2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講座 第二十五講 與圓有關(guān)的計(jì)算

《2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講座 第二十五講 與圓有關(guān)的計(jì)算》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講座 第二十五講 與圓有關(guān)的計(jì)算（27頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第二十五講 與圓有關(guān)的計(jì)算 【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 正多邊形和圓： 1、各邊相等， 也相等的多邊形是正多邊形 2、每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓，外接圓的圓心叫正多邊形的 外接圓的半徑叫正多邊形的 一般用字母R表示，每邊所對(duì)的圓心角叫 用α表示，中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的 用r表示 3、每一個(gè)正幾邊形都被它的半徑分成一個(gè)全等的 三角形，被它的半徑和邊心距分成一個(gè)全等的 三角形 【名師提醒：正多邊形的有關(guān)計(jì)算，一般是放在一個(gè)等腰三角形或一個(gè)直角三角形中進(jìn)行，根據(jù)半徑、

2、邊心距、邊長(zhǎng)、中心角等之間的邊角關(guān)系作計(jì)算，以正三角形、正方形和正方邊形為主】 弧長(zhǎng)與扇形面積計(jì)算： Qo的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，圓心角為n2，扇形的面積為s扇，則有如下公式： L= S扇= = 【名師提醒：1、以上幾個(gè)公式都可進(jìn)行變形， 2、原公式中涉及的角都不帶學(xué)位 3、扇形的兩個(gè)公式可根據(jù)已知條件靈活進(jìn)行選擇 4、圓中的面積計(jì)算常見的是求陰影部分的面積，常用的方法有：⑴則圖形面積的和與差 ⑵割補(bǔ)法 ⑶等積變形法 ⑷平移法 ⑸旋轉(zhuǎn)法等】 三、圓柱和圓錐： 1、如圖：設(shè)圓柱的高為l,底

3、面半徑為R 則有：⑴S圓柱側(cè)= ⑵S圓柱全= ⑶V圓柱= 2、如圖：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為R 高位h，則有： ⑴S圓柱側(cè)= 、 ⑵S圓柱全= ⑶V圓柱= 【名師提醒：1、圓柱的高有 條，圓錐的高有 條 2、圓錐的高h(yuǎn)，母線長(zhǎng)l，底高半徑R滿足關(guān)系 3、注意圓錐的側(cè)面展開圓中扇形的半徑l是圓錐的 扇形的弧長(zhǎng)是圓錐的 4、圓錐的母線為l，

4、底面半徑為R，側(cè)面展開圖扇形的圓心角度數(shù)為n若l=2r，則n= c=3r,則n= c=4r則n= 】 【典型例題解析】 考點(diǎn)一：正多邊形和圓 例1 （2012?咸寧）如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A． B． C． D． 考點(diǎn)：正多邊形和圓． 分析：由于六邊形ABCDEF是正六邊形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，設(shè)點(diǎn)G為AB與⊙O的切點(diǎn)，連接OG，則OG⊥AB，OG=OA?sin60°，再根據(jù)S陰影=S△OAB-S扇

5、形OMN，進(jìn)而可得出結(jié)論． 解答：解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形， ∴∠AOB=60°， ∴△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2， 設(shè)點(diǎn)G為AB與⊙O的切點(diǎn)，連接OG，則OG⊥AB， ∴OG=OA?sin60°=2×=， ∴S陰影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-． 故選A． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出△OAB是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．（2012?安徽）為增加綠化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)都為a，則陰影部分的面積為

6、（　?。? A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2 考點(diǎn)：正多邊形和圓；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 分析：根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出∠CAB=∠CBA=45°，進(jìn)而得出AC=BC= a，再利用正八邊形周圍四個(gè)三角形的特殊性得出陰影部分面積即可． 解答：解：∵某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)都為a， ∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°， ∴sin45°===， ∴AC=BC=a， ∴S△ABC=×a×a=， ∴正八邊形周圍是四個(gè)全等三角形，面積和為：×4=a2． 正八邊形中間是邊長(zhǎng)為a的正方形， ∴陰

