福建省福州市2012年10月高中數(shù)學(xué)學(xué)科會議專題講座 高考推理和創(chuàng)新題 新人教版

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1、福建省福州市2012年10月高中數(shù)學(xué)學(xué)科會議專題講座 高考推理和創(chuàng)新題 考點透析： 推理既包括演繹推理，也包括合情推理；一般運用合情推理進行猜想，再運用演繹推理進行證明. （1）演繹推理。高考對推理論證能力的考查主要體現(xiàn)在對演繹推理的考查上，試卷中考查演繹推理的題型，既可使用選擇題、填空題的形式，也可使用解答題的形式進行重點考查。 （2）合情推理.歸納和類比均屬于合情推理.在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論。 對于創(chuàng)新：提倡開放探索 關(guān)注創(chuàng)新意識 高考作為選拔性考試，應(yīng)該偏重于能力測驗，特別是能力傾向測驗，適當考查考生在未來的學(xué)習(xí)或工作中是否具

2、有創(chuàng)新意識。因此，高考中可適當設(shè)置開放性、探索性試題，考查創(chuàng)新意識和探究精神。考查創(chuàng)新意識的問題應(yīng)立足于中學(xué)數(shù)學(xué)，以中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識為基本素材，考查學(xué)生創(chuàng)造性地應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力。 高考對創(chuàng)新意識的考查，主要是要求考生不僅能理解一些概念、定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應(yīng)用這些知識和方法解決數(shù)學(xué)中和現(xiàn)實生活中的比較新穎的問題。高考對應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查，其意義已超出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對提高考生的學(xué)習(xí)能力、工作能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有重要的意義。 具有創(chuàng)新性質(zhì)的思維活動表現(xiàn)為： 能從題目的條件中提取有用的信息，從題目的求解(或求證)中考慮需要的信息。 能在記憶系統(tǒng)

3、里儲存的數(shù)學(xué)信息中提取有關(guān)的信息，作為解決問題的依據(jù)，推動①中信息的延伸。 ③將①、②中獲得的信息聯(lián)系起來，進行加工、組合，主要是通過分析和綜合，一方面從已知到未知，另一方面從未知到已知，尋找正反兩個方向的知識“銜接點”——一個固有的或確定的數(shù)學(xué)關(guān)系。 將③中的思維過程整理,形成一個從條件到結(jié)論的行動序列. 高考中對創(chuàng)新意識的考查要求考生能夠?qū)⒛芰σ剡M行有機的組合,能力要素的有機組合首先是各種能力的綜合,但又不是所有能力要素的綜合,是解題所需的能力要素的組合,它包括觀察能力、記憶能力、理解能力、分析能力和運用知識的能力等,以及空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力

4、和數(shù)據(jù)處理能力的綜合運用. 近幾年來高考多會結(jié)合合情推理知識點，相繼推出一些背景新穎、構(gòu)思精巧、情境別致，具有相當深度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型，試題中此類題目分值10分左右（上海、湖北、湖南、江蘇較為典型），并且主觀題、客觀題設(shè)置較為靈活，這些創(chuàng)新型問題往往成為了試卷的閃光點和把關(guān)點。 福建高考2010、2011、2012年三年推理和創(chuàng)新題數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析： 理科 年份 題號 題型 分值 考查知識點 2010年 10 15 選擇題 填空題 9分 函數(shù) 函數(shù) 2011年 10 15 選擇題 填空題 9分 函數(shù)、向量 映射 2012年 10

5、 15 選擇題 填空題 9分 函數(shù) 函數(shù) 文科 年份 題號 題型 分值 考查知識點 2010年 12 15 16 選擇題 填空題 填空題 13分 集合 集合 類比推理、三角函數(shù) 2011年 12 16 選擇題 填空題 9分 推理 函數(shù) 2012年 12 16 選擇題 填空題 9分 導(dǎo)數(shù) 推理 上表說明了近三年福建省對創(chuàng)新題考查比較穩(wěn)定，基本上是最后一道選擇題和最后一道填空題，是整卷的把關(guān)點之一，難度較大?？疾橹R涉及集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、向量、推理。 考點例析： 創(chuàng)新方向一：定義“新概念”或“新運算”型

