高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題

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1、 必修二第六章第?2?節(jié)《平面向量的運算》解答題?(1) 一、解答題（本大題共?30?小題，共?360.0?分） 1. 在平行四邊形中?ABCD，已知𝐴𝐵?=?6,?𝐴𝐷?=?10，點𝐸,?𝐹分別為邊?BC?和邊?CD?上動點， 圖?1 圖?2 ???????????? (1)如圖?1，若平行四邊形?ABCD?為矩形，且𝐸,?𝐹

2、;分別為?BC?和?CD?上中點，求𝐴𝐸???𝐵𝐹； ，且2??𝐵𝐸???????=?3??𝐸𝐶??????，求?𝐴𝐸?????????𝐴𝐹??． (2)如圖?2，若 ? ? ? ? 2. 已知向量𝑎?=?(cos?𝛼,?sin?⼙

3、2;)，𝑏?=?(cos?𝛽,?sin?𝛽)，𝑐?=?(2,0)． ? ? (1)求向量𝑏?+?𝑐的長度的最大值； ? 𝑐 (2)設(shè)𝛼?=?𝜋，且𝑎??⊥?(𝑏?+??)?，求cos𝛽的值． 3 ? 3. 已知實數(shù)?0?≤?𝜃?≤?𝜋，𝑎?=?(cos?&#

4、120579;,?sin?𝜃)，𝑗?=?(0,1)，若向量??𝑏滿足?(𝑎??+??𝑏)???𝑗?=?0，且𝑎??·??𝑏?=?0． (1)若|?𝑎?????𝑏?|?=?2，求?𝑏； (2)若𝑓(𝑥)?=?|??𝑏?+?𝑥(𝑎?????𝑏)|在[1?,?+∞)?上為增函數(shù)，求實數(shù)𝜃的取值

5、范圍． 2 ???? ? 4. 如圖所示，在?𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵??=?𝑎??,??𝐴𝐷?=?𝑏?,?𝐵𝑀?=?2?𝐵𝐶,?𝐴𝑁?=?1?𝐴𝐵． 3 4

6、 (1)試用向量𝑎??,??𝑏來表示?𝐷𝑁?,??𝐴𝑀????????； ??? (2)𝐴𝑀交?DN?于?O?點，求𝐴𝑂?∶?𝑂𝑀的值． 5. 𝐴𝐵𝐶的內(nèi)角?A，B，C?的對邊分別為?a，b，c，且其面積為?S．

7、 cos?𝐴??= ① 𝑎???????𝑏 cos?𝐵 ????? ????? ，②|??𝐶𝐴?|2?=?𝐶𝐴?·?𝐵𝐴，③?√3?𝑆?=?𝑏2𝑐 3 2𝑎?2 4 ． (1)請從以上三個條件中任選?2?個，并求角?B； (2)在(1)的基礎(chǔ)上，點?D?在?AB?邊上，若sin∠𝐶𝐴

8、𝐷?=?√3sin∠𝐴𝐶𝐷，求sin∠𝐶𝐷𝐵． 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分． c?????? ? 6. 在銳角𝛥𝐴𝐵𝐶中，角?A、B、C?的對邊分別是?a、b、?，𝑚?=?(2cos𝐶,𝑎cos𝐵 𝑏cos&#

9、119860;)，𝑛?=?(𝑐,?1)?， ??? 且𝑚?⊥?𝑛?． (1)求角?C； (2)若邊長𝑐?=?√3，①求𝛥𝐴𝐵𝐶面積的最大值； ②現(xiàn)有長度為?4，5，6?的三根細(xì)鐵絲，問：哪根能夠圍成滿足題目條件的三角形(不計損耗)？ ? ? 7. 已知𝑎?=?(cos?𝛼,??sin?𝛼)，⻔

10、7;?=?(cos?𝛽,??sin?𝛽)，其中0?

11、 ??? ??? 8. 已知向量𝑚?=?(2sin𝜃,?sin𝜃?+?cos𝜃)，𝑛??=?(cos𝜃,??2???𝑚)，函數(shù)𝑓(𝜃)?=?𝑚???𝑛?的最小值為 𝑔(𝑚)(𝑚?∈?𝑅)， (1)當(dāng)𝑚?=?1時，求𝑔(𝑚)的值； (2)求&#

12、119892;(𝑚)； (3)已知函數(shù)?(𝑥)為定義在?R?上的增函數(shù)，且對任意的𝑥1,?𝑥2都滿足?(𝑥1?+?𝑥2)?=??(𝑥1)?+??(𝑥2).問： sin𝜃+cos𝜃??)?+??(3?+?2𝑚)?>?0對所有𝜃?∈?[0,?𝜋?]恒成 是否存在這樣的實數(shù)?m，使不等式?(𝑓(𝜃))????( 4  2

13、 立，若存在，求出?m?的取值范圍；若不存在，說明理由． ? ? 9. 已知向量𝑎?=?(cos𝑥,?sin𝑥)，𝑏?=?(3,??√3)，𝑥?∈?[0,?𝜋]． (1)若𝑎??//??𝑏，求?x?的值； (2)記𝑓(𝑥)?=?𝑎?????𝑏，求𝑓(𝑥)的最大值和最小值以及對應(yīng)的?x?的值．

14、 ? ? 10.?已知向量𝑎?=?(sin?𝜃,?1),?𝑏?=?(1,?cos?𝜃),???𝜋?

15、 11.?已知點𝑀(?2,0)，𝑁(2,0)，動點?P?滿足條件|PM|???|PN|?=?2√2.記動點?P?的軌跡為?W． (Ⅰ)求?W?的方程； ????? (Ⅱ)若?A，B?是?W?上的不同兩點，O?是坐標(biāo)原點，求OA ???? ??OB的最小值． ? 12.?已知函數(shù)𝑓(𝑥)?=?sin𝑥???√3cos𝑥?+?2，記函數(shù)𝑓(⻖

16、9;)的最小正周期為𝛽，向量𝑎??=?(2,?cos𝛼),?𝑏?= ? (1,?tan?(𝛼?+?𝛽?))?,?0?