7、影部分的面積為：a2+a2=2a2， 故選：A． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正八邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出S△ABC的值是解題關(guān)鍵． 考點(diǎn)二：圓周長(zhǎng)與弧長(zhǎng) 例2 （2012?北海）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為（　?。? A．10π B． C． D．π 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算；勾股定理． 專題：網(wǎng)格型． 分析：由題意可知點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑為以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑，圓心角為60°的弧長(zhǎng)，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的長(zhǎng)，利用

8、勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后利用弧長(zhǎng)公式即可求出． 解答：解：如圖所示： 在Rt△ACD中，AD=3，DC=1， 根據(jù)勾股定理得：AC==， 又將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°， 則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為l=π． 故選C 點(diǎn)評(píng)：此題考查了弧長(zhǎng)公式，以及勾股定理，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑為以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑，圓心角為60°的弧長(zhǎng)． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3.（2012?廣安）如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右滑動(dòng)地旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線l上時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)為 ）

9、π （結(jié)果用含有π的式子表示） 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 分析：根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；點(diǎn)A先是以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到A1，再以點(diǎn)C1為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到A2，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算兩段弧長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)A第3次落在直線l上時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)． 解答：解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°； ∵Rt△ABC在直線l上無滑動(dòng)的翻轉(zhuǎn)，且點(diǎn)A第3次落在直線l上時(shí)，有3個(gè)的長(zhǎng)，2個(gè)的長(zhǎng)， ∴點(diǎn)A經(jīng)過的路線長(zhǎng)=×3+×2=

10、（4+）π． 故答案為：（4+）π． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)公式：l= （其中n為圓心角的度數(shù)，R為半徑）；也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 考點(diǎn)三：扇形面積與陰影部分面積 例3 （2012?畢節(jié)地區(qū)）如圖，在正方形ABCD中，以A為頂點(diǎn)作等邊△AEF，交BC邊于E，交DC邊于F；又以A為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑作 ．若△AEF的邊長(zhǎng)為2，則陰影部分的面積約是（　　） （參考數(shù)據(jù)： ≈1.414， ≈1.732，π取3.14） A．0.64 B．1.64 C．1.68 D．0.36 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的

11、性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 專題：探究型． 分析：先根據(jù)直角邊和斜邊相等，證出△ABE≌△ADF，得到△ECF為等腰直角三角形，求出S△ECF、S扇形AEF、S△AEF的面積，S△ECF-S弓形EGF即可得到陰影部分面積． 解答：解：∵AE=AF，AB=AD， ∴△ABE≌△ADF（Hl）， ∴BE=DF， ∴EC=CF， 又∵∠C=90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EC=EFcos45°=2×=， ∴S△ECF=××=1， 又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=， 又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-

12、， ∴S陰影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64． 故選A． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形面積的計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形、正方形的性質(zhì)，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為S△ECF-S弓形EGF是解題的關(guān)鍵． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3.（2012?內(nèi)江）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，則陰影部分圖形的面積為（　?。? A．4π B．2π C．π D． 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形． 專題：數(shù)形結(jié)合． 分析：連接OD，則根據(jù)垂徑定理可得出CE=DE，繼而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的

13、面積，代入扇形的面積公式求解即可． 解答：解：連接OD． ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=（垂徑定理）， 故S△OCE=S△CDE， 即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積， 又∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°（圓周角定理）， ∴OC=2， 故S扇形OBD==，即陰影部分的面積為． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了扇形的面積計(jì)算、垂徑定理及圓周角定理，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，另外要熟記扇形的面積公式． 考點(diǎn)四：圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖 例4 （2012?永州）如圖，已知圓O的半徑為4，∠A=45°，若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開

