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1、,2.4.1拋物線及其 標(biāo)準(zhǔn)方程,噴泉,復(fù)習(xí)回顧： 我們知道,橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：,都可以看作是,在平面內(nèi)與一個定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.,(2) 當(dāng)e1時，是雙曲線;,(1)當(dāng)0e1時,是橢圓;,(其中定點(diǎn)不在定直線上),那么,當(dāng)e=1時，它又是什么曲線 ？,如圖，點(diǎn) 是定點(diǎn)， 是不經(jīng)過點(diǎn) 的定直線。 是 上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) 作 ，線段FH的垂直平分線m交MH于點(diǎn)M，拖動點(diǎn)H，觀察點(diǎn)M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎？,提出問題：,幾何畫板觀察,問題探究： 當(dāng)e=1時，即|MF|=|MH| ，點(diǎn)M的軌跡是什么？,探究？,可以發(fā)現(xiàn),點(diǎn)M隨著H運(yùn)動的過程中
2、,始終有|MF|=|MH|,即點(diǎn)M與點(diǎn)F和定直線l的距離相等.點(diǎn)M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖),我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.,在平面內(nèi),與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.,點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn), 直線l 叫拋物線的準(zhǔn)線,|MF|=d,d 為 M 到 l 的距離,準(zhǔn)線,焦點(diǎn),d,一、拋物線的定義:,解法一：以 為 軸，過點(diǎn) 垂直于 的直線為 軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖所示）,則定點(diǎn) 設(shè)動點(diǎn)點(diǎn) ，由拋物線定義得：,化簡得：,二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),解法二：以定點(diǎn) 為原點(diǎn)，過點(diǎn) 垂直于 的直線為 軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖所示），則定點(diǎn) ， 的方程為,設(shè)動點(diǎn) ，
3、由拋物線定義得,化簡得：,二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),l,解法三：以過F且垂直于 l 的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xoy.,兩邊平方,整理得,M(x,y),F,二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),依題意得,這就是所求的軌跡方程.,三、標(biāo)準(zhǔn)方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中 p 為正常數(shù),表示焦點(diǎn)在 x 軸正半軸上.,且 p的幾何意義是:,焦點(diǎn)坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程為:,想一想: 坐標(biāo)系的建立還有沒有其它方案也會使拋物線方程的形式簡單 ？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2
4、=2px (p0),x2=-2py (p0),P的意義:拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,方程的特點(diǎn): (1)左邊是二次式, (2)右邊是一次式;決定了焦點(diǎn)的位置.,四四種拋物線的對比,P66思考：,二次函數(shù) 的圖像為什么是拋物線？,當(dāng)a0時與當(dāng)a0時，結(jié)論都為：,例1,（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,（2）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 F（0，2），求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,（3）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為 x = 1 ，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,（4）求過點(diǎn)A（3，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,x 2 =8 y,y 2 =4 x,看圖,看圖,看圖,課堂練習(xí)：,1、根據(jù)下列條件，寫
5、出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：,（1）焦點(diǎn)是F（3，0）；,（2）準(zhǔn)線方程 是x = ；,（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y,2、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： (1)y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,例2：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如下圖所示。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處。已知接收天線的徑口（直徑）為4.8m，深度為0.5m。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)
6、坐標(biāo)。,解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合。,即,所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，焦點(diǎn)的坐標(biāo)是,4.標(biāo)準(zhǔn)方程中p前面的正負(fù)號決定拋物線的開口方向,1.拋物線的定義:,2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式: 每一對焦點(diǎn)和準(zhǔn)線對應(yīng)一種形式.,3.p的幾何意義是:,焦 點(diǎn) 到 準(zhǔn) 線 的 距 離,（2000.全國）過拋物線 的焦點(diǎn) 作一條直線 交拋物線于 ， 兩點(diǎn)，若線段 與 的長分別為 ，則 等于（ ）,A. B. C. D.,分析：拋物線 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，其 焦點(diǎn)為 .,取特殊情況，即直線 平行與 軸， 則 ，如圖。 故,返回,解：（2）因?yàn)榻裹c(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸上，并且,= 2，p = 4 ，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x2 =8y .,返回,解：（3）因?yàn)闇?zhǔn)線方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦點(diǎn)在 x 軸的負(fù)半軸上，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2 =4x .,返回,x,y,o,(3,2),解：（4）因?yàn)?3，2)點(diǎn)在第一象限，所以拋物線的開口方向只能是向右或向上，故設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2 = 2px（p0），或 x2 = 2py（p0），將（3，2）點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入上述方程可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
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