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1、拓展題型 二次函數(shù)綜合題,拓展一 二次函數(shù)與線段和差問題 拓展二 二次函數(shù)與三角形面積問題 拓展三 二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題,拓展一 二次函數(shù)與線段和差問題,典例精講,例1 如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0)與x軸交于點A、 B（1,0)，與y軸交于點C，直線y= x-2經(jīng)過點A、C.拋物線的頂點為D,對稱軸為直線l . （1)求拋物線的解析式；,【思維教練】已知直線y= x-2經(jīng)過 點A、C，結(jié)合題干，可求得A、C兩 點的坐標(biāo)，結(jié)合B(1,0)，代入拋物線 y=ax2+bx+c(a0)求解即可；,例1題圖,拋物線解析式為y= - x2+ x-2；,例1題圖,【思維教練】要求
2、頂點D的坐標(biāo)和對稱軸l，需知拋物線的頂點式，(1)中已求得拋物線的一般式，直接化為頂點式即可得到點D的坐標(biāo)和對稱軸l ；,（2）求頂點D的坐標(biāo)與對稱軸l；,例1題圖,解：由拋物線y= - x2+ x-2，得 y= - （x2-5x）-2= - (x- )2+ ， 拋物線頂點D的坐標(biāo)為（ , ）， 對稱軸l為直線x= ；,例1題圖,【思維教練】已知點E在x軸上，則設(shè)E點坐標(biāo)為（e,0）,要求點E的坐標(biāo)，已知AE=CE，需先分別用含e的式子表示出AE和CE，由于A點坐標(biāo)（1）中已求得，則AE4-e,由題圖可知點O、E、C三點可構(gòu)成RtCOE，結(jié)合C點坐標(biāo)，利用勾股定理即可表示出CE
3、的式子，建立方程求解即可；,（3）設(shè)點E為x軸上一點，且AE=CE，求點E的坐標(biāo)；,例1題圖,例1題解圖,在Rt COE中，根據(jù)勾股定理得 CE2=OC2+OE2=22+e2， AE=CE， (4-e)222+e2， 解得e= ， 則點E的坐標(biāo)為（ ，0）；,E,,解：如解圖，由點E在x軸上，可設(shè)點E的坐標(biāo)為（e,0）， 則AE=4-e，連接CE，,（4）設(shè)點G是y軸上一點，是否存在點G,使得GD+GB的值最小，若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； 例1題圖,【思維教練】線段之和最小值問題即“最短路徑問題”，解決這類問題最基本的定理就是“兩點之間線段最短”，即已知一條直線和直線
4、同旁的兩個點，要在直線上找一點，使得這兩個點與這點連接的線段之和最小，解決問題的方法就是通過軸對稱作出對稱點來解決.如此問，要使GD+GB的值最小，先找點B關(guān)于y軸的對稱點B,再連接BD, BD與y軸的交點即為所求的G點，求直線BD的解析式，再求其與y軸的交點即可；,設(shè)直線BD 的解析式為y=kx+d （k0），其中D( , )， 則 解得 直線BD的解析式為y= x+ ，令x=0,得y= ，點G的坐標(biāo)為（0， ）；,例1題解圖,-k+d=0 k+d= ，,k= d= ，,,,解：存在.如解圖，取點B關(guān)于y軸的對稱點B，則點B的坐標(biāo)為（-1,0）.連接BD
5、，直線BD與y軸的交點G即為所求的點.,,B,G,（5）在直線l上是否存在一點F，使得BCF的周長最小， 若存在，求出點F的坐標(biāo)及BCF周長的最小值；若不存在，請說明理由；,例1題圖,【思維教練】要使BCF的周長最小，因 為BC長為定值，即要使CF+BF的值最小， 由點A,B關(guān)于直線l對稱，可知AC與l的交點 為點F，即可使得CF+BF最小，將x= 代 入直線AC的解析式，即可求得F點的坐標(biāo)， 在RtAOC中可得AC的長，在RtOBC中可得BC的長，即可得到BCF周長的最小值；,在RtOBC中，OB=1，OC=2，由勾 股定理得BC= 為定值， 當(dāng)BF+CF最小時，CBCF最小.