14、圖與扇形OBC能完全重合，則該圓錐的底面圓的半徑為 1 ． 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算；圓周角定理． 分析：首先求得扇形的圓心角BOC的度數(shù)，然后求得扇形的弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)等于圓的底面周長(zhǎng)求得圓錐的底面圓的半徑即可． 解答：解：∵∠A=45°， ∴∠BOC=90° ∴扇形BOC的弧長(zhǎng)為=2π， 設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr=2π 解得r=1， 故答案為1． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確的進(jìn)行圓錐的有關(guān)元素和扇形的有關(guān)元素之間的轉(zhuǎn)化． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 7．（2012?襄陽）如圖，從一個(gè)直徑為4 dm的圓形鐵皮中剪出一個(gè)圓心角為60°的扇形ABC，

15、并將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面半徑為 1 dm． 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算． 分析：圓的半徑為2 ，那么過圓心向AC引垂線，利用相應(yīng)的三角函數(shù)可得AC的一半的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得AC的長(zhǎng)度，利用弧長(zhǎng)公式可求得弧BC的長(zhǎng)度，圓錐的底面圓的半徑=圓錐的弧長(zhǎng)÷2π． 解答：解：作OD⊥AC于點(diǎn)D，連接OA， ∴∠OAD=30°，AC=2AD， ∴AC=2OA×cos30°=6 ∴=2π ∴圓錐的底面圓的半徑=2π÷（2π）=1． 故答案為：1． 點(diǎn)評(píng)：考查圓錐的計(jì)算；用的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的側(cè)面展開圖弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)；難點(diǎn)是得到扇形的半徑．

16、 【聚焦山東中考】 1．（2012?日照）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，則 的長(zhǎng)為（　?。? A．π B． C．7π D．6π 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 專題：網(wǎng)格型． 分析：根據(jù)圖示知∠BAB′=45°，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式l= 求得的長(zhǎng)． 解答：解：根據(jù)圖示知，∠BAB′=45°， ∴的長(zhǎng)為：=π． 故選A． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．解答此題時(shí)采用了“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)思想． 2.（2012?臨沂）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，AB=4，∠BED=12

17、0°，則圖中陰影部分的面積之和為（　　） A．1 B． C． D．2 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 專題：探究型． 分析：首先證明△ABC是等邊三角形．則△EDC是等邊三角形，邊長(zhǎng)是2．而和弦BE圍成的部分的面積= 和弦DE圍成的部分的面積．據(jù)此即可求解． 解答：解：連接AE， ∵AB是直徑， ∴∠AEB=90°， 又∵∠BED=120°， ∴∠AED=30°， ∴∠AOD=2∠AED=60°． ∵OA=OD ∴△AOD是等邊三角形， ∴∠A=60°， ∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠AEB=90°， ∴

18、AB=AC， ∴△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)是4．△EDC是等邊三角形，邊長(zhǎng)是2． ∴∠BOE=∠EOD=60°， ∴和弦BE圍成的部分的面積=和弦DE圍成的部分的面積． ∴陰影部分的面積=S△EDC=×22=． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的面積的計(jì)算，證明△EDC是等邊三角形，邊長(zhǎng)是4．理解和弦BE圍成的部分的面積= 和弦DE圍成的部分的面積是關(guān)鍵． 3．（2012?德州）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長(zhǎng)為1，則凸輪的周長(zhǎng)等于 π ． 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算；等邊三角形的

19、性質(zhì)． 專題：計(jì)算題． 分析：由“凸輪”的外圍是以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段等弧組成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出三段弧長(zhǎng)，三段弧長(zhǎng)之和即為凸輪的周長(zhǎng)． 解答： 解：∵△ABC為正三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1， ∴====， 根據(jù)題意可知凸輪的周長(zhǎng)為三個(gè)弧長(zhǎng)的和， 即凸輪的周長(zhǎng)=++=3×=π． 故答案為：π. 點(diǎn)評(píng)：此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解本題的關(guān)鍵． 4.（2012?煙臺(tái)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，A