6、 新信息題成為高考試題改革的一個新的亮點，通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新的模型等創(chuàng)設(shè)一種全新的問題情境，主要考查學(xué)生獨立提取信息、加工信息的能力，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，緊扣條件，抓住關(guān)鍵的信息，實現(xiàn)信息的轉(zhuǎn)化，達到靈活解題的目的． 例1.（2012年廣東理8）對任意兩個非零的平面向量α和β，定義。若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則= （ ） A． B. 1 C. D. 【解析】：因為， 且和都在集合中 所以，，，所以 所以，故有 評注：在給出新定義或新運算問題中要摒棄原有的運算法則，

7、以避免造成運算的紊亂．面對這類問題只需按給定的法則進行運算即可，此類問題雖然給出的條件信息比較多，而其實質(zhì)卻很簡單，只需用簡單的數(shù)學(xué)知識即可解決． 例2.（湖南文16）對于，將n表示為,當時，當時為0或1，定義如下：在的上述表示中，當，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0. （1）b2+b4+b6+b8=__； （2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是___. 【答案】（1）3；（2）2. 【解析】（1）觀察知；； 一次類推；； ；，，， b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值為２.

8、 創(chuàng)新方向二：歸納類比型 求解類比推理問題的關(guān)鍵在于確定類比物，建立類比項，并對數(shù)學(xué)結(jié)論的運算、推理過程等進行類比分析，從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在的關(guān)聯(lián)；求解歸納推理問題的關(guān)鍵是從一些特殊的例子中尋找共同的規(guī)律． 例3.(2012湖南理)設(shè)N=2n（n∈N*，n≥2），將N個數(shù)x1,x2,…，xN依次放入編號為1,2，…，N的N個位置，得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到；當2≤i≤n-2

9、時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置. （1）當N=16時，x7位于P2中的第___個位置； （2）當N=2n（n≥8）時，x173位于P4中的第___個位置. 【答案】（1）6；（2） 【解析】（1）當N=16時, ,可設(shè)為, ,即為, ,即, x7位于P2中的第6個位置,； （2）當時，在第個位置，在第44個位置， 當時，被分成段，每段64個數(shù)，而落在第一段第22個偶數(shù)位，在位置為個位置，分成8段，每段32個數(shù)字，而落在第二段第11個偶數(shù)位，在位置為； 當

10、時，被分成段每段4段，每段128個數(shù)，而落在第一段第22個偶數(shù)位，在位置為個位置，分成8段，每段64個數(shù)字，而落在第二段第11個偶數(shù)位，在位置為；以此歸納推理知位于P4中的第個位置。 評注：本題題目文字較多，理解題意是解題的關(guān)鍵。是考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力、閱讀理解能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題. 創(chuàng)新方向三：探索探究型 探索性問題是開放性問題的一種，高考中的探索性問題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點，將數(shù)學(xué)知識有機融合，并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的．要求考生自己觀察分析，創(chuàng)造性地運

11、用所學(xué)知識和方法解決問題． 例4.(2012年福建理科)函數(shù)f（x）在[a,b]上有定義，若對任意x1，x2∈[a,b]，有則稱f（x）在[a,b]上具有性質(zhì)P。設(shè)f（x）在[1,3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題： ①f（x）在[1,3]上的圖像是連續(xù)不斷的； ②f（x2）在[1,]上具有性質(zhì)P； ③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1,3]； ④對任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有 其中真命題的序號是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ （福建理10） 【答案】D． 【解析】若函數(shù)在時是孤立的點，如圖，則①可以排除；函

12、數(shù)具有性質(zhì)p，而函數(shù)不具有性質(zhì)p，所以②可以排除；設(shè)，則, 即，又，所以，因此③正確； 所以④正確.故選D. 評注：本題是凹函數(shù)性質(zhì)的研究和應(yīng)用，常見的形式是：在“連續(xù)”條件下，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，此類題目比較多考察的目標和方法也比較單一，但命題老師采用“變異”創(chuàng)新的手段進行試題編制，通過弱化條件促使考試及其解決問題所需使用的數(shù)學(xué)思與方法等產(chǎn)生突變，進而使原試題考查從單一到走向多元化。這道題4選項容易判斷正確，因此1必定是錯誤，只要在命題2、3中選擇1個并作出判斷即可。 創(chuàng)新方向四：信息遷移型 信息遷移題是指以考生已有的知識為基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上設(shè)置一個新的數(shù)學(xué)情境，或把已有的