6、點B與點A關(guān)于直線l對稱， AC與對稱軸l的交點即為所求的點F， 將x= 代入直線y= x-2，得y= -2=- ， 點F的坐標(biāo)為（ , - ）.,例1題解圖,解：存在，要使BCF的周長最小，即BC+BF+CF最小，如解圖所示.,,,F,在RtAOC中，由AO=4，OC=2，根據(jù)勾股定理得AC=2 ， BCF周長的最小值為BC+AC= +2 =3 ；,例1題解圖,,,F,【思維教練】要使SD-SB的值最大，則 需分兩種情況討論：S、B、D三點不 共線時構(gòu)成三角形，由三角形三邊關(guān)系 得到SD-SB
7、滿足條件，求出直線BD的解析式 后，再求出直線BD與y軸的交點坐標(biāo)即可；,（6）在y軸上是否存在一點S，使得SD- SB的值最大，若存在，求出點S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由;,例1題圖,當(dāng)S與DB不在同一條直線上時， 由三角形三邊關(guān)系得SD-SB
8、析式為y= x- , 當(dāng)x=0時,y=- , 即當(dāng)點S的坐標(biāo)為（0，- ）時，SD-SB的值最大；,,,例1題解圖,,S,（7）若點H是拋物線上位于AC上方的一 點，過點H作y軸的平行線，交AC于點K， 設(shè)點H的橫坐標(biāo)為h，線段HKd. 求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式； 求d的最大值及此時H點的坐標(biāo)；,例1題圖,【思維教練】平行于y軸的兩點之間的距離為此兩點的縱坐標(biāo)之差的絕對值，如此問，要求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式，由題可得點H的橫坐標(biāo)為h，分別將h代入拋物線及直線AC的解析式中，即可得到點H、K的縱坐標(biāo)，再由點H在點K的上方，可得到d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得HK的最大
9、值及此時H點的坐標(biāo)；,點H的坐標(biāo)為（h, - h2+ h-2）， HKy軸，交AC于K， 點K的坐標(biāo)為（h, h-2）， 點H在點K的上方， HK=d=（- h2+ h-2）-（ h-2） =- h2+2h（0h4）; 由d=- h2+2h=- (h2-4h)=- (h-2)2+2可知， 當(dāng)h=2時，d最大，0<2<4,符合題意， 當(dāng)h=2時，d最大，最大值為2,此時點H的坐標(biāo)（2,1）；,例1題解圖,,H,K,解：如解圖,點H在拋物線上，點H的橫坐標(biāo)為h，,（8）設(shè)點P是直線AC上方拋物線上一點，當(dāng)P點與直線AC距離最大時，求P點的坐標(biāo)，并求出最大距離是多少？,例1題圖
10、,【思維教練】要求P點的坐標(biāo)及P點到AC的 最大距離，可根據(jù)三角形相似，確定對應(yīng) 邊的最大值即可，通過作PTy軸交AC于 L,作PQAC于點Q，證明PLQACO, 得到PQ與PL的比等于AO與AC的比，即可 得到PQ與PL的關(guān)系,再由（7）得到PL的最 大值，即可得到PQ的最大距離及此時的P點坐標(biāo).,PLQ=ACO,PQL=AOC=90， PLQACO， , ， 設(shè)P點的橫坐標(biāo)為t， 由（7）知PL=- t2+2t，,例1題解圖,解：如解圖，過點P作PTy軸，交AC于L，作PQAC于點Q，,,,,,P,T,L,Q,,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時,PL取最大值2， 當(dāng)t=2
11、時，PQ取最大距離 ， 此時點P的坐標(biāo)為（2,1）.,,,P,T,L,Q,拓展二 二次函數(shù)與三角形面積問題,例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+3與x軸相交于點A,與y軸相交于點C，點B在x軸的正半軸上，且AB=4，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A,B,C. （1)求拋物線的解析式；,例2題圖,【思維教練】要求拋物線的解析式， 需知過拋物線的三點A、B、C的坐標(biāo)， 利用直線y=x+3求得A、C兩點的坐標(biāo)， 結(jié)合已知的AB=4，求得B點坐標(biāo)，代入求解即可；,典例精講,解：對于y=x+3，當(dāng)x=0時，y=3； 當(dāng)y=0時，x=-3， A（-3，0），C（0，3）， AB
