高三數(shù)學不等式選講 知識點和練習

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1、 不等式選講 一、絕對值不等式 1．絕對值三角不等式 定理1：如果a,b是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時，等號成立。 注：（1）絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當，不共線時，|+|≤||+||，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。 （2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的條件分別是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在側(cè)“=”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“=”成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右側(cè)“=”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“=”成立的條件是ab

2、≥0且|a|≥|b|。 定理2：如果a,b,c是實數(shù)，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c) ≥0時，等號成立。 2．絕對值不等式的解法 （1）含絕對值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集 不等式 a＞0 a=0 a＜0 |x|＜a {x|-a＜x＜a} |x|＞a {x|x＞a 或x＜-a } {x|x∈R且x≠0} R 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的幾何意義（|x|表示數(shù)軸上的點x到原點的距離；| x-a |±|x-b|）表示數(shù)軸上的點x到點a,b的距離之和（差） （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|

3、≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|(zhì)ax+b|≤c-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想； 方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想； 方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。 二、證明不等式的基本方法 1．比較法 （1）作差比較法 ①理論依據(jù)：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0. ②證明步驟：作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論。 注：作

4、差比較法的實質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)（或式子）與0的大小關(guān)系。 （2）作商比較法 ①理論依據(jù)： ②證明步驟：作商→變形→判斷與1的大小關(guān)系→得出結(jié)論。 2．綜合法 （1）定義：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得到命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫做推證法或由因?qū)Чā? （2）思路：綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч保簿褪菑囊粋€（組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出要求證明的不等式。 3．分析法 （1）定義：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至

5、所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法。 （2）思路：分析法的思索路線是“執(zhí)果索因”，即從要證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直到打到已知不等式為止。 注：綜合法和分析法的內(nèi)在聯(lián)系是綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚。當問題比較復(fù)雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找證明的思路，用綜合法敘述、表達整個證明過程。 4．放縮法 （1）定義：證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，這種證明方法稱為放縮法。 （2）思

6、路：分析證明式的形式特點，適當放大或縮小是證題關(guān)鍵。 5.除此之外還有反證法和數(shù)學歸納法 【絕對值不等式習題】 【例1】不等式的解集為 （A）[-5.7] （B）[-4,6] （C） （D） 【答案】D 【解析】由不等式的幾何意義知，式子表示數(shù)軸的點與點（5）的距離 和與點（-3）的距離之和，其距離之和的最小值為8，結(jié)合數(shù)軸，選項D正確 【例2】 已知集合，則集合=________. 【答案】 【解析】∵， ， ∴. 【例3】對于實數(shù)x，y，若，，則

7、的最大值為 .【答案】5 【例4】不等式的解集是______. 【解析】。由題得 所以不等式的解集為。 【例5】若關(guān)于x的不等式存在實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 【答案】 【解析】：因為所以存在實數(shù)解，有或 【例6】已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|. （I）證明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集. 解：（I） 當 所以 （II）由（I）可知， 當?shù)慕饧癁榭占? 當； 當. 綜上，不等式 【例7】已知函數(shù) （1

8、）解關(guān)于的不等式； （2）若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，求的取值范圍。 解：（1）不等式，即。 當時，不等式的解集是； 當時，不等式的解集為； 當時，即，即或者，即或者，解集為。 （5分） （2）函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，即對任意實數(shù)恒成立。即對任意實數(shù)恒成立。 由于，故只要。 所以的取值范圍是。 【不等式證明習題】 【例1】若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證： lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c. 證明： 由a，b，c為正數(shù)，得 lg ≥lg ；lg ≥lg ；lg ≥lg . 而a，b，c不全相等， 所以lg ＋lg

9、 ＋lg ＞lg ＋lg ＋lg ＝lg ＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c. 即lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c. 【例2】證明不等式1+ 證法一 (1)當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假設(shè)n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+＜2， ∴當n=k+1時，不等式成立 綜合(1)、(2)得 當n∈N*時，都有1+＜2 證法二 對任意k∈N*，都有 證法三 設(shè)f(n)= 那么對任意k∈N* 都有 ∴f(k+1)＞f(k) 因此，對任意n∈N* 都有f(n)＞

10、f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0， ∴ 【例3】已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥ 證法一 (分析綜合法） 欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0， 即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8 ∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證 證法二 (比較法） ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤ 證法三 (綜合法) ∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤ 【例4】已知求證： 證明：

11、 【例5】若，，，求證：，不能同時大于1。 證明：由題意知 假設(shè)有 那么 同理， ①＋②＋③，得矛盾，假設(shè)不成立。 故，，不能同時大于1。 【例6】設(shè)函數(shù)f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x＞－1，a≥0). (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求證：當m＞n＞0時，(1＋m)n＜(1＋n)m. 【解析】(1)f′(x)＝1－aln(x＋1)－a， ①a＝0時，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)； ②當a＞0時，f(x)在(－1，－1]上單調(diào)遞增，在[－1，＋∞)單調(diào)遞減. (2)證明：要證(1＋m)n＜(1＋n)m，只需證nln(1＋m)＜mln(1＋n)，只需證＜. 設(shè)g(x)＝(x＞0)，則g′(x)＝＝. 由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減， 所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是減函數(shù)， 而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立. 8