13、知識進一步引申，設(shè)置一個簡單而又熟悉的物理情境或生活情境或定義新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，要求考生讀懂題目，并根據(jù)題目引入的新內(nèi)容解題． 例5.（2012全國卷二理）正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE＝BF＝。動點P從E出發(fā)沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（B） （A）16（B）14（C）12(D)10 2.(2012全國卷二文)正方形ABCD的邊長是1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE=BF=1/3，動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角

14、，當P第一次碰到E時，P與正方形邊碰撞次數(shù)為 （A）8 （B）6 （C）4 （D）10 【解析】結(jié)合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞14次即可。 評注：本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用。應(yīng)用物理學(xué)知識通過相似三角形，來確定反射后的點的落的位置，結(jié)合圖像分析反射的次數(shù)即可。對文理兩道題目的比較，文科題目容易通過作圖實現(xiàn)，但理科題目就不是那么容易了！但是我們運用歸納推理的思想方法，就易得到結(jié)論。在兩題目的題干中的差異就是理科E,F是七分點，文科E,F是三分點，所以不妨運用歸納推理：若

15、AE=BF，當E,F是中點時，若P第一次碰到E時，P與正方形邊碰撞次數(shù)為4；當E,F是三分點即AE=BF=1/3時，若P第一次碰到E時，P與正方形邊碰撞次數(shù)為6；………，于是E,F是七分點，可推理出當P第一次碰到E時，P與正方形邊碰撞次數(shù)為14. 事實上，在新課程理念下的高考越來越重視學(xué)生能力的培養(yǎng)，注重知識的生成和遷移，注重知識的廣度和深度，注重思想方法，試題靈活程度越來越強，這就對教師的教學(xué)提出了更高的要求，在教學(xué)中能真正做到讓學(xué)生成“主人”！ 創(chuàng)新方向五：高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接型 將高等數(shù)學(xué)問題下放，用初等方法來解決高等與初等數(shù)學(xué)的銜接問題，這是近年高考中的一個特點． 例6．（

16、2010年福建理科）對于具有相同定義域D的函數(shù)和,若存在函數(shù)為常數(shù)),對任給的正數(shù)m,存在相應(yīng)的,使得當且時,總有,則稱直線為曲線和的“分漸近線”.給出定義域均為D=的四組函數(shù)如下: ①, ; ②,; ③,; ④,. 其中, 曲線和存在“分漸近線”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 【答案】C 【解析】和存在分漸近線的充要條件是時，-→0．對于①，=,當＞1時便不符合，所以①不存在；對于②=，=肯定存在分漸近線，因為當＞1時，-→0；對于③=，=， ，設(shè)且，所以當時越來愈大，從而會越來越小，不會趨

17、近于0，所以不存在分漸近線；④當時，，因此存在分漸近線。故，存在分漸近線的是②④選C 評注：本題從大學(xué)數(shù)列極限定義的角度出發(fā)，仿造構(gòu)造了分漸近線函數(shù)，目的是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質(zhì)：存在分漸近線的充要條件是x→∞時，-→0進行作答，是一道好題，思維靈活，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)． 例7.（福建2011年理科）設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射滿足：對任意向量以及任意∈R，均有 則稱映射f具有性質(zhì)P。 先給出如下映射： ① ② ③ 其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號） 解析：① 具有性質(zhì)P的映射,

18、同理可驗證③符合，②不符合,答案應(yīng)填①③. 創(chuàng)新方向六： 圖形信息型 　　在日常生活和生產(chǎn)中經(jīng)常會出現(xiàn)圖表問題，如每日的股市曲線圖、菜場上的價目表、報紙上的有關(guān)國民經(jīng)濟的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表等等，都是高考命題的源泉.圖形中隱藏著豐富的數(shù)據(jù)和信息及其內(nèi)在聯(lián)系，對于圖形的分析要能慧眼獨具，不為浮云遮望眼，透過現(xiàn)象看本質(zhì).看清圖形的本質(zhì)，問題解決也就有了基礎(chǔ). 例8.（2012年福建文科）某地圖規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案，方案設(shè)計圖中，求表示城市，兩點之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費用，要求從任一城市都能到達其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費用最小。例如：在三個城市道路