12、=4，B（1，0）， 拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（-3，0）， B（1，0），C（0，3）， ，解得 ， 拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;,9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3,a=-1 b=-2 c=3,,,例2題圖,【思維教練】要求ABC的面積，需知ABC的一條邊的長度和這條邊上高的長度，由于ABC的邊AB已知，底邊AB上的高為OC，即為點C的縱坐標(biāo)，代入面積計算公式即可求解；,（2）求ABC的面積；,解：點C坐標(biāo)為(0，3)， OC=3， SABC = ABOC= 43=6;,例2題圖,【思維教練】QAE與CBE的底邊 AE=BE，要使兩三角形面積相
13、等，故 只要高相等，CBE底邊BE的高為3， 點Q的縱坐標(biāo)為3和-3時，滿足條件， 分別代入拋物線解析式即可求解；,（3）點D為拋物線的頂點，DE是拋物線的對稱軸，點E在x軸上，在拋物線上存在點Q,使得QAE的面積與CBE的面積相等，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；,例2題圖,例2題解圖,,,,,Q1,（Q2）,,P,,,,,,Q4,（Q3）,,解：Q點的坐標(biāo)為（-2，3）或（0，3） 或（-1+ ，-3）或（-1- ，-3）； 【解法提示】如解圖，依題意，AE=BE， 當(dāng)QAE的邊AE上的高為3時，QAE 的面積與CBE的面積相等. 當(dāng)y=3時，-x2-2x+3=3，解得x1=-2，x2=0， 點
14、Q的坐標(biāo)為（-2，3）或（0，3）. 當(dāng)y=-3時，-x2-2x+3=-3，解得x=-1 ， 點Q的坐標(biāo)為（-1+ ，-3）或 （-1- ，-3）. 綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（-2，3）或（0，3）或 （-1+ ，-3）或（-1- ，-3）.,【思維教練】要求四邊形AOCD和ACD的面積，由于四邊形AOCD是不規(guī)則圖形，則可利用S四邊形AOCD= SAOD +SCOD計算.由于ACD的底與高不容易計算，所以可利用S四邊形AOCD -SAOC計算；,（4）在（3)的條件下，連接AD,CD，求四邊形AOCD和ACD的面積； 例2題圖,易知點D的坐標(biāo)為（-1，4）， S四邊形AOCD =SA
15、OD +SCOD= 34+ 31= ， SACD =S四邊形AOCD -SAOC= - 33=3；,例2題解圖,,解：如解圖，連接OD，,（5）在直線AC的上方的拋物線上，是否存在一點M,使MAC的面積最大？若存在，請求出點M的坐標(biāo)，并求出MAC面積的最大值；若不存在，請說明理由； 例2題圖,【思維教練】要求圖形面積最值問題，若求三角形面積最值，根據(jù)題意用未知數(shù)設(shè)出所求點的坐標(biāo)，并利用所設(shè)點坐標(biāo)表示出三角形的底和高，用面積公式求解；若求四邊形面積最值時，常用到的方法是利用割補方法將四邊形分成兩個三角形，從而利用求三角形面積的方法求得用含未知數(shù)的代數(shù)式表示的線段（常用到相似三角形性質(zhì)
16、、勾股定理）.分別計算出每個三角形的面積，再進(jìn)行和差計算求解.如此問，要使MAC的面積最大，可先用含字母的式子表示出SMAC，再利用二次函數(shù)性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得M點坐標(biāo)；,設(shè)M（x，-x2-2x+3），則N（x，x+3），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，SMAC =SAMN +SCMN = MN3= (-x2-3x)= - (x+ )2+ ，- <0， 當(dāng)x=- 時，SMAC的值最大為 ， 當(dāng)x=- 時，y=-(- )2-2(- )+3= ， 點M的坐標(biāo)為（- ， ）；,例2題解圖,解：存在點M，使得MAC的面積最大. 如解圖，過點M作MNy軸，交A