17、𝛼?sin𝛼 13.?如圖，在四邊形?ABCD?中，𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴???𝐵，𝐴𝐷?=?3?𝐴𝐵𝐶為等邊三角形，E?是?CD?的中點.設(shè) ???? ? 𝐴𝐵??=?𝑎?，?𝐴𝐷?=?𝑏．

18、 (1)用𝑎?，?𝑏表示?𝐴𝐶??，?𝐴𝐸??????， ? ????????????? (2)求𝐴𝐸與𝐴𝐵夾角的余弦值． 14.?如圖，在△?𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶

19、?=?10，𝐵𝐶?=?8，且𝐶𝐷?=?𝐴𝐸?=?1，P?為邊 𝐷𝐴 𝐸𝐵 2 DE?上的中點，?𝐷𝐸????𝐶𝐴 (1)求sin∠𝐴𝐶𝐵的值； ?𝐶?? ????? (2)求????𝑃???𝐵𝑃的值． =?40．

20、 15.?設(shè)?P，Q?分別是梯形?ABCD?的對角線?AC?與?BD?的中點 (1)試用向量證明： ； (2)若𝐴𝐵?=?3𝐶𝐷，求?PQ：AB?的值. b???c ??? ?𝑛 16.?在𝛥𝐴𝐵𝐶中

21、，內(nèi)角?A、B、C?所對的邊分別為?a、?、?，已知向量𝑚?=?(cos?𝐵,?cos?𝐶)，?=?(𝑐,?𝑏???2𝑎) ??? 且𝑚?⊥?𝑛?． (1)求角?C?的大?。? ?????? ???? (2)若點?D?為邊?AB?上一點，且滿足?𝐴𝐷?=?𝐷𝐵，|?𝐶𝐷?|?=?√7，𝑐?=?2?√3，求𝛥

22、9860;𝐵𝐶的面積． (1)當(dāng)𝑚?=?1，𝜃?=?𝜋時，求|𝑎→???→𝑏|及𝑎→與→𝑏夾角的余弦值； 𝑎 𝑏 17.?已知：向量→?=?(2𝑚,?𝑚)，→?=?(sin𝜃?+?cos𝜃,?2sin𝜃cos𝜃)．

23、 2 𝑎???𝑏 (2)若給定sin𝜃?+?cos𝜃?∈?[??√2,?√2]，𝑚???0，函數(shù)𝑓(𝜃)?=?→???→?+?sin𝜃?+?cos𝜃的最小值為𝑔(𝑚)， 求𝑔(𝑚)的表達(dá)式。 ???? ???? 18.?已知𝑂𝐴??=?(2,1

24、)，?𝑂𝐵?=?(3,??2)，𝑂𝐶??=?(6???𝑚,??3???𝑚)． (1)若點?A，B，C?共線，求實數(shù)?m?的值; (2)若△?𝐴𝐵𝐶為直角三角形，求實數(shù)?m?的值． ???? ????? ?𝑂?? ???? ? 19.?如圖所示，在△?𝐴𝐵𝑂中，&#

25、119874;𝐶??=?1?𝑂𝐴，?𝑂𝐷?=?1?????𝐵，AD?與?BC?相交于?M?設(shè)𝑂𝐴??=?𝑎?，?𝑂𝐵?=?𝑏 4 2 ? ??????? (1)試用𝑎?，𝑏表示𝑂𝑀 ???? ???? (2)過?M?作直線?EF，分別交線段?AC，BD?于點

26、?E，𝐹.記𝑂𝐸??=?𝜆?𝑎?，𝑂𝐹??=?𝜇??𝑏，求證：1?+?3為定 𝜆 𝜇 值． ???? ???? 20.?在平面直角坐標(biāo)系中，O?為坐標(biāo)原點，點?A，B，C?滿足𝑂𝐶??=?1?𝑂𝐴??+?2??𝑂𝐵． 3 3

27、 ???𝐶 (1)求證：A，B，C?三點共線，并求|𝐴???|的值； ????? |𝐶𝐵| ??????????? ???? (2)已知𝐴(1,?cos𝑥)，𝐵(1?+?cos𝑥,?cos𝑥)，𝑥?∈?[??𝜋?,?0]，若函數(shù)𝑓(𝑥)?=?𝑂𝐴????𝑂𝐶????(2𝑚?+?2)|?

28、9860;𝐵?|的 3 3 最大值為?3，求實數(shù)?m?的值． ? ? ? ? ? ? ? ? 21.?已知𝑎，𝑏，|?𝑎?|?=?|?𝑏?|?=?1，且|?𝑎?+?𝑘?𝑏?|?=?√3|?𝑎???𝑘?𝑏?|，其中𝑘?>?0． (1)若𝑎?與?𝑏的夾角為6

29、0°，求?k?的值； (2)記𝑓(𝑘)?=?𝑎?????𝑏，當(dāng)?k?取任意正數(shù)時，𝑓(𝑘)?≥?𝑡2???𝑚𝑡對任意的𝑡?∈?[1,2]恒成立，求出實數(shù)?m 的取值范圍． ???? ??????????? ????? 22.?△?𝐴𝐵𝐶是邊長為?3?的等邊三角形，𝐵𝐸??=?2⼚

30、2;?𝐵𝐴，𝐵𝐹??=?𝜆?𝐵𝐶?(1?

