《數(shù)學(xué)分析選論》習(xí)題全解 模擬試題及答案

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1、 3 數(shù)學(xué)分析續(xù)論》模擬試題及答案 一、單項(xiàng)選擇題(6、5) (1) 設(shè)bn｝為單調(diào)數(shù)列，若存在一收斂子列1n?I這時(shí)有[] nj A.lima=liman；B.11不—定收斂；C.bn｝不一定有界； nnnn nTajtaJ D.當(dāng)且僅當(dāng)預(yù)先假設(shè)了恚｝為有界數(shù)列時(shí)，才有A成立. n (2) 設(shè)f(x)在R上為一連續(xù)函數(shù)，則有[] A.當(dāng)I為開(kāi)區(qū)間時(shí)f(I)必為開(kāi)區(qū)間；B.當(dāng)f(I)為閉區(qū)間時(shí)I必為閉區(qū)間; C.當(dāng)f(I)為開(kāi)區(qū)間時(shí)I必為開(kāi)區(qū)間；D.以上A、B、C都不一定成立. (3) 設(shè)f(x)在某去心鄰域U(x°)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)有[] A?若limf'(

2、x)=A存在，則f'(x0)=A；B?若f在x0連續(xù)，則A成立； xTx0 C.若f(x0)=A存在，則lim廣(x)=A；D.以上A、B、C都不一定成立. xTx0 (4) 設(shè)f(x)在[a,b]上可積，則有[] A.f(x)在[a,b]上必定連續(xù)；B.f(x)在[a,b]上至多只有有限個(gè)間斷點(diǎn); C．f(x)的間斷點(diǎn)不能處處稠密；D．f(x)在[a,b]上的連續(xù)點(diǎn)必定處處稠密(5)設(shè)￡un為一正項(xiàng)級(jí)數(shù).這時(shí)有 n=1 A．若limu=0,則nnTa ￡un收斂 n=1 B． 若￡un n n=1 收斂，則lim亠1<1； u nTan c.若￡un收斂,

3、 n=1 則limnun<1； D.以上A、B、C都不一定成立. nTa 、計(jì)算題(10'x4) (1) 試求下列極限: ①lim nTg\ "1+3++(2n—1)) —n丿 lim xT+8 (fx2A2Jetdt (0丿 Je212dt 0 (2) 設(shè) x _1— u= y ,u0= —2 ex2+y2 x丿 arctan 試求f'(u)與f'(u0). (3)試求由曲線y= ，直線x=2，以及二坐標(biāo)軸所圍曲 邊梯形的面積S． (4)用條件極值方法(Lagrange乘數(shù)法)導(dǎo)出從固定點(diǎn)(x0,y0)到直線A

4、x+By+C=0的距離計(jì)算公式. 三、證明題(10'x3) (1) 設(shè)f(x)與g(x)在［a,b］上都連續(xù)?試證：若 f(a)g(b)， 貝I」必存在x0e(a,b)，滿(mǎn)足f(x0)=g(x0)? (2) 證明f(x)=xlnx在其定義域上為一嚴(yán)格凸函數(shù)，并導(dǎo)出不等式： (a+b+cAa+b+c

5、m '1+3+ +(2n—1) —n —3n =lim=—3； nf8 n+3 丿 nf8n+3 1) lim xT+8 f'(u) JXe212dt 0 22 2xex+y —y x2+y2 所圍曲邊梯形如右圖所示． S=J(1- x2 22 )dx+J(x2 1 (x- 2ex2Jet2dt 0 2Jet2dt 2ex2 lim 0 =lim =0 xf+8 ex2 xf+8 2xex lim xf+8 e2x2 y2 x2+y2 其面積為 -1)dx x) 2 =2.

6、 1 （4）由題意，所求距離的平方（d2）為（x-x 0需滿(mǎn)足Ax+By+C=0，故此為一條件極小值問(wèn)題依據(jù)Lagrange乘數(shù)法，設(shè) ) L=(x-xo)2+(y-yo)2+入(Ax+By+C)， 5 并令 rl x

7、By+C=0. 由方程組(F)可依次解出: y=y0 一C=Ax+By Ax0 2 九C (A2+ 2 九Ax+By )2+(y一y0)2 (A2+B2) (Ax0+By0+C)2 A2+B2 d=(x-x0)2+(y-y°)2 Ax+ 0- 弋A2+B2 Byo+C 最后結(jié)果就是所求距離d的計(jì)算公式． 注上面的求解過(guò)程是由(F)求出九后直接得到d2，而不再去算出x與y的值, 這是一種目標(biāo)明確而又簡(jiǎn)捷的解法． 三［證(1)只需引入輔助函數(shù)： h(x)=f(x)一g(x)． 易知h(x)在

8、［a,b］上連續(xù)，滿(mǎn)足h(a)<0,h(b)>0，故由介值性定理(或根的存在定理)，必存在x0g(a,b)，滿(mǎn)足h(x0)=0，即f(x0)=g(x0). (2)/(x)=xlnx的定義域?yàn)?0,+8)，在其上滿(mǎn)足： 1 廠(x)=lnx+1,f"(x)=—>0,xg(0,+8)， x 所以f(x)為一嚴(yán)格凸函數(shù).根據(jù)詹森不等式，對(duì)任何正數(shù)a,b,c，恒有 a+b+c a+b+c 1 ln( ( alna+blnb+clnc) )< 3 3 3 a+ b+c aabbcc). nln( a+b+c/ ln( )abc<

9、 3 最后借助函數(shù)lnx的嚴(yán)格遞增性，便證得不等式 a+b+c)a+b+c,