馬爾可夫鏈分析法.ppt

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1、馬爾可夫鏈分析法,,馬爾可夫鏈,馬爾可夫鏈：一種隨機時間序列，它在將來取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與它過去取什么值無關(guān)。這種性質(zhì)稱為無后效性。 形象示意：青蛙在若干荷葉上跳躍,下一位置僅與當前位置有關(guān)。 狀態(tài)概率向量：設馬爾可夫鏈在 tK 時取狀態(tài)E1 E2 En的概率分別為p1 p2 pn 而0Pi1， 則向量P1P2 Pn稱為tK時的狀態(tài)概率向量。 一步轉(zhuǎn)移概率： 設系統(tǒng)可能出現(xiàn)N個狀態(tài)E1 E2 En，則系統(tǒng)由tK時刻從Ei轉(zhuǎn)移到tk+1時刻Ej狀態(tài)的概率就稱為從i到j的轉(zhuǎn)移概率.,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：在一定條件下，系統(tǒng)只能在可能出現(xiàn)的狀態(tài)E1 E2 En中轉(zhuǎn)移

2、，系統(tǒng)在所有狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的可能性用矩陣P表示，稱P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。,轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下述性質(zhì):,正規(guī)概率矩陣及性質(zhì),概率向量：元素均為非負數(shù)且總和為1的向量。 概率矩陣：方陣的各行(或各列)都是概率向量。 概率陣性質(zhì)：若A、B是概率陣，則AB、An也是。 固定概率向量(均衡點)：若U是n維概率向量,A是n階方陣，且有UA=U，則稱U是A的均衡點。 正規(guī)概率矩陣：對概率陣P，若存在某個正整數(shù)m,使得Pm所有元素大于零,則稱P為正規(guī)概率矩陣。 正規(guī)概率陣P的性質(zhì)：,多步轉(zhuǎn)移,多步轉(zhuǎn)移概率: 若系統(tǒng)在時刻t0處于狀態(tài)i,經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移，在時刻tn處于狀態(tài)j，這種轉(zhuǎn)移的可能性的數(shù)量指標稱為n步轉(zhuǎn)移概

3、率,記為,性質(zhì)1:設一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 P(1)=P 則P(n)=Pn 。,性質(zhì)2：系統(tǒng)處在 j 狀態(tài)的概率與它在很遠的過去處在什么情況無關(guān)。,市場占有率預測示例之一內(nèi)容,已知市場上有A，B，C三種牌子的洗衣粉，上月的市場占有分布為(0.3 0.4 0.3)，且已知轉(zhuǎn)移概率矩陣為P。試求本月份和下月份的市場占有率？ 解：1、求本月份市場占有率,2、求下月份市場占有率,計算結(jié)果說明，在顧客(或用戶)購買偏好改變不大情況下，下個月A牌洗衣粉市場占有率22.5%，B牌洗衣粉市場占有率為34.7%，C牌洗衣粉的市場占有率為42.8%。,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算,估算方法一般有二種:一是主觀概率法(缺乏歷史統(tǒng)

4、計資料或資料不全情況下使用)。二是統(tǒng)計估算法。 例設味精市場的銷售記錄共有6年的24個季度的數(shù)據(jù)見表。試求味精銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。,上表中共有24個季度數(shù)據(jù)，其中有15個季度暢銷,9個季度滯銷。經(jīng)統(tǒng)計得出連續(xù)暢銷7次、由暢銷轉(zhuǎn)為滯銷7次、由滯銷轉(zhuǎn)為暢銷7次和連續(xù)滯銷2次。,轉(zhuǎn)移概率統(tǒng)計估算方法,對于一般的情況，假定系統(tǒng)有m種狀態(tài)S1,S2,...,Sm，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的歷史記錄，得出各狀態(tài)間轉(zhuǎn)移次數(shù)得分類統(tǒng)計表格，由此估計狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率pij。,期望利潤示例,某品牌味精市場銷售情況有暢銷1、滯銷2兩狀態(tài)。轉(zhuǎn)移概率分別為p11=0.6,p12=0.4,p21=0.54,p22

5、=0.46構(gòu)成轉(zhuǎn)移概率矩陣P；獲利情況為r11=30,r12=10,r21=15,r22= -10構(gòu)成利潤矩陣R。預測三期后的期望利潤。 解：用Vi(n)表示在i狀態(tài)下轉(zhuǎn)移n期后的期望利潤,可構(gòu)成各狀態(tài)轉(zhuǎn)移n期后期望利潤列向量V(n),則：,若當前暢銷,則三期后期望利潤為50.76,當前滯銷,則三期后為31.08。,期望利潤預測公式,有利潤的馬氏鏈: 若狀態(tài)i轉(zhuǎn)入狀態(tài)j的概率為pij,記P=(pij),同時產(chǎn)生利潤rij, 由rij構(gòu)成的矩陣R=(rij)稱利潤矩陣。通常稱轉(zhuǎn)移概率矩陣和利潤矩陣為帶利潤的馬氏鏈。 馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率決定狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中利潤值的概率分布。設Vi(k)表示狀態(tài)i經(jīng)