31、9865;??； ? 3 ???? (2)當(dāng)𝜆為何值時，𝐴𝐸????𝐹𝐶取得最大值，并求出最大值． 𝑒 ???? 𝑒 ????? ???? 𝑒 23.?如圖，設(shè)𝑂𝑥,?𝑂𝑦是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，𝑒??1?,???2分別是?x?軸，y?軸正方向同向的單位向

32、 量，若向量𝑂𝑃??=?𝑥??𝑒??1?+?𝑦???2，則把有序數(shù)對(𝑥,?𝑦)叫做向量𝑂𝑃在坐標(biāo)系?xOy?中的坐標(biāo)，假設(shè)𝑂𝑃??= 3??𝑒??1?+?2???2． ????? (1)計算|?𝑂𝑃?|的大小； ???? (2)是否存在實數(shù)?n，使得

33、19874;𝑃?與向量?𝑏?=?(1,?𝑛)垂直，若存在求出?n?的值，若不存在請說明理由． ? ? ? 24.?已知向量𝑎?=?(𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥?+?𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥,?𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥)，向量Ү

34、87;?=?(𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥???𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥,?2√3𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥)，設(shè)函數(shù)𝑓(𝑥)?=?𝑎?? ? 𝑏?+?1(𝑥?∈?𝑅)的圖象關(guān)于直線𝑥?=?𝜋對稱，其中常數(shù)𝜔?∈?(0,2)． 3 (1)若

35、9909;?∈?[0,?𝜋]，求𝑓(𝑥)的值域； 2 (2)在(2)前提下求函數(shù)𝑓(𝑥)對稱軸方程及單調(diào)區(qū)間． ? ? 25.?已知向量𝑎?=?(2𝑠𝑖𝑛?𝑥,?cos?𝑥)，𝑏?=?(√3cos?𝑥,?2𝑐𝑜𝑠?𝑥)，定義函數(shù)𝑓(𝑥)?=?𝑎??·?

36、?𝑏???1． (1)求函數(shù)𝑓(𝑥)的最小正周期． (2)求函數(shù)𝑓(𝑥)的單調(diào)遞減區(qū)間． (3)求函數(shù)𝑓(𝑥)在區(qū)間[??𝜋?,?𝜋]上的最值，并求出取得最值時?x?的值． 6?3 ? ? 26.?已知向量𝑎?=?(sin𝑥,?cos𝑥)，𝑏?=?(√

37、3,?1)，𝑓(𝑥)?=?𝑎?????𝑏． (Ⅰ)求𝑓(𝑥)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間； (Ⅱ)若𝑓(𝛼)?=?6，𝛼?∈?(?𝜋?,?𝜋)，求cos𝛼的值． 5 2 ???? ???? ????????????? 27.?如圖，已知𝐴𝐵?⊥?

38、19861;𝐶，𝐴𝐵?=?√3𝐵𝐶?=?√3𝑎，𝑎?∈?[1,3]，圓?A?是以?A?為圓心、半徑為?2?的圓，圓?B 是以?B?為圓心、半徑為?1?的圓，設(shè)點?E、F?分別為圓?A、圓?B?上的動點，𝐴𝐸?//?𝐵𝐹?(且𝐴𝐸與𝐵𝐹同 向)，設(shè)∠𝐵𝐴𝐸?=?𝜃(

39、0579;?∈?[0,?𝜋])． ?????????? (Ⅰ)當(dāng)𝑎?=?√3，且𝜃?=?𝜋時，求𝐴𝐸???𝐴𝐶的值； 6 (Ⅱ)用?a，𝜃表示出?𝐶𝐸 ????? ???? ??𝐶𝐹，并給出一組?a，𝜃的值，使得𝐶𝐸 ????? ??w

40、862;𝐹最?。? 28.?已知平面向量𝑎??,??𝑏滿足：|?𝑎??|?=?2,?|??𝑏?|?=?1. (1)若(𝑎??+?2??𝑏)???(𝑎?????𝑏)?=?1，求𝑎?????𝑏的值； (2)設(shè)向量𝑎??,??𝑏的夾角為𝜃.若存在𝑡?∈?

41、𝑅，使得|?𝑎??+?𝑡??𝑏?|?=?1，求𝑐𝑜𝑠𝜃的取值范圍． 29.?在𝛥𝐴𝐵𝐶中，設(shè)角?A，B，C?的對邊分別為?a，b，c，且滿足𝑐?𝑎?=?sin𝐶+sin𝐵． 𝑐?𝑏 sin𝐴

42、 (1)求角?B?的大小； ??? ??? (2)設(shè)𝑚?=?(√3cos?𝐶?,??sin?𝐴)，𝑛??=?(cos?𝐶?,?cos?𝐴)，求𝑚???𝑛?的取值范圍． 2 2 2 2 ? ? ? ? 30.?已知𝑎，𝑏，𝑐是同一平面內(nèi)的三個向量，其中𝑎?=?(1,?√3).

43、 (1)若|?𝑐??|?=?4，且𝑐??//?𝑎?，求𝑐?的坐標(biāo)； (2)若|??𝑏?|?=?1，且 ? ? ，求𝑎與𝑏的夾角𝜃． ∴??𝐴𝐸??????·??𝐴𝐹???=?(𝐴𝐵????????+ ?𝐴𝐷???????)?·?(𝐴𝐷?????????+ ?&

44、#119860;𝐵)???? ? 【答案與解析】 ???????????? ????? ????? ????? ????? ?𝐴?? 1.答案：解：(1)由題意可知不妨設(shè)𝐴𝐵?,?𝐴𝐷為基底， ∵?𝐴𝐸?=?𝐴𝐵?+?𝐵𝐸?=?𝐴𝐵?+?1?????𝐷， 2 ???? ???? ???? ???? ???? ???? &