20、B=2．將△ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△AB′C′的位置，B，A，C′三點(diǎn)共線，則線段BC掃過的區(qū)域面積為 ． 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 專題：探究型． 分析：先根據(jù)Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2求出BC及AC的長(zhǎng)，再根據(jù)題意得出S陰影=AB掃過的扇形面積-AC掃過的扇形面積． 解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2， ∴BC=AB=×2=1，AC=2×=， ∴∠BAB′=150°， ∴S陰影=AB掃過的扇形面積-AC掃過的扇形面積=-=． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是扇形的面積公式，根據(jù)題

21、意得出S陰影=AB掃過的扇形面積-BC掃過的扇形面積是解答此題的關(guān)鍵． 【備考真題過關(guān)】 一、選擇題 1.（2012?湛江）一個(gè)扇形的圓心角為60°，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2πcm，則這個(gè)扇形的半徑為（　?。? A．6cm B．12cm C．2cm D．6cm 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算． 專題：計(jì)算題． 分析：由已知的扇形的圓心角為60°，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2πcm，代入弧長(zhǎng)公式即可求出半徑R． 解答：解：由扇形的圓心角為60°，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2πcm， 即n=60°，l=2π， 根據(jù)弧長(zhǎng)公式l=，得2π=， 即R=6cm． 故選A． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵

22、是熟練掌握弧長(zhǎng)公式，理解弧長(zhǎng)公式中各個(gè)量所代表的意義． 2.（2012?漳州）如圖，一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動(dòng)一周，圓心移動(dòng)的距離是（　　） A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算． 專題：計(jì)算題． 分析：由于直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動(dòng)一周，則圓心移動(dòng)的距離等于圓的周長(zhǎng)，然后利用圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可． 解答：解：∵一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動(dòng)一周， ∴圓心移動(dòng)的距離等于圓的周長(zhǎng)，即2π×=4π． 故選B． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的周長(zhǎng)公式：圓的周長(zhǎng)=2πR（R為圓的半徑）． 3.（2012?

23、珠海）如果一個(gè)扇形的半徑是1，弧長(zhǎng)是 ，那么此扇形的圓心角的大小為（　?。? A．30° B．45° C．60° D．90° 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算． 分析：根據(jù)弧長(zhǎng)公式l=，即可求解． 解答：解：設(shè)圓心角是n度，根據(jù)題意得 =， 解得：n=60． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式，是一個(gè)基礎(chǔ)題． 4．（2012?鄂州）如圖，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)A，B在以O(shè)為圓心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，則扇形ODE的面積為（　?。? A． B． C．2π D．3π 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；菱形的性質(zhì)． 專題：計(jì)算題． 分析：連接OB，根據(jù)等邊三角形的

24、性質(zhì)可以求得∠AOC=120°，再結(jié)合∠1=∠2，即可求得扇形所在的圓心角的度數(shù)，從而根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行求解． 解答：解：連接OB， ∵OA=OB=OC=AB=BC， ∴∠AOB+∠BOC=120°． 又∵∠1=∠2， ∴∠DOE=120°． ∴扇形ODE的面積為==3π． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題考查扇形面積的計(jì)算，同時(shí)綜合運(yùn)用了菱形和等邊三角形的性質(zhì)．要求掌握扇形的面積公式：（1）利用圓心角和半徑：S=；（2）利用弧長(zhǎng)和半徑：S= lr，并學(xué)會(huì)針對(duì)不同的題型選擇合適的方法． 5．（2012?黑河）如圖，在△ABC中，BC=4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A與BC

25、相切于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是⊙A上的一點(diǎn)，且∠EPF=45°，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A．4-π B．4-2π C．8+π D．8-2π 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；切線的性質(zhì)． 分析：根據(jù)圓周角定理可以求得∠A的度數(shù)，即可求得扇形EAF的面積，根據(jù)陰影部分的面積=△ABC的面積-扇形EAF的面積即可求解． 解答：解：△ABC的面積是： BC?AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=90°． 則扇形EAF的面積是：=π． 故陰影部分的面積=△ABC的面積-扇形EAF的面積=4-π． 故選A． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，正確求得扇形的圓心

