到盡管圖形按一定的比縮小， 但仍然發(fā)現(xiàn)“圖形的大小變了，形狀卻沒有變”。在這里， 特別需說明的是，原實驗教材是將放大后三個圖形按 1

21、:3 的 比縮小，而修訂版教材則修改為“分別按 1:3、1:4、1:2 的 比縮小”，其編寫的意圖明顯的是為學(xué)生提供盡可能的多的 “學(xué)”材，以有利于學(xué)生更好地進(jìn)行抽象概括，從而有效實 現(xiàn)教學(xué)的目標(biāo)。 例 5：用正比例意義解決問題。這是一題典型的解決問題 的例題，教材的編寫就是讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程。“閱 讀與理解”，無論是用算術(shù)法（歸一先求水的單價）還是用 正比例解（依據(jù)水的單價一定，建立比例），都需要明確要 解決問題，就是要知道水的單價和用水量。兩種解法的區(qū)別 在于前者必須要先求出水的單價，而后者只需明確水的單價 是一定的，不知水的單價具體是多少也不影響問題的解決。 因此，此環(huán)節(jié)重

22、在引導(dǎo)學(xué)生理解題意，理解問題解決的關(guān)鍵 是明確單價是一定的，這是水費與用水量成正比例的前提。 “分析與解答”，教材呈現(xiàn)了用算術(shù)法和用比例解答兩種解 答。其中，教材詳細(xì)介紹了用正比例的方法解決問題的解題 過程。教材編寫中呈現(xiàn)了兩種解法，一方面是讓學(xué)生回顧算 術(shù)解法，熟悉數(shù)量之間的關(guān)系，為用正比例解決問題做好鋪 人教版數(shù)學(xué) 六年級下冊 墊；另一方面是通過對兩種方法的比較，進(jìn)一步幫助學(xué)生認(rèn) 清用正比例解決問題的實質(zhì)：判斷兩個量的正比例關(guān)系的基 礎(chǔ)上列出比例式，再解比例?！盎仡櫯c反思”，幫助學(xué)生梳 理用正比例解決問題的關(guān)鍵，提煉方法，總結(jié)經(jīng)驗。為鞏固、 強化這一解法，教材讓學(xué)生

23、自主解決一個變式問題，以進(jìn)一 步提升學(xué)生的應(yīng)用水平。 例 6：用反比例意義解決問題。本例的總體編寫思路與例 5 相似，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的完整過程，學(xué)會用反比例關(guān) 系解決“歸總”問題，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力。 這里不再具體展開敘述。 五、教學(xué)建議 1. 重視基本概念的教學(xué)。比例、正比例、反比例是本 單元學(xué)習(xí)的基本概念。比例的應(yīng)用有賴于對這些概念的理解 和掌握 ;同時通過應(yīng)用 , 可以不斷加深對這些概念的理解和 掌握。通過觀察、比較、判斷、歸納等方法幫助學(xué)生建立明 晰的概念。 2. 提高學(xué)生綜合運用知識的能力。本單元知識綜合性 強,既要注意新、舊知識的聯(lián)系,又要注意提高學(xué)生綜合運用 知識的能力。 3. 引入一些稍復(fù)雜的正、反比例實際應(yīng)用,供學(xué)生合作 探究 ,增加一些比例尺選擇的內(nèi)容 , 會根據(jù)線段比例尺進(jìn)行 簡單口算,而且適當(dāng)畫圖、測量、設(shè)計比例尺等。