6、k步轉(zhuǎn)移后的期望向量,記V=(V1(k), V2(k),, Vn(k))T，則,期望利潤示例的R程序,P=matrix(c(0.6,0.4,0.54,0.46),ncol=2,byrow=T);P #建概率陣 R=matrix(c(30,10,15,-10),ncol=2,byrow=T);R #建利潤矩陣 v11=P1,%*%R1,;v11 # 運算符%*%夾在向量間表示求內(nèi)積 v12=P2,%*%R2,;v12 V1=rbind(v11,v12);V1 # 計算出一期后的期望利潤向量 V1=matrix(diag(P%*%t(R)),ncol=1);V1 # 與上3句等效 V2=V1+P%

7、*%V1;V2 # 計算出二期后的期望利潤向量 V3=V1+P%*%V2;V3 # 計算出三期后的期望利潤向量,期望利潤預測步驟,1.進行統(tǒng)計調(diào)查：首先查清銷路的變化情況，即查清由暢銷到滯銷或由滯銷到暢銷，連續(xù)暢銷或連續(xù)滯銷的可能性是多少，計算P。其次，統(tǒng)計出由于銷路的變化，獲得的利潤和虧損情況，計算R。 2.建立數(shù)學模型。列出預測公式。 3.根據(jù)預測公式和統(tǒng)計數(shù)據(jù)，按預測期長短進行預測。,市場占有率預測,調(diào)查目前市場上各產(chǎn)品占有率：S(0) =(S1,S2,,Sn) 調(diào)查顧客對各相關(guān)產(chǎn)品購買的變動：pij=PSi-Sj 建立數(shù)學模型： S(k+1)=S(k)P, 其中P=(pij)nn。 進

8、行預測： S(k)= S(0) Pk。 預測長期的市場占有率：根據(jù)概率矩陣性質(zhì)，必有S=SP，其中S=(s1,s2,,sn),且s1+s2++sn =1。即最終有穩(wěn)定狀態(tài)的占有率。可通過解方程組(*)求得S。,市場占有率預測示例之二R程序,P=matrix(c(0.6,0.2,0.2,0.1,0.7,0.2,0.1,0.1,0.8),ncol=3,byrow=T);P # 輸入轉(zhuǎn)移概率矩陣 S0=c(0.3,0.4,0.3);S0 # 輸入初始的市場占有率分布向量 S1=S0%*%P;S1 # 經(jīng)一期轉(zhuǎn)移后的市場占有率分布向量 S2=S1%*%P;S2 # 經(jīng)二期轉(zhuǎn)移后的市場占有率分布向量 A

9、=rbind(t(P)-diag(3),rep(1,3));A #上下拼接出A矩陣,diag(3)生成3階單位陣 b=rbind(t(t(rep(0,3))),1);b #上下拼接構(gòu)造b矩陣 x=solve(t(A)%*%A)%*%t(A)%*%b;x # 求出Ax=b的解x=(AA)-1Ab x=qr.solve(A,b);x #用QR分解來解Ax=b,效果與前面一樣 S=t(x);S # S為長期均衡態(tài)時的市場占有率向量,市場占有率預測示例之二R程序,人力資源預測,某高校位要預測未來教師隊伍的結(jié)構(gòu)比例，將教師狀況分為：助教、講師、副高、正高、流退5類狀態(tài)，且已知目前狀況向量S0=(135,

10、240,115,60,0)，根據(jù)歷史資料統(tǒng)計分析出各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣P。要求分析三年后的教師結(jié)構(gòu)以及三年內(nèi)為保持在編人數(shù)不變應補充的研究生數(shù)。 解：,相關(guān)程序,P=matrix(c(0.6,0.4,0,0,0,0,0.6,0.25,0,0.15,0,0,0.55,0.21,0.24,0,0,0,0.8,0.2,0,0,0,0,1),ncol=5,byrow=T);P S0=c(135,240,115,60,0);S0 # 當前狀態(tài) sum(S0) #當前編制人數(shù) S1=round(S0%*%P);S1 # 轉(zhuǎn)移到下一年時的狀態(tài) S11=S11+S15;S15=0;S1 #下一年補充人員后的狀