26、角是解題的關(guān)鍵． 6．（2012?黃石）如圖所示，扇形AOB的圓心角為120°，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（　　） A． B． C． D． 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算． 專題：探究型． 分析：過點(diǎn)O作OD⊥AB，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAD的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)得出OD的長(zhǎng)，再根據(jù)S陰影=S扇形OAB-S△AOB進(jìn)行計(jì)算即可． 解答：解：過點(diǎn)O作OD⊥AB， ∵∠AOB=120°，OA=2， ∴∠OAD==30°， ∴OD=OA=×2=1，AD==， ∴AB=2AD=2， ∴S陰影=S扇形OAB-S△AOB=-×2×1=． 故選A．

27、 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是扇形面積的計(jì)算及三角形的面積，根據(jù)題意得出S陰影=S扇形OAB-S△AOB是解答此題的關(guān)鍵． 7. （2012?婁底）如圖，正方形MNEF的四個(gè)頂點(diǎn)在直徑為4的大圓上，小圓與正方形各邊都相切，AB與CD是大圓的直徑，AB⊥CD，CD⊥MN，則圖中陰影部分的面積是（　?。? A．4π B．3π C．2π D．π 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；軸對(duì)稱的性質(zhì)． 專題：探究型． 分析：由AB⊥CD，CD⊥MN可知陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的，再根據(jù)圓的面積公式進(jìn)行解答即可． 解答：解：∵AB⊥CD，CD⊥MN， ∴陰影部分

28、的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的， ∵正方形MNEF的四個(gè)頂點(diǎn)在直徑為4的大圓上， ∴S陰影=π×（）2=π． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是扇形的面積及軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的是解答此題的關(guān)鍵． 8．（2012?連云港）用半徑為2cm的半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面半徑為（　　） A．1cm B．2cm C．πcm D．2πcm 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算． 分析：由于半圓的弧長(zhǎng)=圓錐的底面周長(zhǎng)，那么圓錐的底面周長(zhǎng)=2π，底面半徑=2π÷2π得出即可． 解答：解：由題意知：底面周長(zhǎng)=2πcm，底面半徑=2π÷2π=1cm．

29、 故選A． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓錐側(cè)面展開扇形與底面圓之間的關(guān)系，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，解決本題的關(guān)鍵是應(yīng)用半圓的弧長(zhǎng)=圓錐的底面周長(zhǎng)． 9．（2012?南充）若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為（　　） A．120° B．180° C．240° D．300° 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算． 分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍可得到圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)的關(guān)系，利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)即可得到該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角度數(shù)． 解答：解：設(shè)母線長(zhǎng)為R，底面半徑為r， ∴底面周長(zhǎng)=2πr

30、，底面面積=πr2，側(cè)面面積=πrR， ∵側(cè)面積是底面積的2倍， ∴2πr2=πrR， ∴R=2r， 設(shè)圓心角為n，有=2πr=πR， ∴n=180°． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，以及利用扇形面積公式求出是解題的關(guān)鍵． 10． （2012?寧波）如圖，用鄰邊分別為a，b（a＜b）的矩形硬紙板裁出以a為直徑的兩個(gè)半圓，再裁出與矩形的較長(zhǎng)邊、兩個(gè)半圓均相切的兩個(gè)小圓．把半圓作為圓錐形圣誕帽的側(cè)面，小圓恰好能

31、作為底面，從而做成兩個(gè)圣誕帽（拼接處材料忽略不計(jì)），則a與b滿足的關(guān)系式是（　?。? A．b= a B．b=a C．b=a D．b= a 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算． 分析：首先利用圓錐形圣誕帽的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面的弧長(zhǎng)求得小圓的半徑，然后利用兩圓外切的性質(zhì)求得a、b之間的關(guān)系即可． 解答：解：∵半圓的直徑為a， ∴半圓的弧長(zhǎng)為 ∵把半圓作為圓錐形圣誕帽的側(cè)面，小圓恰好能作為底面， ∴設(shè)小圓的半徑為r，則：2πr= 解得：r= 如圖小圓的圓心為B，半圓的圓心為C，作BA⊥CA于A點(diǎn)， 則：AC2+AB2=BC2 即：（）2+（）2=（）2 整理得：b=a 故選D．