45、#119861;𝐹??=?𝐵𝐴?+??𝐴𝐷?+?𝐷𝐹??=???𝐴𝐵??+??𝐴𝐷?+?1?𝐴𝐵??=???1?𝐴𝐵??+??𝐴𝐷， 2 2 ??????????? ???? ?????? ???? ?????? ???? ?????? ∴?𝐴𝐸?·?𝐵𝐹

46、;??=?(𝐴𝐵?+?1?𝐴𝐷)?·?(??1?𝐴𝐵?+?𝐴𝐷)?=???1?𝐴𝐵?2?+?1?𝐴𝐷2?=?32． 2 2 2 2 ???? ????? ???? ???? ????? ????? ????? ????? ?𝐴?? (2)?∵?𝐷𝐹??=?2?𝐹𝐶，2?𝐵𝐸??=?3

47、?𝐸𝐶， ∴?𝐴𝐸?=?𝐴𝐵?+?𝐵𝐸?=?𝐴𝐵?+?3?????𝐷， 5 ???? ?????? ???? ????? 𝐴𝐹?=?𝐴𝐷?+?𝐷𝐹??=??𝐴𝐷?+?2?𝐴𝐵， 3 3 2 5 3 ???? ?????? ????

48、 =?2?𝐴𝐵?2?+?3??𝐴𝐷2?+?7?𝐴𝐷?·?𝐴𝐵??=?24?+?60?+?42?=?126． 3 5 5 2 2 解析：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，向量的加減法，平面向量的基本定理，屬 于中檔題． ???? (1)由題意可知不妨設(shè)𝐴𝐵?,??𝐴𝐷為基底，由向量的加減的幾何意義的數(shù)量積即可求出． (2)根據(jù)向量的加減的幾何

49、意義和向量的數(shù)量積即可求出． ? 2.答案：解：(1)由題意，向量?𝑏?=?(cos𝛽,?sin𝛽)，𝑐?=?(2,0)， 可得?𝑏?+?𝑐??=?(cos𝛽?+?2,?sin𝛽)，則|??𝑏?+?𝑐??|2?=?(cos𝛽?+?2)2?+?sin2𝛽?=?5?+?4cos𝛽． 因為?1?≤?cos𝛽?≤?1，所以1?≤?|??𝑏

50、?+?𝑐??|2?≤?9，即1?≤?|??𝑏?+?𝑐??|?≤?3． 即當(dāng)cos𝛽?=?1時，?|??𝑏?+?𝑐??|的最大值為?3． ? ? (2)由𝛼?=?𝜋，則𝑎?=?(1?,?√3)，又由?𝑏?=?(cos𝛽,?sin𝛽)，𝑐?=?(2,0)， 3 ? ? 得𝑎????(𝑏?+?𝑐)?=?(

51、1?,?√3)???(cos𝛽?+?2,?sin𝛽)?=?1?cos𝛽?+?√3?sin𝛽?+?1?=?sin(𝛽?+?𝜋)?+?1， 2 2 2 2 6 ? ? ? ? 因為𝑎??⊥?(𝑏?+?𝑐)，所以𝑎????(𝑏?+?𝑐)?=?0，即sin(𝛽?+?𝜋)?=??1， 6 解得𝛽?+?𝜋?=?2

52、9896;𝜋???𝜋，𝑘?∈?𝑍可得𝛽?=?2𝑘𝜋???2𝜋，𝑘?∈?𝑍，所以cos𝛽?=???1． 6 2 3 2 解析：本題考查平面向量和三角函數(shù)的綜合，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握先關(guān)的結(jié)論． (1)由已知可得?𝑏?+?𝑐?坐標(biāo)，可得|??𝑏?+?𝑐??|，由三角函數(shù)最值可得答案； (2)

53、由(1)可得向量坐標(biāo)，由垂直可得數(shù)量積為?0，由等式和三角函數(shù)可得sin(𝛽?+?𝜋)?=??1，可得cos𝛽 6 的值． 3.答案：解：(1)設(shè)→𝑏?=?(𝑥?,?𝑦?)，則𝑎→?+?→𝑏?=?(𝑥??+?cos𝜃,?𝑦??+?sin𝜃)，∵??𝑎????𝑏?=?0， 由|𝑎?????𝑏|?=

54、?2得(𝑎→???𝑏)???=?4，得𝑎→2???2𝑎→???𝑏?+?𝑏?2?=?4，得1???0?+?|𝑏|???=?4， 得|𝑏?|?=??√3， ∵?(𝑎→?+?𝑏)???𝑗?=?0，∴?𝑦0?+?sin𝜃?=?0，∴?𝑦0?=??sin𝜃， 0 0 0 0 →?2 → → →?2 → → →

55、 ∵?𝑎→???𝑏?=?0，∴?𝑥0cos𝜃?+?𝑦0sin𝜃?=?0，∴?𝑥0?= → sin?2𝜃 cos𝜃 ， 2 2 sin?2 ∴?|??𝑏?|2?=?𝑥0?+?𝑦0?=?3???(?cos?𝜃?)2?+?(?sin?𝜃)2?=?3???tan𝜃?=?±?√3， ∵?𝜃?∈?[

56、0,?𝜋]，∴?𝜃?=?𝜋，或𝜃?=?2𝜋， 3 3 3 2 ∴當(dāng)𝜃?=?𝜋時，𝑥0?=?3，𝑦0?=?? √3， 2 3 2 當(dāng)𝜃?=?2𝜋時，𝑥0?=???3，𝑦0?=?? √3， 2 2?????????????? =?(??3?,??????√3)?． √3)?或𝑏 所以𝑏

57、;?=?(?3?,?? → → 2 2 2 (2)𝑓(𝑥)?=?|??𝑏?+?𝑥(𝑎?????𝑏)|?=?|𝑥?𝑎??+?(1???𝑥)??𝑏?|?=?√𝑥2?𝑎?2?+?(1???𝑥)2??𝑏??+?2𝑥(1???𝑥)?𝑎?????𝑏 =?√𝑥2?+?(1???&#