11、態(tài) S2=round(S1%*%P);S2 #轉(zhuǎn)移到兩年后的狀態(tài) S21=S21+S25;S25=0;S2 #兩年后再完補充人員的狀態(tài) S3=round(S2%*%P);S3 #轉(zhuǎn)移到叁年后的狀態(tài) S31=S31+S35;S35=0;S3 #叁年后再完補充人員的狀態(tài),項目選址決策,某建筑公司的施工隊長期分布在甲、乙、丙三地，大型施工設備統(tǒng)一調(diào)配，大型設備在三地區(qū)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P，應在何處建設備修理廠？ 解：設設備在甲、乙、丙各地停留的概率為S=(s1,s2,s3),s1+s2+s3=1 由SP=S求出平衡狀態(tài)時的概率向量S: (P20,必有平衡態(tài)),長期看，設備停留在甲處的可能性最大，故在甲

12、建廠合適。,相關(guān)R程序,# 首先建立轉(zhuǎn)移概率矩陣P P=matrix(c(0.8,0.2,0,0.2,0,0.8,0.2,0.2,0.6),ncol=3,byrow=T);P A=rbind(t(P)-diag(3),rep(1,3));A #建立求解平衡狀態(tài)的方程Ax=b b=rbind(t(t(rep(0,3))),1);b x=qr.solve(A,b);x #用QR分解法解線性方程組Ax=b S=t(x);S # 轉(zhuǎn)置Ax=b的解x,即為平衡狀態(tài)的概率向量S,關(guān)于最佳維修策略決策,設備狀態(tài)分5級: 優(yōu)(1),良(2),中(3),差(4),壞(5);轉(zhuǎn)移概率陣P;策略：只在狀態(tài)5時才修理

13、，費用8000元；策略：處于狀態(tài)4、5時修理，狀態(tài)4費用4000元；策略：處于狀態(tài)3、4、5時修，狀態(tài)3費用3000元； 解：均衡狀態(tài)下 5種狀態(tài)的概率：,策略：此時轉(zhuǎn)移概率矩陣將改變?yōu)椋?策略 ：此時轉(zhuǎn)移概率矩陣將改變?yōu)椋?相關(guān)R程序,P=matrix(c(0,0.6,0.2,0.1,0.1,0,0.3,0.4,0.2,0.1,0,0,0.4,0.4,0.2,0,0,0,0.5,0.5,1,0,0,0,0),ncol=5,byrow=T);P #建立轉(zhuǎn)移概率陣P A=rbind(t(P)-diag(5),rep(1,5));A #建立求解平衡狀態(tài)的方程Ax=b b=rbind(t(t(rep

14、(0,5))),1);b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;M1=8000*S5;M1 # 策略1的費用 P4,=c(1,rep(0,4));P #修改P的第4行 A=rbind(t(P)-diag(5),rep(1,5));A #建立求解平衡狀態(tài)的方程Ax=b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;M2=4000*S4+8000*S5;M2 #策略2的費用 P3,=c(1,rep(0,4));P #修改P的第3行 A=rbind(t(P)-diag(5),rep(1,5));A #建立求解平衡狀態(tài)的方程Ax=b x=qr.solve(A,b);x S=t(

15、x);S;M3=3000*S3+4000*S4+8000*S5;M3 #策略3,最佳營銷策略決策,某地主要由A、B、C叁廠銷售勞保鞋，該地區(qū)用戶數(shù)約5萬，每年廠家可從每個用戶處平均獲利200元。A廠調(diào)查獲得轉(zhuǎn)移概率矩陣P，算出均衡態(tài)市場份額S，感到不滿意；為此做了甲、乙兩個營銷方案估計轉(zhuǎn)移概率矩陣將分別變?yōu)镻甲、P乙，費用分別為C甲、C乙。那種利潤增加最多？,以利潤作為衡量標準,選擇甲方案(留住老客戶)更好！,相關(guān)R程序,P=matrix(c(0.6,0.2,0.2,0.1,0.5,0.4,0.2,0.3,0.5),ncol=3,byrow=T);P C1=100;C2=150;W=5;p=2

16、00 #甲、乙方案費用C,用戶數(shù)W,每戶獲利p A=rbind(t(P)-diag(3),rep(1,3));A #建立求解平衡狀態(tài)的方程Ax=b b=rbind(t(t(rep(0,3))),1);b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;SA=S1 #原方案下,平衡狀態(tài)的A廠份額SA P1=matrix(c(0.8,0.1,0.1,0.1,0.5,0.4,0.2,0.3,0.5),ncol=3,byrow=T);P1 A=rbind(t(P1)-diag(3),rep(1,3));A #建立求解平衡狀態(tài)的方程Ax=b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;M1=(S1-SA)*W*p-C1;M1 #甲方案平衡態(tài)時A廠新增利潤M1 P2=matrix(c(0.6,0.2,0.2,0.3,0.5,0.2,0.4,0.1,0.5),ncol=3,byrow=T);P2 A=rbind(t(P2)-diag(3),rep(1,3));A #建立求解平衡狀態(tài)的方程Ax=b x=qr.solve(A,b);x S=t(x);S;M2=(S1-SA)*W*p-C2;M2 #乙方案平衡態(tài)時A廠新增利潤M2,