《點集拓撲學》§2.4 導集,閉集,閉包

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1、§2.4　導集，閉集，閉包 　　本節(jié)重點： 　　熟練掌握凝聚點、導集、閉集、閉包的概念； 　　區(qū)別一個點屬于導集或閉包的概念上的不同； 　　掌握一個點屬于導集或閉集或閉包的充要條件； 　　掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件． 　　 如果在一個拓撲空間中給定了一個子集，那么拓撲空間中的每一個點相對于這個子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進行分類處理． 　　定義2.4.1　設X是一個拓撲空間，AX．如果點x∈X的每一個鄰域U中都有A中異于x的點，即U∩（A-{x}）≠，則稱點x是集合A的一個凝聚點或極限點．集合A的所有凝聚點構成的集合稱為A的導集，記作d（A）．如果x

2、∈A并且x不是A的凝聚點，即存在x的一個鄰域U使得U∩（A-{x}）＝，則稱x為A的一個孤立點． 　　即:(牢記) 　　在上述定義之中，凝聚點、導集、以及孤立點的定義無一例外地都依賴于它所在的拓撲空間的那個給定的拓撲．因此，當你在討論問題時涉及了多個拓撲而又談到某個凝聚點時，你必須明確你所談的凝聚點是相對于哪個拓撲而言，不容許產生任何混淆．由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓撲的，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時時都會發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請讀者自己留心． 某些讀者可能已經在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對歐氏空間有效的性質，例如

3、歐氏空間中凝聚點的性質，對一般的拓撲空間都有效．以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象． 　　例2.4.1　離散空間中集合的凝聚點和導集． 設X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集．由于X中的每一個單點集都是開集，因此如果x∈X，則X有一個鄰域{x}，使得，以上論證說明，集合A沒有任何一個凝聚點，從而A的導集是空集，即d（A）＝． 　　例2.4.2　平庸空間中集合的凝聚點和導集． 　　設X是一個平庸空間，A是X中的一個任意子集．我們分三種情形討論： 　　第1種情形：A=．這時A顯然沒有任何一個凝聚點，亦即 d（A）=．（可以參見定理2.4.1中第（l）條的證明．

4、） 　　第2種情形：A是一個單點集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，點x只有惟一的一個鄰域X，這時，所以；因此x是A的一個凝聚點，即x∈d（A）．然而對于的惟一鄰域X有：所以 d（A）=X-A． 第3種情形：A包含點多于一個．請讀者自己證明這時X中的每一個點都是A的凝聚點，即d（A）＝X． 　　定理2.4.1　設X是一個拓撲空間，AX．則 　?。╨）d（）=； 　?。?）AB蘊涵d（A）d（B）； 　　（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）； 　　（4）d（d（A））A∪d（A）． 　　證明?。?）由于對于任何一點x∈X和點x的任何一個鄰域U， 　　有U∩ 　　（2）

5、設AB．如果． 　　這證明了d（A）d（B）． 　　（3）根據（2），因為A，BA∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），從而d（A）∪d（B）d（A∪B）． 　　另一方面，如果 　　 　　綜上所述，可見（3）成立．(這是證明一個集合包含于另一個集合的另一方法:要證,只要證即可．) 　?。?）設： 即（4）成立． 　　定義2.4.2　設X是一個拓撲空間，AX．如果A的每一個凝聚點都屬于A，即d（A）A，則稱A是拓撲空間X中的一個閉集． 例如，根據例2.4.l和例2.4.2中的討論可見，離散空間中的任何一個子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個非空的真子集都不是閉集．

6、 　　定理2.4.2　設X是一個拓撲空間，AX．則A是一個閉集，當且僅當A的補集是一個開集． 　　證明　必要性：設A是一個閉集 　　 　　充分性：設： 　　 即A是一個閉集． 　　例2.4.3　實數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間． 　　設a，b∈R，a＜b．閉區(qū)間[a，b]是實數(shù)空間R中的一個閉集，因為[a，b]的補集=（-∞，a）∩（b，∞）是一個開集． 同理，（-∞，a]，[b，∞）都是閉集，（-∞，∞）＝R顯然更是一個閉集．然而開區(qū)間（a，b）卻不是閉集，因為a是（a，b）的一個凝聚點，但a（a，b）．同理區(qū)間（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是閉集．

