第五單元《數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問(wèn)題》教材解析 人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)

《第五單元《數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問(wèn)題》教材解析 人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第五單元《數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問(wèn)題》教材解析 人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、人教版數(shù)學(xué) 六年級(jí)下冊(cè) 《數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問(wèn)題》教材解析 一、教材介紹 專(zhuān)門(mén)安排“數(shù)學(xué)廣角”這一單元 , 向?qū)W生滲透一些重要 的數(shù)學(xué)思想方法。和以往的舊教材相比 ,這部分內(nèi)容是新增 的內(nèi)容。本單元教材通過(guò)幾個(gè)直觀例子,借助實(shí)際操作,向?qū)W 生介紹“鴿巢問(wèn)題” , 使學(xué)生在理解“鴿巢問(wèn)題”這一數(shù)學(xué) 方法的基礎(chǔ)上 ,對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”,會(huì)用 “鴿巢問(wèn)題”加以解決。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中,有一類(lèi)與“存在性” 有關(guān)的問(wèn)題。在這類(lèi)問(wèn)題中,只需要確定某個(gè)物體(或某個(gè)人) 的存在就可以了 ,并不需要指出是哪個(gè)物體 (或人)。這類(lèi)問(wèn) 題依據(jù)的理論 ,我們稱(chēng)之為“抽屜原理”?！俺閷显?/p>

2、理”最 先是由 19 世界的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 的,所以又稱(chēng)“狄利克雷原理” ,也稱(chēng)為“鴿巢問(wèn)題”。“鴿 巢問(wèn)題”的理論本身并不復(fù)雜 , 甚至可以說(shuō)是顯而易見(jiàn)的。 但“鴿巢問(wèn)題”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的 ,用它可以解決許多 有趣的問(wèn)題 ,并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)論。因此 , “鴿巢問(wèn)題”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應(yīng) 用。 “抽屜原理”來(lái)源于一個(gè)基本的數(shù)學(xué)事實(shí)。將三個(gè)蘋(píng)果放 到兩只抽屜里，要么在一只抽屜里放兩個(gè)蘋(píng)果，而另一只抽 屜里放一個(gè)蘋(píng)果；要么在一只抽屜里放三個(gè)蘋(píng)果，而另一只 抽屜里不放。這兩種情況可用一句話概括：一定有一只抽屜 里放入兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋(píng)

3、果。雖然我們無(wú)法斷定哪只抽屜 里放入至少兩個(gè)蘋(píng)果，但這并不影響結(jié)論。如果我們把一切 可以與蘋(píng)果互換的事物稱(chēng)為元素，而把一切可以與抽屜互換 的事物稱(chēng)為集合，那么上面的結(jié)論就可以表述為：假如把多 于 個(gè)元素按任一確定的方式分成 個(gè)集合，那么有一個(gè)集 人教版數(shù)學(xué) 六年級(jí)下冊(cè) 合中至少含有 2 個(gè)元素。還可以表述為：把多于 ( 是正 整數(shù))個(gè)元素按任一確定的方式分成 個(gè)集合，那么一定有一 個(gè)集合中至少含有（ +1）個(gè)元素?！俺閷显怼笔菙?shù)學(xué)的 重要原理之一，在數(shù)論、集合論和組合論中有很多應(yīng)用。它 也被廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中，如招生錄取、就業(yè)安排、資 源分配、職稱(chēng)評(píng)定等方面，我們

4、經(jīng)常會(huì)看到隱含在其中的“抽 屜原理”。 由此可見(jiàn)，所謂“抽屜原理”，實(shí)際上是一種解決某種特 定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)或生活問(wèn)題的模型，體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的思想方 法。讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，初步形成模型思 想，體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力、 推理能力和應(yīng)用能力，這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 年版）》的重要要求，也是本單元的編排意圖和價(jià)值取向。 教材編排的“抽屜原理”涉及三種基本的形式：第一種， 只要物體的數(shù)量比抽屜多，那么一定有一個(gè)抽屜放進(jìn)了至少 兩個(gè)物體。那么，這里的“一定有一個(gè)抽屜”是什么意思？ “至少兩個(gè)物體”是什么意思？“一定有一個(gè)抽屜”是存在 性；

