2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題04 概率與統(tǒng)計（教師版）

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題04 概率與統(tǒng)計（教師版） 【2013高考會這樣考】 1、 以實際生活中的問題為背景，結(jié)合概率的求解，以解答題的形式考查離散型隨機變量的期望與方差的實際應(yīng)用； 2、 與相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗相結(jié)合，多以解答題的形式綜合考查離散型隨機變量的期望與方差的求解； 3、 以統(tǒng)計中的莖葉圖、頻率分布直方圖等為背景，結(jié)合古典概型，多以解答題的形式考查離散型隨機變量的期望與方差的求解. 【原味還原高考】 【高考還原1：（2012年高考（廣東理））】某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖4所示,其中成績分組區(qū)間是:、、、、、.

2、（Ⅰ）求圖中的值; （Ⅱ）從成績不低于80分的學(xué)生中隨機選取2人,該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為,求的數(shù)學(xué)期望. 【名師點撥】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可以求出的值；（Ⅱ）可知的取值為0、1、2.，利用排列組合知識算出概率，進(jìn)而確定數(shù)學(xué)期望. P(=3)=， 所以,隨機變量的概率分布列為： 0 1 2 3 P 故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為：E=0. 【高考還原3：（2012年高考（陜西理））】某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口,假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立,且都是整數(shù)分鐘,對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如

3、下: 從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時. （1）估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率; （2）表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【名師點撥】（1）先對“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”的情況進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求出概率；（2）利用相互獨立事件的概率運算列出的分布列，并計算期望. 【名師解析】設(shè)表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間,用頻率估計概率,得的分布列如下: 1 2 3 4 5 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 （1）表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”,則事件A對應(yīng)三種情形:

4、①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘,且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘;②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘,且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘;③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘. 所以 （2）解法一：所有可能的取值為 對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘, 所以 對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘,或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘. 所以 對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需時間均為1分鐘, 所以 所以的分布列為 0 1 2 0.5 0.49 0.0

5、1 解法二：所有可能的取值為 對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘, 所以 對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需時間均為1分鐘, 所以 所以的分布列為 0 1 2 0.5 0.49 0.01 . 【細(xì)品經(jīng)典例題】 【經(jīng)典例題1】一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進(jìn)行了5次試驗，收集數(shù)據(jù)如下： （1）在5次試驗中任取2次，記加工時間分別為a、b，求事件a、b均小于80分鐘的概率； （2）請根據(jù)第二次、第三次、第四次試驗的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程 （3）根據(jù)（2）得到的線性回歸方程預(yù)測加工70個零

6、件所需要的時間，] 參考公式： 【經(jīng)典例題2】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績之間的關(guān)系，隨機抽 （1）根據(jù)上表完成下面的2×2列聯(lián)表： （2）根據(jù)題（1）中表格的數(shù)據(jù)計算，有多少的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系？ （3）若按下面的方法從這20人中抽取1人來了解有關(guān)情況：將一個標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正六面體骰子連續(xù)投擲兩次，記朝上的兩個數(shù)字的乘積為被抽取人的序號． 試求：①抽到12號的概率； ②抽到“無效序號(序號大于20)”的概率． 試題注意點：在進(jìn)行卡方判定的過程中，算得“8.802>6.635”，所以有9

7、9%的把握認(rèn)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系；若算出的數(shù)據(jù)小于6.635，則沒有99%的把握認(rèn)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系. 【精選名題巧練】 【名題巧練1】工商部門對甲、乙兩家食品加工企業(yè)的產(chǎn)品進(jìn)行深入檢查后，決定對甲企業(yè)的5種產(chǎn)品和乙企業(yè)的3種產(chǎn)品做進(jìn)一步的檢驗.檢驗員從以上8種產(chǎn)品中每次抽取一種逐一不重復(fù)地進(jìn)行化驗檢驗. （Ⅰ）求前3次檢驗的產(chǎn)品中至少1種是乙企業(yè)的產(chǎn)品的概率； （Ⅱ）記檢驗到第一種甲企業(yè)的產(chǎn)品時所檢驗的產(chǎn)品種數(shù)共為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【名題巧練2】某數(shù)學(xué)興趣小組共10名學(xué)生，參加一次只有5道填空題的測試。填空第題的難度計算

8、公式為（其中為答對該題的人數(shù)，為參加測試的總?cè)藬?shù)）。該次測試每道填空題的考前預(yù)估難度及考后實測難度的數(shù)據(jù)如下表： 題號 1 2 3 4 5 考前預(yù)估難度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 考后實測難度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 （1）定義描述填空題難度預(yù)估值與實測值偏離程度的統(tǒng)計量為，若，則稱填空題的難度預(yù)估是合理的，否則為不合理。請你判斷該次測試中填空題的難度預(yù)估是否合理？并說明理由； （2）從該小組中隨機抽取2個考生，記被抽取的考生中第5題答對的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。 【名題巧練3】甲，乙，丙三位學(xué)生獨立

9、地解同一道題，甲做對的概率為，乙，丙做對的概率分別為， (＞)，且三位學(xué)生是否做對相互獨立.記為這三位學(xué)生中做對該題的人數(shù)，其分布列為： 0 1 2 3[ （1）求至少有一位學(xué)生做對該題的概率； （2） 求，的值； （3） 求的數(shù)學(xué)期望. 【名題巧練4】2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米. 某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年4