32、 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用兩圓相外切的性質(zhì)得到兩圓的圓心距，從而利用勾股定理得到a、b之間的關(guān)系． 11．（2012?寧夏）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，那么下列選項(xiàng)中最接近這個(gè)幾何體的側(cè)面積的是（　　） A．24.0 B．62.8 C．74.2 D．113.0 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算；由三視圖判斷幾何體． 分析：由題意可知，幾何體是圓錐，根據(jù)公式直接求解即可． 解答：解：幾何體為圓錐，母線長(zhǎng)為5，底面半徑為4， 則側(cè)面積為πrl=π×4×5=20π≈62.8， 故選B． 點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖求側(cè)面積問題，考查空間想象能力，

33、是基礎(chǔ)題．首先判定該立體圖形是圓錐是解決此題的關(guān)鍵． 12．（2012?龍巖）如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積為（　?。? A．10π B．4π C．2π D．2 考點(diǎn)：圓柱的計(jì)算；點(diǎn)、線、面、體；矩形的性質(zhì)． 分析：根據(jù)圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高即可計(jì)算圓柱的側(cè)面積． 解答：解：圓柱的側(cè)面面積=π×2×2×1=4π． 故選B． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓柱側(cè)面積的計(jì)算公式．側(cè)面展開圖形的一邊長(zhǎng)為半徑為2的圓的周長(zhǎng)． 二、填空題 13．（2012?巴中）已知一個(gè)圓的半徑為5cm，則它的

34、內(nèi)接六邊形的邊長(zhǎng)為 5cm ． 考點(diǎn)：正多邊形和圓． 分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，六邊形ABCDEF是正六邊形，易得△OAB是等邊三角形，又由圓的半徑為5cm，即可求得它的內(nèi)接六邊形的邊長(zhǎng)． 解答：解：如圖，連接OA，OB， ∵六邊形ABCDEF是正六邊形， ∴∠AOB=×360°=60°， ∴△OAB是等邊三角形， ∴AB=OA=OB=5cm， 即它的內(nèi)接六邊形的邊長(zhǎng)為：5cm． 故答案為：5cm． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)．此題難度不大，注意根據(jù)題意得到△OAB是等邊三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

35、14．（2012?天津）若一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為24，則該六邊形的面積為 ． 考點(diǎn)：正多邊形和圓． 分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，即可得△OBC是等邊三角形，又由正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為24，即可求得BC的長(zhǎng)，繼而求得△OBC的面積，則可求得該六邊形的面積． 解答：解：如圖，連接OB，OC，過O作OM⊥BC于M， ∴∠AOB=×360°=60°， ∵OA=OB， ∴△OBC是等邊三角形， ∵正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為24， ∴BC=24÷6=4， ∴OB=BC=4， ∴BM=BC=2， ∴OM==2， ∴S△OBC=×BC×OM=×4×2=4，

36、 ∴該六邊形的面積為：4×6=24． 故答案為：24． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的內(nèi)接六邊形的性質(zhì)與等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 15．（2012?長(zhǎng)沙）在半徑為1cm的圓中，圓心角為120°的扇形的弧長(zhǎng)是 π cm． 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算． 分析：知道半徑，圓心角，直接代入弧長(zhǎng)公式L=即可求得扇形的弧長(zhǎng)． 解答：解：扇形的弧長(zhǎng)L==πcm． 故答案為：πcm． 點(diǎn)評(píng)：考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，要掌握弧長(zhǎng)公式：L= 才能準(zhǔn)確的解題． 16．（2012?衡陽）如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B