5、“至少兩個(gè)物體”是可以多于兩個(gè)物體，可以是兩個(gè)， 也可以是三個(gè)、四個(gè)甚至更多。第二種，即是“把多于 kn （k 是正整數(shù)）個(gè)元素放入 n 個(gè)集合，總有一個(gè)集合里至少 有（k+1）元素”。若 k 為 1，就是第一種情況，可見(jiàn)第一種 情形實(shí)際是第二種情形的特例。第三種情況是把無(wú)限多個(gè)物 體（如紅球、藍(lán)球各4 個(gè)）放進(jìn)有限多個(gè)抽屜（兩種顏色）， 那么一定有一個(gè)抽屜放進(jìn)了無(wú)限多個(gè)物體（至少 2 個(gè)同色的 球）。 二、課標(biāo)解讀 人教版數(shù)學(xué) 六年級(jí)下冊(cè) 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在“學(xué)段目標(biāo)” 的“第二學(xué)段”中提出：“會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)一些數(shù)學(xué)的基 本思想”“在

6、觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情 推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的 思考過(guò)程與結(jié)果”“經(jīng)歷與他人合作交流解決問(wèn)題的過(guò)程， 嘗試解釋自己的思考過(guò)程”。 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在“課程內(nèi)容” 的“第二學(xué)段”中提出：“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變 化趨勢(shì)”“結(jié)合實(shí)際情境，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解 決問(wèn)題的過(guò)程”“通過(guò)應(yīng)用和反思，進(jìn)一步理解所用的知識(shí) 和方法，了解所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。 二、課標(biāo)解讀 （一）讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過(guò)程 在數(shù)學(xué)上，一般是用反證法對(duì)“抽屜原理”進(jìn)行嚴(yán)格證明。 在小學(xué)階段，雖然

7、并不需要學(xué)生對(duì)涉及“抽屜原理”的相關(guān) 現(xiàn)象給出嚴(yán)格的、形式化的證明，但仍可引導(dǎo)學(xué)生用直觀的 方式對(duì)某一具體現(xiàn)象進(jìn)行“就事論事”式的解釋。例如在教 學(xué)例 3 時(shí)，教師在呈現(xiàn)問(wèn)題后，可以讓學(xué)生猜一猜，有學(xué)生 會(huì)猜 2 個(gè)球，有學(xué)生會(huì)猜 5 個(gè)球，也有學(xué)生會(huì)猜對(duì)。此時(shí)教 師可以提出讓學(xué)生自己用畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)等方法來(lái)說(shuō)明理 由。結(jié)合學(xué)生個(gè)性化的表達(dá)，教師可展示分析解答過(guò)程，通 過(guò)分析逐步消除學(xué)生的各種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生形成對(duì)這類(lèi)問(wèn) 題中抽屜的模型結(jié)構(gòu)的初步感知。在得出答案后，應(yīng)向?qū)W生 提出運(yùn)用“抽屜原理”來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題的要求，并根據(jù)學(xué)生 學(xué)習(xí)的具體情況引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下思考：把兩種顏色看成兩 個(gè)抽屜，要保

8、證有一個(gè)抽屜至少有 2 個(gè)同色球，分的物體個(gè) 數(shù)至少要比抽屜數(shù)多 1，所以至少要摸出 3 個(gè)球。在此基礎(chǔ) 人教版數(shù)學(xué) 六年級(jí)下冊(cè) 上，總結(jié)解決問(wèn)題的一般的思考方法：把什么看成“抽屜”， “抽屜”有幾個(gè)，怎么用“抽屜原理”來(lái)思考解決問(wèn)題的方 法。 顯然，教學(xué)的過(guò)程就是教師鼓勵(lì)學(xué)生借助學(xué)具、實(shí)物操作 或畫(huà)草圖的方式進(jìn)行“說(shuō)理”。實(shí)際上，通過(guò)“說(shuō)理”的方 式來(lái)理解“抽屜原理”的過(guò)程就是一種數(shù)學(xué)證明的雛形。通 過(guò)這樣的方式，有助于逐步提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以 后學(xué)習(xí)較為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。 （二）要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想” 本單元講的“鴿巢問(wèn)題”，