10、0天的PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下： 組別 PM2.5（微克/立方米） 頻數(shù)（天） 頻率 第一組 (0,15] 4 0.1 第二組 (15,30] 12 0.3 第三組 (30,45] 8 0.2 第四組 (45,60] 8 0.2 第三組 (60,75] 4 0.1 第四組 (75,90) 4 0.1 （Ⅰ）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計算過程）； （Ⅱ）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由； （Ⅲ）將頻率視為概率，對于去年

11、的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【名題出處】2013山西省山大附中高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 【名師點撥】（1）觀察表格，根據(jù)眾數(shù)的定義進(jìn)行估計；（2）利用區(qū)間的中點值乘以概率累加可以得到平均數(shù)；（3）可知“”，利用二項分布的知識進(jìn)行求解. 【名師解析】（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米, 中位數(shù)為37.5微克/立方米………4分 （2）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為（微克/立方米）． 因為，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)， 故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)． ………………………

12、8分 （3）記事件表示“一天PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”， 則. 隨機變量的可能取值為0,1,2.且. 所以， 所以變量的分布列為 0 1 2 （天）,或（天） ……12分 【名題巧練5】在某校高三學(xué)生的數(shù)學(xué)校本課程選課過程中，規(guī)定每位同學(xué)只能選一個科目。已知某班第一小組與第二小組各有六位同學(xué)選擇科目甲或科目乙，情況如下表： 科目甲 科目乙 總計 第一小組 1 5 6 第二小組 2 4 6 總計 3 9 12 現(xiàn)從第一小組、第二小組中各任選2人分析選課情況. （1）求選出的4 人

13、均選科目乙的概率； （2）設(shè)為選出的4個人中選科目甲的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． , ,， … 9分 的分布列為： ∴的數(shù)學(xué)期望 …12分 【名題巧練6】一個袋子裝有大小形狀完全相同的9個球，其中5個紅球編號分別為1，2，3，4，5，4個白球編號分剮為1，2，3，4，從袋中任意取出3個球． （I）求取出的3個球編號都不相同的概率； （II）記X為取出的3個球中編號的最小值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． 【名題巧練7】某中學(xué)對高二甲、乙兩個同類班級進(jìn)行“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率作用”的試驗，其

14、中甲班為試驗班(加強語文閱讀理解訓(xùn)練)，乙班為對比班(常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練)，在試驗前的測試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗結(jié)束后，統(tǒng)計幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試的平均成績(均取整數(shù))如下表所示： 現(xiàn)規(guī)定平均成績在80分以上(不含80分)的為優(yōu)秀． （1）試分析估計兩個班級的優(yōu)秀率； （2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并問是否有75%的把握認(rèn)為“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助. 參考公式及數(shù)據(jù)：K2＝， 【名題巧練8】某進(jìn)修學(xué)校為全市教師提供心理學(xué)和計算機兩個項目的培訓(xùn)，以促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展，每位教師可以選擇參一項培訓(xùn)、

15、參加兩項培訓(xùn)或不參加培．現(xiàn)知壘市教師中，選擇心理學(xué)培訓(xùn)的教師有60%，選擇計算機培訓(xùn)的教師有75%，每位教師對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響． （1）任選1名教師，求該教師選擇只參加一項培訓(xùn)的概率； （2）任選3名教師，記為3人中選擇不參加培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布列和期望． 【名題出處】2013廣東省東莞市高三上學(xué)期期末調(diào)研 【名師點撥】（1）利用相互獨立事件的概率求出教師選擇只參加一項培訓(xùn)的概率；（2）先算出任選1名教師該人選擇不參加培訓(xùn)的概率，可以看出3人中選擇不參加培訓(xùn)的人數(shù)符合二項分布，運用二項分布的知識進(jìn)行求解. 【名師解析】任選1名教師，記“該教師

16、選擇心理學(xué)培訓(xùn)”為事件，“該教師選擇 【名題巧練9】在一個盒子中，放有標(biāo)號分別為，，的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中， 有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號分別為、，設(shè)為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為 ，記． （1）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率； （2）求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【名題出處】2013福建省三明一中、三明二中高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 【名師點撥】（1）利用絕對值不等式的性質(zhì)可以得到的最大值，再使用求古典概率的列舉法可以求出概率；（2）依題意，的所有取值為， 【名題巧練10】某高校組織自主招生考試,共有名優(yōu)秀學(xué)生參加筆試，成績均介于分到分之間，從中隨機抽取名同學(xué)的成績

17、進(jìn)行統(tǒng)計，將統(tǒng)計結(jié)果按如下方式分成八組:第一組,第二組，…，第八組.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績在分(含分）以上的同學(xué)進(jìn)入面試. （1）估計所有參加筆試的名學(xué)生中，參加面試的學(xué)生人數(shù)； （2）面試時，每位考生抽取三個問題，若三個問 題全答錯，則不能取得該校的自主招生資格；若三個 問題均回答正確且筆試成績在分以上，則獲 類資格;其它情況下獲類資格.現(xiàn)已知某中學(xué)有三人獲得面試資格，且僅有一人筆試成績?yōu)榉忠陨?，在回答三個面試問題時，三人對每一 個問題正確回答的概率均為，用隨機變量表示該中學(xué)獲得類資格的人數(shù)，求的分布列及期望 ， ， 所以隨機變量的分布列為： 0 1 2 3 [ ] ．