37、，弦BC∥AO，若∠A=30°，則劣弧 的長(zhǎng)為 2π cm． 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算；等邊三角形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)． 專題：數(shù)形結(jié)合． 分析：根據(jù)切線的性質(zhì)可得出OB⊥AB，繼而求出∠BOA的度數(shù)，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度數(shù)，代入弧長(zhǎng)公式即可得出答案． 解答：解：∵直線AB是⊙O的切線， ∴OB⊥AB， 又∵∠A=30°， ∴∠BOA=60°， ∵弦BC∥AO，OB=OC， ∴△OBC是等邊三角形， 即可得∠BOC=60°， ∴劣弧的長(zhǎng)==2πcm． 故答案為：2π． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、切線的性質(zhì)，

38、根據(jù)切線的性質(zhì)及圓的性質(zhì)得出△OBC是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵，另外要熟練記憶弧長(zhǎng)的計(jì)算公式． 17. （2012?莆田）若扇形的圓心角為60°，弧長(zhǎng)為2π，則扇形的半徑為 6 ． 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算． 專題：計(jì)算題． 分析：利用扇形的弧長(zhǎng)公式表示出扇形的弧長(zhǎng)，將已知的圓心角及弧長(zhǎng)代入，即可求出扇形的半徑． 解答：解：∵扇形的圓心角為60°，弧長(zhǎng)為2π， ∴l(xiāng)=，即2π=， 則扇形的半徑r=6． 故答案為：6 點(diǎn)評(píng)：此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，扇形的弧長(zhǎng)公式為l= （n為扇形的圓心角度數(shù)，R為扇形的半徑），熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解本題的關(guān)鍵． 18. （

39、2012?蘇州）已知扇形的圓心角為45°，弧長(zhǎng)等于，則該扇形的半徑為 2 ． 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算． 分析：根據(jù)弧長(zhǎng)公式l= 可以求得該扇形的半徑的長(zhǎng)度． 解答：解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式l=，知 r===2，即該扇形的半徑為2． 故答案是：2． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算．解題時(shí)，主要是根據(jù)弧長(zhǎng)公式列出關(guān)于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值． 19. （2012?廈門）如圖，已知∠ABC=90°，AB=πr，BC= ，半徑為r的⊙O從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．請(qǐng)你根據(jù)題意，在圖上畫出圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的示意圖；圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是 2πr

40、 ． 考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算． 專題：作圖題． 分析：根據(jù)題意畫出圖形，將運(yùn)動(dòng)路徑分為三部分：OO1， ，O2O3，分別計(jì)算出各部分的長(zhǎng)再相加即可． 解答：解：圓心O運(yùn)動(dòng)路徑如圖： ∵OO1=AB=πr； =； O2O3=BC=； ∴圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是πr++=2πr． 故答案為2πr． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，找到運(yùn)動(dòng)軌跡，將運(yùn)動(dòng)軌跡劃分為三部分進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵． 20. （2012?常州）已知扇形的半徑為3cm，圓心角為120°，則此扇形的弧長(zhǎng)為 2π cm，扇形的面積是 3π cm2．（結(jié)果保留π）

41、 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；弧長(zhǎng)的計(jì)算． 專題：計(jì)算題． 分析：分別根據(jù)弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可． 解答：解：由題意得，扇形的半徑為3cm，圓心角為120°， 故此扇形的弧長(zhǎng)為：=2π，扇形的面積==3π． 故答案為：2π，3π． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了扇形的面積計(jì)算及弧長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)及扇形的面積計(jì)算公式，難度一般． 21.（2012?廣東）如圖，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，則陰影部分的面積是 π （結(jié)果保留π）． 考點(diǎn)：扇形面積

42、的計(jì)算；平行四邊形的性質(zhì)． 分析：過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F．可求?ABCD和△BCE的高，觀察圖形可知陰影部分的面積=?ABCD的面積-扇形ADE的面積-△BCE的面積，計(jì)算即可求解． 解答：解：過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F． ∵AD=2，AB=4，∠A=30°， ∴DF=AD?sin30°=1，EB=AB-AE=2， ∴陰影部分的面積： 4×1--2×1÷2 =4-π-1 =3-π． 故答案為：3-π． 點(diǎn)評(píng)：考查了平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，本題的關(guān)鍵是理解陰影部分的面積=?ABCD的面積-扇形ADE的面積-△BCE的面積． 22. （2012?貴港）如圖，