17、C于點N，,N,,M,【思維教練】要確定H點的位置，根據(jù)HGA被分成面積為12的兩部分，HAI和AIG高相等，對稱軸在y軸左側(cè)，可分HI與IG為12或21兩種情況，列方程即可求解；,（6）點H是拋物線第二象限內(nèi)一點，作HGx軸，試確定H點的位置，使HGA的面積被直線AC分為12的兩部分；,例2題圖,,解：如解圖，由（5）可知，可分兩種情況討論： 若HI=2IG，則有-x2-3x=2(x+3) （-3x0）， 整理得x2+5x+6=0， 解得x1=-2，x2=-3（不合題意，舍去）， H（-2，3）； 若2HI=IG，則有2(-x2-3x)=x+3 （-3x0），整理得2x2+7x+3=0， 解
18、得 x1= - ，x2=-3（不合題意，舍去）， H（- ， ）. 綜上所述，有兩種情況：H（-2，3）或H（- ， ）；,例2題解圖,,,H1,G2,G1,O,,,H2,I1,I2,（7）在拋物線上是否存在一點R，且位于對稱軸的左側(cè)，使SRBC = ，若存在，求出此時點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.,【思維教練】先假設(shè)存在點R，使得 SRBC = .過點R作BC的垂線交BC 的延長線于點K，可得 BCRK= ， 此時點R，K坐標(biāo)不易計算，可考慮作 RHy軸與BC的延長線交于點F，利 用RKF與BOC相似，RFBOBCRK9，設(shè)出R點坐標(biāo)利用此關(guān)系式列方程即可求解.,例2題圖,
19、例2題解圖,解：存在點R，使得SRBC ，且位于對稱軸的左側(cè).如解圖，過點R作RKBC，交BC的延長線于點K，作RHy軸，交x軸于點H，交BC的延長線于點F，,則F=BCO，RKF=BOC=90， RKFBOC， ， RFBO=BCRK， 又SRBC = ，BO=1， BCRK= BORF= ， RF=9.,,,,,,,F,R,K,,H,,由B（1，0），C（0，3）可求出直線BC的解析式為y=-3x+3， 設(shè)R（x，-x2-2x+3），則F（x，-3x+3）， RF=-3x+3-（-x2-2x+3）=x2-x， x2-x=9， 解得x1= ， x2= （不
20、合題意，舍去）， R（ ， ）.,,,,,,,F,K,,H,,R,例2題解圖,拓展三 二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題,例 3 如圖，拋物線經(jīng)過A（-5，0），B（-1，0）， C（0，5）三點，頂點坐標(biāo)為M，連接AC. 拋物線的對 稱軸為l，l與x軸交點為D，與AC交點為E.,(1)分別求出拋物線的解析式，頂點 M的坐標(biāo)，對稱軸l的解析式；,例3題圖,典例精講,【思維教練】要確定拋物線的解析式，頂點M的坐標(biāo)和對稱軸l的解析式，由于A、B、C的坐標(biāo)已知，設(shè)拋物線解析式為一般式，將點A、B、C代入求出拋物線解析式，將解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，頂點M的坐標(biāo)，對稱軸l的解析式即可求解；,例3題圖
21、,解：設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c， 將點A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）代入，得 ，解得 ， 拋物線解析式為y=x2+6x+5， =(x+3)2-4，,25a-5b+c=0 a-b+c=0 c=5,a=1 b=6 c=5,,,頂點M的坐標(biāo)為（-3，-4），對稱軸l的解析式為：x=-3;,例3題圖,【思維教練】由點P在對稱軸上結(jié)合拋物線的解析式，設(shè)P（-3，p），根據(jù)PMCO，分P在M點上方和P在M點下方兩種情況進(jìn)行討論，求出點P坐標(biāo)；,（2）設(shè)P是直線l上一點，且PM=CO，求點P的坐標(biāo)；,例3題圖,解：點C（0，5），CO=5， 設(shè)點P