9、實(shí)際就是一個(gè)“抽屜原理”問(wèn) 題?！俺閷蠁?wèn)題”的變式很多，應(yīng)用更具靈活性。當(dāng)我們面 對(duì)一個(gè)具體的問(wèn)題時(shí)，能否將這個(gè)具體問(wèn)題與“抽屜問(wèn)題” 聯(lián)系起來(lái)，能否找到該問(wèn)題中的具體情境和“抽屜問(wèn)題”的 一般化模型之間的內(nèi)在關(guān)系，能否找出該問(wèn)題中什么是“待 分的東西”，什么是“抽屜”，是能否解決該問(wèn)題的關(guān)鍵因 素。因此，教師教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個(gè)問(wèn)題是否屬 于用“抽屜原理”可以解決的范疇，如果可以，再思考如何 尋找隱藏在其背后的“抽屜問(wèn)題”的一般化模型。這個(gè)過(guò)程， 實(shí)際上是學(xué)生經(jīng)歷將具體問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，是從復(fù)雜 的現(xiàn)實(shí)素材中尋找本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。這樣的過(guò)程，可 有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，

10、尤其可增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“模型 思想”的體驗(yàn)，增強(qiáng)運(yùn)用能力。 三、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn) 1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng) ,經(jīng)歷 探究“抽屜原理”的過(guò)程,初步了解“抽屜原理”,會(huì)用“抽 屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 2.提高學(xué)生解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力。 人教版數(shù)學(xué) 六年級(jí)下冊(cè) 3.通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用 ,感受數(shù)學(xué)的魅力。 本單元的教學(xué)重難點(diǎn)是初步了解“抽屜原理（鴿巢原 理）”，培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想”。 四、具體內(nèi)容 例 1：本例描述“抽屜原理”的最簡(jiǎn)單的情況。著重探討 為什么這樣的結(jié)論是成立的。教材呈現(xiàn)了兩種思考方法：第 一種

11、方法是用操作的方法，羅列所有的方法，通過(guò)完全歸納 的方法看到在這四種情況都是滿(mǎn)足結(jié)論的；還可以是說(shuō)理的 方式，先放 3 支，在每個(gè)筆筒里放 1 支，這時(shí)剩下 1 支。剩 下的 1 支不管放入哪一個(gè)筆筒中，這時(shí)都會(huì)有一個(gè)筆筒里有 2 支鉛筆。這種方法比第一種方法更為抽象，更具有一般性。 通過(guò)本例的教學(xué)，使學(xué)生感知這類(lèi)問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)，掌握 兩種思考的方法──枚舉和假設(shè)，理解問(wèn)題中關(guān)鍵詞語(yǔ)“總 有”和“至少”的含義，形成對(duì)“抽屜原理”的初步認(rèn)識(shí)。 例 2：本例描述“抽屜原理”更為一般的形式，即“把多 于 （ 是正整數(shù)）個(gè)物體任意分放進(jìn) 個(gè)空抽屜里，那么 一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少（ +1

12、）個(gè)物體”。教材首先 探究把 7 本書(shū)放進(jìn) 3 個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn) 3 本書(shū)的情形。當(dāng)數(shù)據(jù)變得越來(lái)越大時(shí)，如果還用完全歸納的 方法把所有的情形羅列出來(lái)的話，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是有困難 的。這時(shí)需要學(xué)生用到“反證法”這樣一種思想，即如果所 有的抽屜最多放 2 本，那么 3 個(gè)抽屜里最多放 6 本書(shū)，可是 題目中是 7 本書(shū)，還剩 1 本書(shū)，怎么辦？這就使學(xué)生明白只 要放到任意一個(gè)抽屜里即可，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn) 3 本 書(shū)。通過(guò)這樣的方式，實(shí)際上學(xué)生是在經(jīng)歷“反證法”的這 樣一個(gè)過(guò)程。在具體編排這道例題的時(shí)候，在數(shù)據(jù)上進(jìn)行了 一個(gè)很細(xì)微的調(diào)整。在過(guò)去，由于數(shù)據(jù)的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)得到

13、 人教版數(shù)學(xué) 六年級(jí)下冊(cè) 不太正確的推論，比如說(shuō)如果是兩個(gè)抽屜的話，最后得到的 余數(shù)總是 1，那么學(xué)生很容易得到一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論：總有一 個(gè)抽屜里放進(jìn)“商+余數(shù)”本書(shū)（因?yàn)橛鄶?shù)正好是 1）。而實(shí) 際上，這里的結(jié)論應(yīng)該是“商+1”本書(shū)，所以教材在這里呈 現(xiàn)了 8 除以 3 余 2 的情況，這時(shí)候余數(shù)是 2，可是最后的結(jié) 論還是“把 8 本書(shū)放進(jìn) 3 個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜至少放 進(jìn)了 3 本書(shū)”。通過(guò)這樣的數(shù)據(jù)方面的調(diào)整，可以讓學(xué)生得 到一個(gè)更加正確的推論。 例 3：跟之前教材的編排是一樣的，是抽屜原理的一個(gè)逆 向的應(yīng)用。要解決這個(gè)問(wèn)題，可以把兩種“顏色”看成兩個(gè) “抽屜”，