58、119909;)2|??𝑏?|2?=?√(1?+??𝑏??)𝑥?2???2|??𝑏?|2𝑥?+?|??𝑏?|2， 2 2 ≤?1，即|??𝑏?|?≤?1， ∵?𝑓(𝑥)在[1?,?+∞)上為增函數(shù)，所以對稱軸? 2 →?2 ?2|𝑏?| →?2 2(1+|𝑏?|?)  2 設(shè)𝑏?=?(𝑥?,?&

59、#119910;?)，則→𝑎?+?𝑏?=?(𝑥??+?cos𝜃,?𝑦??+?sin𝜃)， 又∵?(𝑎→?+?𝑏)???𝑗?=?0，且𝑎→???𝑏?=?0，∴?𝑦0?=??sin𝜃，𝑥0?=?sin?2𝜃． → → 0 0 0 0 → → → cos𝜃 ? 2 2 2sin?2 ∴?|?𝑏?|2?=

60、?𝑥0?+?𝑦0?=?(?cos?𝜃?)2?+?sin2?𝜃???1，即sin2𝜃?≤?cos2𝜃，cos2𝜃?≥?1， ∴?cos𝜃?∈?[?√2?,?1?∪?[?1,???√2?，∴?𝜃?∈?[0,?𝜋?∪?[3𝜋?,?𝜋?． 2 2 4 4 (1)設(shè)→𝑏?=?(𝑥?,?𝑦?)，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算

61、，求得|𝑏?|?=??√3，由(𝑎→?+?𝑏)???𝑗?=?0，𝑎→???→𝑏?=?0進(jìn)而得 解析：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算公式的應(yīng)用，以及函數(shù)的恒成立問題的求解，合理運算、 化簡，轉(zhuǎn)化為與二次函數(shù)相關(guān)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，換元思想， 以及分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題． → → → 0 0 到𝑦0和𝑥0，即可得到向量?𝑏的坐標(biāo)； ? ? (2)根據(jù)向量的模的運算

62、，求得𝑓(𝑥)，又由函數(shù)𝑓(𝑥)?=?|𝑏?+?𝑥(𝑎????𝑏)|在[1?,?+∞)?上為增函數(shù)，得到 2 |??𝑏?|?≤?1，故可得到cos2𝜃?≥?1，即可求解𝜃得取值范圍； 2 4.答案：解：(1)?∵?𝐴𝑁?=?1?𝐴𝐵， 4 ?? ????? ∴??𝐴𝑁?=?1?

63、𝐴𝐵?=?1?𝑎?， 4 4 ?????? ∴??𝐷𝑁?=?𝐴𝑁 ?????? ???? ?????? ? ??𝐴𝐷?=?1?𝐴𝐵????𝐴𝐷?=?1?𝑎????𝑏； 4??????????????4 ∵?𝐵𝑀?=?2?𝐵𝐶， 3 ?????

64、???? ? ∴?𝐵𝑀?=?2?𝐵𝐶??=?2??𝐴𝐷?=?2?𝑏， 3 3 3 ????? ???? ????? ???? ? ∴?𝐴𝑀?=?𝐴𝐵??+?𝐵𝑀?=?𝐴𝐵??+?2??𝐴𝐷?=?𝑎?+?2??𝑏； 3 3 (2)𝐷，O，N?三點共線，

65、 則?𝐷𝑂 ???? ,?𝐷𝑁共線，存在實數(shù)𝜆，使?𝐷𝑂 ???? ? =?𝜆?𝐷𝑁?=?1?𝜆?𝑎???𝜆??𝑏， 4 ∴??𝐴??𝑂???=??𝐴????𝐷???+??𝐷????𝑂???=??𝑏?+ 𝜆?

66、9886;????𝜆??𝑏 4 2 1 4 ? =?1?𝜆?𝑎??+?(1???𝜆)?𝑏， 4 ???? ????? 同理，A，O，M?三點共線，存在𝜇，𝐴𝑂??=?𝜇?𝐴𝑀?=?𝜇?𝑎??+?2?𝜇??𝑏， 3 1 𝜆?=?𝜇 ∴{ , 1???𝜆?=

67、𝜇 3 14， 解得𝜆?=?6，𝜇?= 7 3 ???? ∴?𝐴𝑂??= 3 14 ????? 𝐴𝑀?,??𝑂𝑀 ?????? =?11?𝐴𝑀， 14 ∴?𝐴𝑂：𝑂𝑀?=?3：11． 解析：本題考查用基底表示向量以及平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于中檔題． ??

68、???? ????????? ? ???? ?????? (1)根據(jù)條件便可得到𝐴𝑁?=?1?𝑎?,?𝐵𝑀?=?2?𝑏，由向量加法、減法的幾何意義即可得到𝐷𝑁?=?𝐴𝑁 4 3 ? ????? ? 1??𝑎???𝑏，𝐴𝑀?=??𝑎?+?2?𝑏； 4 3  ?????? ??𝐴

69、;𝐷?= =?𝜆??𝐷𝑁?=?1?𝜆?𝑎????𝜆??𝑏，從而有?𝐴𝑂???????=?1?𝜆?𝑎???+?(1???𝜆)??𝑏，同理可得 ?????? (2)由?D，O，N?三點共線，便有𝐷𝑂 ???  4?????????????????????????????4 1?𝜆?=?&#

70、120583; ????? ? 𝐴𝑂?=?𝜇?𝑎??+?2?𝜇?𝑏，這便可得到{ 4 3 1???𝜆?=?2?𝜇 3 5.答案：解：對于條件①，  ，可解出𝜇?=?3?，這樣便能得出?AO：OM． 14 cos𝐵?， 由正弦定理得sin𝐴?= cos𝐴 sin𝐵 則?tan?𝐴?=?tan?B，可得𝐴