7、 　　定理2.4.3　設X是一個拓撲空間．記F為所有閉集構成的族．則： 　?。?）X，∈F 　?。?）如果A，B∈F，則AUB∈F 　　（從而如果) 　?。?）如果≠ 　　在此定理的第（3）條中，我們特別要求≠的原因在于當 =時所涉及的交運算沒有定義． 　　證明　根據定理2.4.2，我們有T={|U∈F}其中，T為X的拓撲． 　?。?）∵X，∈T，∴ 　?。?）若A、B∈F ，則 　?。?）令： 　　 定理證明完成． 　　總結：（1）有限個開集的交是開集，任意個開集的并是開集．其余情形不一定． （2）有限個閉集的并是閉集，任意個閉集的交是閉集．其余情形不一

8、定． 　　定義2.4.3　設X是一個拓撲空間,AX,集合A與A的導集d(A)的并A∪d(A)稱為集合A的閉包,記作或 容易看出,(注意:與x∈d(A)的區(qū)別) 　　定理2.4.4　拓撲空間X的子集A是閉集的充要條件是A= 證明:定理成立是因為:集合A為閉集當且僅當d(A)A而這又當且僅當A=A∪d(A) 　　定理2.4.5　設X是一個拓撲空間,則對于任意A,B∈X,有： 　　 　　證明（1）成立是由于是閉集． 　?。?）成立是根據閉包的定義． 　　（3）成立是因為 　　 　?。?）成立是因為 　　 　　 ＝A∪d（A）∪d（d（A)) 　　 ＝A∪d

9、（A）= 在第（3）條和第（4）條的證明過程中我們分別用到了定理 2.4.l中的第（3）條和第（4）條． 　　定理2.4.6　拓撲空間X的任何一個子集A的閉包都是閉集． 證明根據定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接推得． 　　定理2.4.7　設X是一個拓撲空間，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構成的族，則對于X的每一個子集A，有 　　 　　即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交． 　　證明　因為A包含于，而后者是一個閉集，由定理 2.4.5(4)與定理2.4.4 　　 有 　　另一方面，由于是一個閉集，并且，所以 　　 (“交”包含于形成交的任一個成員) 綜合這

10、兩個包含關系，即得所求證的等式． 　　由定理2.4.7可見，X是一個包含著A的閉集，它又包含于任何一個包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個集合的閉包乃是包含著這個集合的最小的閉集． 在度量空間中，集合的凝聚點，導集和閉包都可以通過度量來刻畫． 　　定義2.4.5　設（X，ρ)一個度量空間．X中的點x到X的非空子集A的距離ρ（x，A）定義為 　　 ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A} 根據下確界的性質以及鄰域的定義易見：ρ（x，A）＝0當且僅當對于任意實數(shù)ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，換言之即是：對于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而這又等價于：對

11、于x的任何一個鄰域U有U∩A≠，應用以上討論立即得到． 　　定理2.4.9　設A是度量空間（X，ρ）中的一個非空子集．則 　?。?）x∈d（A）當且僅當ρ（x，A-{x}）=0； 　?。?）x∈當且僅當ρ（x，A）＝0． 以下定理既為連續(xù)映射提供了等價的定義，也為驗證映射的連續(xù)性提供了另外的手段． 　　定理2.4.10　設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y．則以下條件等價： 　　（l）f是一個連續(xù)映射； 　?。?）Y中的任何一個閉集B的原象(B)是一個閉集； 　?。?）對于X中的任何一個子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即 　　； 　　(4)對于Y中的任何一個子

12、集B，B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即 　　． 　　證明?。?）蘊涵（2）．設BY是一個閉集．則 是一個開集，因此根據（1），是X中的一個開集，因此 (B)是X中的一個閉集． 　　(2)蘊涵（3）設AX．由于f（A）， 　　根據（2），成立． 　　(3)蘊涵(4)設AY集合(B)X應用（3）即得 　　 　　（4）蘊涵（l）．設U是Y中的一個開集．則是Y中的一個閉集．對此集合應用（4） 　　可見: ． 　　總結一下,到目前為止,證明映射連續(xù)的方法有幾種?證明一個子集是開集,閉集的方法有幾種?如何證明一個點是某個子集的凝聚點? 　　 作業(yè): 　　P69 1．2 第 8 頁 ^^ 共 8 頁