同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版課件第八章第九節(jié)二次曲面

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1、,,,,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱(chēng)之,相應(yīng)地平面被稱(chēng)為一次曲面,一、基本內(nèi)容,討論二次曲面性狀的截痕法：,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線(xiàn)（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,（一）橢球面,橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線(xiàn)：,,,,橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.,橢球面與平面 的交線(xiàn)為橢圓,同理與平面 和 的交線(xiàn)也是橢圓.,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成,方程可寫(xiě)為,旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：,與平面 的交線(xiàn)為圓.,截面上圓的方程,球面,方程可寫(xiě)為,（二）拋物

2、面,（ 與 同號(hào)）,橢圓拋物面,用截痕法討論：,（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).,與平面 的交線(xiàn)為橢圓.,當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在 軸上.,與平面 不相交.,（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得拋物線(xiàn),與平面 的交線(xiàn)為拋物線(xiàn).,它的軸平行于 軸,頂點(diǎn),（3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截,均可得拋物線(xiàn).,同理當(dāng) 時(shí)可類(lèi)似討論.,橢圓拋物面的圖形如下：,,（ 與 同號(hào)）,特殊地：當(dāng) 時(shí)，方程變?yōu)?旋轉(zhuǎn)拋物面,（由 面上的拋物線(xiàn) 繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）,與平面 的交線(xiàn)為圓.,當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種圓的中心都在

3、軸上.,（ 與 同號(hào)）,雙曲拋物面（馬鞍面）,用截痕法討論：,設(shè),圖形如下：,（三）雙曲面,單葉雙曲面,（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得中心在原點(diǎn) 的橢圓.,與平面 的交線(xiàn)為橢圓.,當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在 軸上.,（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn).,實(shí)軸與 軸相合，虛軸與 軸相合.,雙曲線(xiàn)的中心都在 軸上.,與平面 的交線(xiàn)為雙曲線(xiàn).,實(shí)軸與 軸平行,,虛軸與 軸平行.,實(shí)軸與 軸平行,,虛軸與 軸平行.,截痕為一對(duì)相交于點(diǎn) 的直線(xiàn).,截痕為一對(duì)相交于點(diǎn) 的直線(xiàn).,（3）用坐標(biāo)面 ,與曲面相截,均可得雙曲線(xiàn).,單葉雙曲面圖形,平面 的截痕是兩對(duì)相交直線(xiàn).,雙葉雙曲面,橢球面、拋物面、雙曲面、截痕法.,（熟知這幾個(gè)常見(jiàn)曲面的特性）,二、小結(jié),思考題,方程,表示怎樣的曲線(xiàn)？,思考題解答,表示雙曲線(xiàn).,,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,二、,三、,