71、?=?𝐵． 對于條件②， ????? ????? ????? ???? 由|??𝐶𝐴?|2?=?𝐶𝐴?·?𝐵𝐴，可得|??𝐶𝐴?|2???𝐶𝐴?·?𝐵𝐴??=?0， ????? 即?𝐶𝐴?·?(𝐶𝐴 ????? +?𝐴𝐵) ???? =??w

72、862;𝐴?·?𝐶𝐵?=?0，則𝐶?=?𝜋． 2 √3??𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛?𝐴?=?𝑏 對于條件③，易得 1 2 2+𝑐2𝑎?2 4 ， 2√3??sin?𝐴?×?1?=?𝑏?2+𝑐2𝑎 2， 即4?× 1  2?2𝑏𝑐

73、; 𝐵𝐶𝐷中，?????? =?sin??4， sin?∠𝐶𝐷𝐵 即?1?sin?𝐴?=?cos?A，得?tan?𝐴?=?√3，故?A=?𝜋． √3 3 若選①②: (1) 𝐴𝐵𝐶是以角?C?為直角的等腰直角三角形， 所以𝐵?=?𝜋． 4 (2)由sin∠𝐶𝐴𝐷?=?√3sin∠

74、𝐴𝐶𝐷，可得𝐶𝐷?=?√3𝐴𝐷， 不妨設(shè)𝐴𝐷?=?1，則𝐶𝐷?=?√3， 設(shè)𝐴𝐶?=?𝑥，由余弦定理可得√2?=?𝑥?2+13?， 2 2𝑥 得𝑥?=?√2+√10，所以𝐵𝐶?=?𝐴𝐶?=?√2+√10， 2 2 𝜋

75、√2+√10 √3 2 所以sin∠𝐶𝐷𝐵?=?√3+√15． 6 若選②③: (1) 𝐴𝐵𝐶是以角?C?為直角的直角三角形， 又𝐴?=?𝜋，所以𝐵?=?𝜋． 3 6 (2)由sin∠𝐶𝐴𝐷?=?√3sin∠𝐴𝐶𝐷，可得𝐶𝐷?=?√3𝐴𝐷，

76、 不妨設(shè)𝐴𝐷?=?1，則𝐶𝐷?=?√3， 設(shè)𝐴𝐶?=?𝑥，由余弦定理可得cos?𝜋?=?𝑥?2+13?， 3 2𝑥 得𝑥?=?2， 故由勾股定理的逆定理可得𝐶𝐷?⊥?𝐴𝐷，所以sin∠𝐶𝐷𝐵?=?1． 若選①③， (1)則易知△?𝐴𝐵Ү

77、62;為正三角形，可得𝐵?=?𝜋． 3 (2) 𝐴𝐵𝐶為正三角形，所以𝐴?=?𝜋， 3 又sin∠𝐶𝐴𝐷?=?√3sin∠𝐴𝐶𝐷， 所以sin∠𝐴𝐶𝐷?=?1，所以∠𝐴𝐶𝐷?=?𝜋， 2 6 所以𝐶𝐷?⊥?

78、𝐴𝐵，所以sin∠𝐶𝐷𝐵?=?1． 解析：本題考查正余弦定理，三角形面積公式，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題． 選①②：(1) 𝐴𝐵𝐶是以角?C?為直角的等腰直角三角形，故可得解?B； (2)由余弦定理求得?AC?的值，再由正弦定理可得sin∠𝐶𝐷𝐵． 選②③:?(1) 𝐴𝐵𝐶是以角?C?為直角的等腰直角三角形，故可得解?B；

79、(2)由余弦定理求得?AC?的值，再由勾股定理可得𝐶𝐷?⊥?𝐴𝐷，故得sin∠𝐶𝐷𝐵． 選①③:?(1) 𝐴𝐵𝐶為正三角形，故得角?B； (2)求得∠𝐴𝐶𝐷?=?𝜋，故可得𝐶𝐷?⊥?𝐴𝐵，故得sin∠𝐶𝐷𝐵． 6 ??? 6.答案：解：(1)

80、?∵?𝑚?⊥?𝑛??，∴?2𝑐cos𝐶???(𝑎cos𝐵?+?𝑏cos𝐴)?=?0， 由正弦定理得2sin𝐶cos𝐶???(sin𝐴cos𝐵?+?cos𝐴sin𝐵)?=?0， 即2sin?𝐶cos?𝐶???sin?(𝐴?+?𝐵)?=?0， ∴?2sin𝐶cos𝐶

81、???sin𝐶?=?0， 在𝛥𝐴𝐵𝐶中， ， ，∴?sin𝐶?≠?0，∴?cos𝐶?=?1， 2 ； (2)①由(1)知𝐶?=?𝜋，𝑐?=?√3， 3 由余弦定理得𝑐2?=?𝑎2?+?𝑏2???2𝑎𝑏cos𝐶，得3?=?𝑎2?+?𝑏2???

