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1、考點42 拋物線
一、選擇題
1.（2012·山東高考文科·Ｔ11）已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解題指南】本題關(guān)鍵利用離心率求出漸近線方程，而拋物線焦點到兩條漸近線的距離相等，再利用點到直線的距離公式求出p.
【解析】選D.因為雙曲線：的離心率為2，所以，
所以c=2a，所以，雙曲線的漸近線為，
即。拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為：，所以p=8, 所以拋物線的方程為.
二、填空題
2. （2012·陜西高考文科·Ｔ14）與（2012·陜西高考理科·Ｔ
2、13）相同
右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米.
【解題指南】建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，根據(jù)方程求解.
【解析】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如圖所示，設(shè)拋物線方程為（），則點（2，）在此拋物線上 代入可求出拋物線的方程是，當(dāng)時，，所以，水面寬是.
【答案】.
3.（2012·北京高考理科·Ｔ12）在直角坐標(biāo)系xOy中.直線過拋物線=4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方.若直線的傾斜角為60o.則△OAF的面積為 .
【解題指南】寫出直
3、線的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，解出A點坐標(biāo)，再求面積.
【解析】拋物線的焦點，直線。由，解得，.所以.
【答案】.
4.（2012·天津高考文科·Ｔ11）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且的右焦點為，則.
【解題指南】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)列式求解.
【解析】由題意可得，解得.
【答案】1 2.
三、解答題
5.（2012·江西高考理科·Ｔ20）已知三點O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足.
（1） 求曲線C的方程；
（2）動點Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為，問：是否存在定點P（0，t）（t＜
4、0），使得與PA，PB都相交，交點分別為D,E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說明理由.
【解題指南】（1）將各點坐標(biāo)代入.，化簡整理即得曲線C的方程；（2）根據(jù)題目中的已知條件用t表示出，探求當(dāng)之比為常數(shù)時，所滿足的等式條件，根據(jù)條件建立方程或方程組，求得的值.
【解析】（1）由，
，
由已知得，
化簡得曲線C的方程：.
(2)假設(shè)存在點滿足條件，
則直線PA的方程是的方程是
曲線C在Q處的切線的方程是它與y軸的交點為.
由于，因此.
① 當(dāng)時，，存在，使得，
② 當(dāng)時，，所以與直線PA，PB一定相交，
分別聯(lián)立方程組，，解得D，E
5、的橫坐標(biāo)分別是
，則
又，有，
又，
.
對任意，要使為常數(shù)，即只須滿足
解得此時，
故存在，使得與的面積之比是常數(shù)2.
6.（2012·江西高考文科·Ｔ21）已知函數(shù)f(x)=（ax2+bx+c）ex在上單調(diào)遞減且滿足f(0)=1，f(1)=0.
（1）求a的取值范圍；
（2）設(shè)g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在上的最大值和最小值.
【解題指南】（1）利用f(0)=1，f(1)=0將用表示出來，然后利用f(x)=（ax2+bx+c）ex在上單調(diào)遞減在上恒成立，然后通過分類討論求得a的取值范圍；（2）化簡g(x)= f(-x)- f′(x)，通過對g(
6、x)求導(dǎo)，然后分類討論求最值.
【解析】（1）由得，
則
依題意須對于任意，有.
當(dāng)時，因為二次函數(shù)的圖象開口向上，而，所以須，即；
當(dāng)時，對任意有，符合條件；
當(dāng)時，對于任意，，符合條件；
當(dāng)時，因，不符合條件.
故的取值范圍為.
(2)因，
（i）當(dāng)時，，在上取得最小值，在上取得最大值.
(ii)當(dāng)時，對于任意，有，在取得最大值，在取得最小值.
(iii)當(dāng)時，由得.
① 若，即時，在上單調(diào)遞增，在取得最小值，在取得最大值.
② 若，即時，在取得最大值，在或取得最小值，而，
則當(dāng)時，在取得最小值；
當(dāng)時，在取得最小值.
7.（2012·新課標(biāo)全國高考理
7、科·T20）設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，A為C上一點，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點；
（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；
（2）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，
求坐標(biāo)原點到距離的比值.
【解題指南】（1）由∠BFD=90°及拋物線的對稱性可推知為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出的面積，建立等式關(guān)系求得p的值，然后由圓心和半徑寫出圓的方程；（2）由“A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m平行”這一條件求出直線的斜率，設(shè)出直線n的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用兩者只有一個公共點（），可求得直線的方程（方程中含有p），然后利用距離公式及對稱性求出坐標(biāo)
8、原點到m，n距離的比值.
【解析】（1）由對稱性知：是等腰直角，斜邊
點到準(zhǔn)線的距離
所以， 圓的方程為.
(2)因為A、B、F三點在同一直線上，所以AB為圓F的直徑，.
由拋物線定義知
，
所以，的斜率為或.
當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，由已知可設(shè)，代入得
由于n與C只有一個公共點，故.解得.
因為m的截距，，所以坐標(biāo)原點到距離的比值為3.
當(dāng)m的斜率為時，由圖形對稱性可知，坐標(biāo)原點到，距離的比值為3.
8.（2012·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ2
9、0）設(shè)拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交于B，D兩點。
（I）若∠BFD=90°,△ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程；
（II）若A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標(biāo)原點到m，n距離的比值.
【解題指南】（1）由∠BFD=90°及拋物線的對稱性可推知為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出的面積，建立等式關(guān)系求得p的值，然后由圓心和半徑寫出圓的方程；（2）由“A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m平行”這一條件求出直線的斜率，設(shè)出直線n的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用兩
10、者只有一個公共點（），可求得直線的方程（方程中含有p），然后求距離公式求出坐標(biāo)原點到m，n距離的比值.
【解析】（I）由對稱性知：是等腰直角，斜邊
點到準(zhǔn)線的距離
所以， 圓的方程為.
(II)因為A、B、F三點在同一直線上，所以AB為圓F的直徑，.
由拋物線定義知
，
所以，的斜率為或.
當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，由已知可設(shè)，代入得
由于n與C只有一個公共點，故.解得.
因為m的截距，，所以坐標(biāo)原點到距離的比值為3.
當(dāng)m的斜率為時，由圖形對稱性可知，坐標(biāo)原點到，距離的比值為3.
2012年高考數(shù)學(xué) 考點42 拋物線