19、設(shè)計中，若城市間可鋪設(shè)道路的路線圖如圖1，則最優(yōu)設(shè)計方案如圖2，此時鋪設(shè)道路的最小總費用為10。 現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖3，則鋪設(shè)道路的最小總費用為____16________。 考點：演繹推理。 難度：中。 分析：本題考查的知識點為演繹推理，理解題意，直接計算最小值即可。 【解析】題目要求聯(lián)通所有的城市，且費用最小，則首先連接費用最小的城市，連接方法如下： (1)連接，此時聯(lián)通兩個城市，費用為； (2)再連接，此時聯(lián)通三個城市，費用為； (3)再連接，此時聯(lián)通四個城市，費用為； (4)再連接，此時聯(lián)通五個城市，費用為； (5)再連接，此時聯(lián)通六個城市，

20、費用為； (6)再連接，此時聯(lián)通七個城市，費用為。 所以鋪設(shè)道路的最小總費用為16。 評注：本題方法上沒有形式化的套路可循。但是，只要能從文字和圖形中提取正確的信息，尋找問題的實質(zhì)，探求解題的方案，就可以得以解決。本題對考生的推理論證能力、抽象概括能力要求比較高，能夠較好考查考生的數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)。 創(chuàng)新方向七： 綜合知識型 　　綜合知識型試題包括數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)各個章節(jié)知識交匯及跨學(xué)科綜合兩種類型，考查考生利用數(shù)學(xué)知識和思想方法分析問題和解決問題的能力，具有良好的區(qū)分度.命制綜合知識型試題目的是方便重點高校挑選優(yōu)秀考生. 例9.（2011年福建理科）已知函數(shù)，對于曲線y=f（x）上橫坐標

21、成等差數(shù)列的三個點A,B,C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是 A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④ 【解析】, 不妨設(shè),則,，,△ABC一定是鈍角三角形; 若,則 即,而, 則，即，與函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)矛盾. 故只有①④判斷正確，答案應(yīng)選B。 評注：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)各個章節(jié)知識交及學(xué)科間綜合創(chuàng)新題注重了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性與時代性，關(guān)注生活、關(guān)注熱點，命題呈現(xiàn)題意新穎、題型創(chuàng)新的特點，通常用到的數(shù)學(xué)知識有函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、概率等. 復(fù)

22、習(xí)建議： 培養(yǎng)學(xué)生的推理和創(chuàng)新能力是一項長期的工作，它不可能在一天，幾天，甚至幾個月內(nèi)完成，需要我們持之以恒，循序漸進。在高考復(fù)習(xí)建議： 1.化整為零，對于推理和創(chuàng)新題的復(fù)習(xí)要滲透到各個考點。比如我們復(fù)習(xí)集合、函數(shù)、數(shù)列，這些知識點創(chuàng)新題材比較多，能結(jié)合有關(guān)這些知識的創(chuàng)新題效果就很好了。比如：在復(fù)習(xí)數(shù)列通項公式可以結(jié)合 例10.（湖北2012年文科數(shù)學(xué)17題）傳說古希臘畢拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)。他們研究過如圖所示的三角形數(shù)： 將三角形數(shù)1,3， 6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測： （Ⅰ

23、）b2012是數(shù)列{an}中的第______項； (5030) （Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示） () 【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,…,的一個通項公式為，寫出其若干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故從而由上述規(guī)律可猜想：（為正整數(shù)）， 故,即是數(shù)列中的第5030項. 【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想需要有一定的經(jīng)驗與能力，不能憑空猜想.復(fù)習(xí)中需注意類比

24、推理以及創(chuàng)新性問題的考查. 2. 注意收集有關(guān)創(chuàng)新題素材，研究其它省市近幾年高考創(chuàng)新題,并以這些題做為母題，進行改造，再重新。比如今年理科12： 例11.（2012年福建理科）對于實數(shù)，定義運算“”：，設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是_____。 分析：本題考查的知識點為新定義的理解，函數(shù)與方程中根的個數(shù)。 【解析】由題可得， 可得，, 且 所以時, ，所以。 該題母題為2010年高考全國課標卷理11， 已知函數(shù)，若互不相等，且，則的 取值范圍是（ ） A. B. C. D． 試題通過引入運算“*”定義函數(shù)，達到了對題的實質(zhì)改造，并把對數(shù)模型改造為二次函數(shù)，從而隱含條件“)”改變?yōu)椤啊苯璐嗽黾訂栴}的思維度。如果能夠把母題思想方法給學(xué)生講解透徹，對解這道題應(yīng)該幫助很大。