82、19886;𝑏， 由3?=?𝑎2?+?𝑏2???𝑎𝑏???2𝑎𝑏???𝑎𝑏，即𝑎𝑏???3，當(dāng)且僅當(dāng)𝑎?=?𝑏?=?√3等號成立， 4 4????面積最大值為34 又𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶???√3?×?3?=?3√3 √3． sin𝐴??= ②由正弦定理得 si

83、n𝐵??= sin𝐶??=? =?2，即𝑎?=?2sin𝐴,?𝑏?=?2sin𝐵， 𝑎 𝑏 𝑐?√3  √3 =?2sin𝐴?+?2[????????? 1 2 𝐴𝐵𝐶的周長為𝑎?+?𝑏?+?𝑐?=?2sin𝐴?+?2sin𝐵?+?√3 √3 cos

84、9860;?+ sin𝐴]?+?√3 2 2 =?3sin𝐴?+?√3cos𝐴?+?√3 ， 𝐴𝐵𝐶為銳角三角形，所以 ，得 ， 所以 ，所以 所以周長∈?(3?+?√3,?3√3], 由5?∈?(3?+?√3,?3√3],, 所以只能長度為?5?的鐵絲能滿足條件． 解析：本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變換和基本不 等式，是中檔題． ??? (1)由&#

85、119898;?⊥?𝑛??，得2𝑐cos𝐶???(𝑎cos𝐵?+?𝑏cos𝐴)?=?0，由正弦定理得2sin𝐶cos𝐶???(sin𝐴cos𝐵?+ cos𝐴sin𝐵)?=?0，化簡得cos𝐶?=?1，可得角?C； 2 (2)①由余弦定理得3?=?𝑎2?+?𝑏2???𝑎𝑏，利用基本不等式得出?ab?

86、的最大值可得𝛥𝐴𝐵𝐶面積的最大值； ②由正弦定理得𝑎?=?2sin𝐴,?𝑏?=?2sin𝐵，所以△?𝐴𝐵𝐶的周長為𝑎?+?𝑏?+?𝑐?=?2sin𝐴?+?2sin𝐵?+?√3，由三 角恒等變換和三角函數(shù)性質(zhì)可得周長的取值范圍，可得結(jié)論． ? 7.答案：解：(1)由已知得|𝑎?|?=?|𝑏|?

87、=?1， ? 則(𝑎??+??𝑏)(𝑎?????𝑏)?=?𝑎?2????𝑏2?=?0， 因此?(𝑎?+?𝑏)?⊥?(𝑎?????𝑏)， 因此，向量𝑎??+??𝑏與𝑎?????𝑏所成的夾角為90°； ， ? |?𝑎????𝑘?𝑏?|?=?√(cos?𝛼???𝑘

88、cos?𝛽)2?+?(sin?𝛼???𝑘sin?𝛽)2， ∴?√(𝑘cos?𝛼?+?cos?𝛽)2?+?(𝑘sin?𝛼?+?sin?𝛽)2 =?√(cos?𝛼???𝑘cos?𝛽)2?+?(sin?𝛼???𝑘sin?𝛽)2， 整理得：cos(𝛼???𝛽)?=?0， ∵?0?

89、72;?

90、|?=?1，(𝑎?+??𝑏)(𝑎?????𝑏)?=?𝑎?2????𝑏2?=?0，可得(𝑎?+?𝑏)?⊥?(𝑎?????𝑏)，即可得解； (2)由𝑘?𝑎?+??𝑏與a→????𝑘??𝑏的模相等，利用模的坐標(biāo)計算公式計算化簡得cos(𝛼???𝛽)?=?0，再由0?

91、120587;，可得結(jié)論． ??? 8.答案：解：(1)?∵?𝑓(𝜃)?=?𝑚???𝑛? =?2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃???(2?+?𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃?+?𝑐𝑜𝑠𝜃)， 令𝑡?=?𝑠𝑖𝑛&

92、#120579;?+?𝑐𝑜𝑠𝜃?=?√2sin(𝜃?+?𝜋?)，𝑡?∈?[?√2,?√2]， 4 ∴?2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃?=?𝑡2???1， 當(dāng)𝑚?=?1時，𝑔(𝑚)?=?(𝑡?2???3𝑡???1)𝑚𝑖⻕

93、9;?， ∵?𝑦?=?𝑡2???3𝑡???1對稱軸為𝑥?=?3?>?√2，在[?√2,?√2]上單調(diào)遞減， 2 ∴?𝑡?=?√2時，(𝑡?2???3𝑡???1)𝑚𝑖𝑛?=?1???3√2， ∴?𝑔(𝑚)?=?1???3√2． (2)令𝐹(𝑡)?=?𝑡2???(𝑚?+?2)𝑡???1，𝑡

94、?∈?[?√2,?√2]， 對稱軸為𝑡?=?𝑚?+?1， 2 ①當(dāng)𝑚?+?1?≤??√2，即𝑚?≤??2√2???2時， 2 𝐹(𝑡)在[?√2,?√2]上單調(diào)遞增， ∴?𝐹(𝑡)?𝑚𝑖𝑛?=?𝐹(?√2)?=?(𝑚?+?2)√2?+?1; ②當(dāng)?√2?

95、時， 2 𝐹(𝑡)在[?√2,?𝑚?+?1]上單調(diào)遞減，在[??𝑚?+?1,?√2]上單調(diào)遞增， 2 2 ∴?𝐹(𝑡)𝑚𝑖𝑛?=?𝐹( 𝑚????????𝑚2?+?4𝑚?+?8 +?1)?=?????????????; 2??????????????4 ③當(dāng)𝑚?+?1?≥?√2，即𝑚?≥?2√2???2時，

96、 2 𝐹(𝑡)在[?√2,?√2]上單調(diào)遞減， ∴?𝐹(𝑡)?𝑚𝑖𝑛?=?𝐹(√2)?=?1???(𝑚?+?2)√2． (𝑚?+?2)√2?+?1,?𝑚?≤??2√2???2 ∴?𝑔(𝑚)?=?{??𝑚?2+4𝑚+8?,??2√2???2?