22、的坐標(biāo)為（-3，p），如解圖， 當(dāng)點P在M點上方時，即為P1點， 則P1M=p-（-4）=5，解得p=1， 此時點P1的坐標(biāo)為（-3，1）； 當(dāng)點P在M點下方，即為P2點， 則P2M=-4-p=5，解得p=-9， 此時點P2的坐標(biāo)為（-3，-9）， 綜上，這樣的點P有兩個，坐標(biāo)分別為P1（-3，1）， P2（-3，-9）；,例3題解圖,,,P1,P2,（3）在線段CO上取一點F,使得CF=DE,求點F的坐標(biāo),并判定四邊形DECF的形狀;,例3題圖,【思維教練】要求點F的坐標(biāo)，可根據(jù) CF=DE，結(jié)合C點坐標(biāo)求解，C點坐標(biāo) 已知，故只需求解DE的長度，由點E 為l與AC的交點可知點E在AC上，先
23、求 直線AC的解析式，從而確定點E的坐標(biāo)， 然后確定DE的長，再結(jié)合DE確定CF， 從而得到點F的坐標(biāo)，利用DECF，DE=CF，即可判定四邊形DECF的形狀；,解：設(shè)直線AC的解析式為 ， 將點A（-5,0），C（0,5）代入得 ，解得 ， 直線AC的解析式為y=x+5. 令x=-3得y=-3+5=2， 點E的坐標(biāo)為（-3,2），易得點D的坐標(biāo)為（-3,0）， DE=2.,例3題圖,如解圖，連接DF DECF，DE=CF， 四邊形DECF是平行四邊形；,例3題解圖,CF=DE=2，點F在線段CO上，點C坐標(biāo)為（0,5）， 點F的坐標(biāo)為（0,3）.,,F,（4）設(shè)G
24、是拋物線上一點，過點G作GHx軸交l于點H， 點G坐標(biāo)為何值時，以A、B、G、H為頂點的四邊形是平 行四邊形？,【思維教練】由于GHx軸，AB在 x軸上可知GHAB，要使以A、B、 G、H為頂點的四邊形是平行四邊形， 則需證GH=AB即可；,例3題圖,解：點G在拋物線上，則設(shè)點G的坐標(biāo)為(g,g2+6g+5)， GH x軸，點H在l：x=-3上，點H(-3,g2+6g+5). GHAB，要得到以A、B、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形，則必須GH=AB=4， 如解圖，即|g+3|=4， 解得g=1或g=-7， 當(dāng)g=1時，g2+6g+5=12， 此時點G的坐標(biāo)為（1,12）； 當(dāng)g=-7時，g
25、2+6g+5=12， 此時點G的坐標(biāo)為（-7,12）， 綜上，這樣的點G有兩個，坐標(biāo) 分別為（1,12），（-7,12）；,例3題解圖,E,,,,,,H1（H2）,G1,G2,【思維教練】由折疊的性質(zhì)得到M、M關(guān)于x軸對稱，再由拋物線性質(zhì)得到A、B關(guān)于MM對稱，從而利用菱形性質(zhì)得出結(jié)論；,（5）如圖，沿x軸將拋物線在x軸下方的部分翻折到x軸上方，點M的對應(yīng)點為M，判斷四邊形AMBM的形狀，并說明理由； 例3題圖,由折疊性質(zhì)可得 點M與M關(guān)于x軸對稱， MD=MD，MMAB. 由拋物線性質(zhì)得點A與點B關(guān)于l對稱， AD=BD，ABMM， 四邊形AMBM是菱形;,例3題解圖,,,,,解：四邊形AM
26、BM是菱形. 理由如下：如解圖，,（6）設(shè)點Q是拋物線上一點，點R是平面內(nèi)一點，點Q的坐標(biāo)為何值時，四邊形AQCR是菱形？,例3題圖,【思維教練】由四邊形AQCR是菱形可 知AC是對角線，結(jié)合OC=OA，從而過 點O作OPAC，且OP平分AC，從而 可得點Q在OP上，只需求出QP所在直 線的解析式，與拋物線聯(lián)立解方程組 即可求得點Q的坐標(biāo).,例4題解圖,解：存在.如解圖，過點O作OPAC于點P.,,,,P,Q1,Q2,,P,OA=OC=5， AP=CP， OP是AC的垂直平分線. 四邊形AQCR是菱形， 點Q、R在AC的垂直平分線上， 點Q是直線OP與拋物線的交點， 過點P作PPx軸于點P，則PP是AOC的中位線， PP= OC= ，PO= AO= ， 點P的坐標(biāo)為（ , ），,設(shè)直線QP的解析式為y=kx，將點P的坐標(biāo)代入，可得k=-1, 直線QP的解析式為y=-x, 與拋物線聯(lián)立得 解得 ， ，,y=x2+6x+5 y=-x，,,x2= y2=,x1= y1=,,,例3題解圖,,P,Q2,,P,Q1,,,這樣的Q點有兩個，坐標(biāo)分別為（ , ）， （ , ）.,
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