側(cè)面積公式推導(dǎo)【學(xué)校材料】

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1、 定積分在幾何上的應(yīng)用3——求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 　　 設(shè)旋轉(zhuǎn)體是曲線y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直線x＝a，x＝b繞x軸旋轉(zhuǎn)而生成．任取一微區(qū)間[x，x＋dx]，如圖1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的討論知： 　　 弧長(zhǎng)＝Δs＝ds＋o(dx) ① 　　 線段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ② 　　 因?yàn)槔@x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是側(cè)面積量A的增量ΔA，線段PQ繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的面積恰好是上、下底面半徑為y和y＋Δy，側(cè)高為的圓臺(tái)的側(cè)面積Δ∑．由圓臺(tái)側(cè)面積公式可知后者等于 　　 Δ∑＝π(y＋y＋Δy) 　　 ＝π[2y＋dy＋o(dx)][d

2、s＋o(dx)] 　　 ＝2πyds＋o(dx)， 　　 顯然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有 　　 　　從而旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為 　　 　　相應(yīng)地也可寫出曲線在參數(shù)坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的側(cè)面積公式，這里不列出了． 　　例18 求拋物線y2＝2px(0≤x≤a)繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積． 　　 　　由⑤式得側(cè)面積為 　　 　　 　　 例19 求由圓x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體的表面積． 　　 　　故對(duì)哪個(gè)半圓周都有 　　 　　代入公式⑤即得所求表面積為 　　 　　 　　解 采用參數(shù)坐標(biāo)較為方便． 　　令 x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π 　　弧長(zhǎng)微分 　　 　　故表面積為 　　 　　 　　 　　 我們說過橢圓的周長(zhǎng)不能準(zhǔn)確計(jì)算，但橢圓的旋轉(zhuǎn)面積卻能準(zhǔn)確算出來．當(dāng)e 　　習(xí)題 　　 29．求拋物線y2＝4x，直線x＝8所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積． 　　求旋轉(zhuǎn)下列曲線所成曲面的面積 　　 　　 　　 33．x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)分別繞x軸和y軸． 　　 　　答案 　　 　　 　　　 4 普通教學(xué)