97、𝑚?≥?2√2???2 (3)?(𝑥1?+?𝑥2)?=??(𝑥1)?+??(𝑥2)， 可令𝑥1?=?𝑥2?=?0，可得?(0)?=?0， 由𝑥1?=?𝑥，𝑥2?=??𝑥，可得?(𝑥)?+??(?𝑥)?=?0， 可得函數(shù)?(𝑥)為?R?上的奇函數(shù)， sin𝜃+cos𝜃??)?+??(3?+?2

98、19898;)?>?0對所有𝜃?∈?[0,?𝜋]恒成立， ∵使不等式?(𝑓(𝜃))????( ∴只需使不等式 4  2 ?(2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃???(2?+?𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃?+?𝑐𝑜𝑠𝜃)?? +?(3?+?2&#

99、119898;)?>?0對所有𝜃?∈?[0,?𝜋]恒成立， 2 4 ) sin𝜃+?cos𝜃 ∴??(2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃???(2?+?𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃?+?𝑐𝑜𝑠𝜃)?? >???(3?+?2𝑚)?=??(?3??

100、?2𝑚)， ∵函數(shù)?(𝑥)為定義在?R?上的增函數(shù)， 4 ) sin𝜃+?cos𝜃 ∴?2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃???(2?+?𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃?+?𝑐𝑜𝑠𝜃)?? 4 sin𝜃+?cos𝜃

101、 ∴?𝑚?>?𝑡(2?𝑡)+?𝑡?(2?𝑡)?=?𝑡?+?2， >??3???2𝑚， 令𝑡?=?𝑠𝑖𝑛𝜃?+?𝑐𝑜𝑠𝜃，∴?2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃?=?𝑡2???1， ∵?𝜃

102、;?∈?[0,?𝜋]， 2 ∴?𝑡?=?√2sin(𝜃+?𝜋)?∈?[1,?√2]， 4 ∴原問題等價于𝑡2???1???(𝑚?+?2)𝑡???4?+?3?+?2𝑚?>?0對𝑡?∈?[1,?√2]恒成立， 𝑡 ∴?(2???𝑡)𝑚?>?2𝑡???𝑡2?+?4???2對𝑡?∈?[1,?√2]恒成立， 𝑡 ∵?2?

103、??𝑡?>?0， 2 2?𝑡 𝑡 𝑡 設(shè)𝜑(𝑡)?=?𝑡?+?2，任取𝑡1,?𝑡2?∈?[1,?√2]，且𝑡1?

104、593;(𝑡1)???𝜑(𝑡2)?=?𝑡1?+ 𝑡1?𝑡2 𝑡1?𝑡2 ∵?1?≤?𝑡1??0，𝑡1???𝑡2???2?

105、9905;1)???𝜑(𝑡2)?>?0，即𝜑(𝑡1)?>?𝜑(𝑡2)， ∴?𝜑(𝑡)?=?𝑡?+?2在[1,?√2]上為減函數(shù)， 𝑡 (或由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)直接可得減函數(shù)) ∴?𝜑(𝑡)𝑚𝑎𝑥?=?𝜑(1)?=?3， sin𝜃+cos𝜃??)?+??(3?+?2

106、9898;)?>?0對所有𝜃?∈?[0,?𝜋]恒成立． ∴?𝑚?>?3時，不等式?(𝑓(𝜃))????( 4  2 解析：本題綜合考查了三角函數(shù)綜合，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，二次函數(shù)最值，向量數(shù)量積的 坐標(biāo)表示，考查恒成立問題，屬于難題． (1)把𝑚?=?1，代入相應(yīng)的向量坐標(biāo)表示式，然后，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡函數(shù)解析式即 可； (2)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題，對對稱軸與區(qū)間[?√2,?√2]的位置關(guān)系進(jìn)行討論；

107、sin𝜃+cos𝜃??]?>??(?3?? (3)利用函數(shù)?(𝑥)為?R?上的奇函數(shù)，得到?[2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃???(2?+?𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃?+?𝑐𝑜𝑠𝜃)?? 4 sin𝜃+cos𝜃??>??3???2⻕

108、8;， 2𝑚)，然后，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化成2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃???(2?+?𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃?+?𝑐𝑜𝑠𝜃)?? 4 最后，利用換元法令𝑡?=?𝑠𝑖𝑛𝜃?+?𝑐𝑜w

109、904;𝜃，轉(zhuǎn)化成𝑚?>?𝑡(2?𝑡)+?𝑡?(2?𝑡)?=?𝑡?+?2，求解函數(shù)𝜑(𝑡)?=?𝑡?+?2在[1,?√2] 2?𝑡 𝑡 2 𝑡 的最大值為?3，從而解決問題． ? ? 9.答案：?解：(1)因為𝑎?=?(cos𝑥,sin𝑥)，𝑏?=?(3,??√3)，𝑎??//??

110、9887;， 所以?√3cos𝑥=?3sin𝑥． 若𝑐𝑜𝑠𝑥?=?0， 則𝑠𝑖𝑛𝑥?=?0，與sin2𝑥?+?cos2𝑥?=?1矛盾， 故𝑐𝑜𝑠𝑥?≠?0． 于是tan𝑥?=???√3 3 又𝑥?∈?[0,?𝜋]，所以ү

111、09;?=?5𝜋． 6 ? (2)𝑓(𝑥)?=?𝑎????𝑏?=?(cos𝑥,sin𝑥)??(3,??√3) 當(dāng)𝑥?+?𝜋?=?𝜋，即𝑥?=?5𝜋時，𝑓(𝑥)取到最小值?2√3． =?3cos𝑥???√3sin𝑥 =?2√3cos(𝑥?+?𝜋)． 6 因為𝑥?∈?[0,?𝜋]， 所以𝑥?+?𝜋?∈?[𝜋?,?7𝜋]， 6 6 6 從而?1?≤?cos(𝑥?+?𝜋)?≤?√3． 6 2 于是，當(dāng)𝑥?+?𝜋?=?𝜋，即𝑥?=?0時，𝑓(𝑥)取到最大值?3； 6 6 6 6