14、“同色”就意味著“同一個(gè)抽屜”。這樣，就可 以把“摸球問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“抽屜問(wèn)題”。教材通過(guò)學(xué)生的對(duì) 話，指出了可以通過(guò)先猜測(cè)再驗(yàn)證的方法來(lái)解決問(wèn)題，也反 映了學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)可能會(huì)遇到的困難。很多學(xué)生誤 以為要摸 5 次才可以摸出球，這可以讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。 在教學(xué)中要注意的問(wèn)題：第一，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的 過(guò)程，在這里不是讓學(xué)生計(jì)算抽屜原理，去應(yīng)用，而更多的 是給出一個(gè)結(jié)論，讓學(xué)生去證明這種結(jié)論的正確性，這就是 一種數(shù)學(xué)證明的思想；第二，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的模型思 想。因?yàn)椤俺閷显怼痹谏钪械淖兪绞嵌鄻拥?，比如讓學(xué) 生判斷 13 個(gè)孩子中一定有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月份，讓 學(xué)

15、生去判斷 367 個(gè)孩子中一定有兩個(gè)人的生日是同一天…… 在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確什么是抽屜 原理中的“物體”，什么是“抽屜”，讓學(xué)生把這些具體問(wèn) 題模型化成一個(gè)“抽屜問(wèn)題”。第三，重視實(shí)踐活動(dòng)，幫助 學(xué)生在自主探究中理解原理，將具體的情況推廣到一般。在 例 1 中給出具體的問(wèn)題（4 支鉛筆放到 3 個(gè)筆筒里），讓學(xué) 人教版數(shù)學(xué) 六年級(jí)下冊(cè) 生在探究的過(guò)程中，逐漸找到一般的規(guī)律。第四，恰當(dāng)保持 教學(xué)要求，因?yàn)閿?shù)學(xué)廣角內(nèi)容只是讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)思 想的感悟，在評(píng)價(jià)上不做特別高的要求。 五、教學(xué)建議 1.讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過(guò)程?？梢?/p>

16、鼓勵(lì)、引 導(dǎo)學(xué)生借助學(xué)具、實(shí)物操作或畫(huà)草圖的方式進(jìn)行“說(shuō)理”。 通過(guò)“說(shuō)理”的方式理解“抽屜原理”的過(guò)程是一種數(shù)學(xué)證 明的雛形。通過(guò)這樣的方式 , 有助于提高學(xué)生的邏輯思維能 力,為以后學(xué)習(xí)較嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。 2.有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想。當(dāng)我們面對(duì)一個(gè) 具體問(wèn)題時(shí),能否將這個(gè)具體問(wèn)題和“抽屜問(wèn)題”聯(lián)系起來(lái), 能否找到該問(wèn)題中的具體情境與“抽屜問(wèn)題”的“一般化模 型”之間的內(nèi)在關(guān)系,找出該問(wèn)題中什么是“待分的東西”, 什么是“抽屜”,是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵。教學(xué)時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生 先判斷某個(gè)問(wèn)題是否屬于用“抽屜原理”可以解決的范疇 ; 再思考如何尋找隱藏在其背后的“抽屜問(wèn)題”的一般模型。 這個(gè)過(guò)程是學(xué)生經(jīng)歷將具體問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程 , 從紛繁 復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型 , 是學(xué)生數(shù)學(xué)思維 和能力的重要體現(xiàn)。 3.要適當(dāng)把握教學(xué)要求?！俺閷显怼北旧砘蛟S并不復(fù) 雜,但它的應(yīng)用廣泛且靈活多變。因此,用“抽屜原理”解決 實(shí)際問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到一些困難。例如,有時(shí)要找到實(shí)際問(wèn) 題與“抽屜原理”之間的聯(lián)系并不容易,即使找到了,也很難 確定用什么作為“抽屜”,要用幾個(gè)“抽屜”。因此,教學(xué)時(shí), 不必過(guò)于要求學(xué)生“說(shuō)理”的嚴(yán)密性,只要能結(jié)合具體問(wèn)題, 把大致意思說(shuō)出來(lái)就可以了 , 鼓勵(lì)學(xué)生借助實(shí)物操作等直觀 方式進(jìn)行猜測(cè)、驗(yàn)證。