43、在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC為直徑的半圓O與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E，則圖中陰影部分面積之和等于 π． （結(jié)果保留π）． 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；三角形內(nèi)角和定理． 分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠C=180°-∠A=130°，利用半徑相等得到OB=OD，OC=OE，則∠B=∠ODB，∠C=∠OEC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOD=180°-2∠B，∠COE=180°-2∠C， 則∠BOD+∠COE=360°-2（∠B+∠C）=360°-2×130°=100°，圖中陰影部分由兩個(gè)扇形組成，它們的圓心角的和為100°，半徑為3，然后根據(jù)

44、扇形的面積公式計(jì)算即可． 解答：解：∵∠A=50°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=130°， 而OB=OD，OC=OE， ∴∠B=∠ODB，∠C=∠OEC， ∴∠BOD=180°-2∠B，∠COE=180°-2∠C， ∴∠BOD+∠COE=360°-2（∠B+∠C）=360°-2×130°=100°， 而OB=BC=3， ∴S陰影部分==π． 故答案為π． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形面積的計(jì)算：扇形的面積= （n為圓心角的度數(shù)，R為半徑）．也考查了三角形內(nèi)角和定理． 23.（2012?涼山州）如圖，小正方形構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中，半徑為1的⊙O在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分兩個(gè)小扇形的面

45、積之和為 （結(jié)果保留π）． 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算． 分析：先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC+∠BAC的值，再根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行解答即可． 解答：解：∵△ABC是直角三角形， ∴∠ABC+∠BAC=90°， ∵兩個(gè)陰影部分扇形的半徑均為1， ∴S陰影==． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是扇形的面積及直角三角形的性質(zhì)，熟知扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵． 24．（2012?攀枝花）底面半徑為1，高為 的圓錐的側(cè)面積等于 2π ． 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算． 分析：由于高線，底面的半徑，母線正好組成直角三角形，故母線長(zhǎng)可由勾股定理求得

46、，再由圓錐側(cè)面積= 底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)計(jì)算． 解答：解：∵高線長(zhǎng)為，底面的半徑是1， ∴由勾股定理知：母線長(zhǎng)==2， ∴圓錐側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)=×2π×2=2π． 故答案為：2π． 點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐的側(cè)面積表達(dá)公式應(yīng)用，需注意應(yīng)先算出母線長(zhǎng)． 25．（2012?黔西南州）已知圓錐的底面半徑為10cm，它的展開圖的扇形的半徑為30cm，則這個(gè)扇形圓心角的度數(shù)是 120° ． 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算． 分析：先計(jì)算出圓錐的底面圓的周長(zhǎng)=2π?10=20π，再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑為圓錐的母線長(zhǎng)得到弧

47、長(zhǎng)為20π，半徑為30，然后利用弧長(zhǎng)公式得到方程，解方程即可． 解答：解：∵底面半徑為10cm， ∴圓錐的底面圓的周長(zhǎng)=2π?10=20π， ∴20π=， ∴α=120°． 故答案為120°． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑為圓錐的母線長(zhǎng)． 26．（2012?宿遷）如圖，SO，SA分別是圓錐的高和母線，若SA=12cm，∠ASO=30°，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是 72π cm2． 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算． 分析：首先根據(jù)SA=12cm，∠ASO=30°求得圓錐的底面半徑OA，然后利用圓錐的

48、側(cè)面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可． 解答：解：∵SA=12cm，∠ASO=30°， ∴AO=SA=6cm ∴圓錐的底面周長(zhǎng)=2πr=2×6π=12π， ∴側(cè)面面積=×12π×12=72πcm2． 故答案為72π． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解． 27．（2012?孝感）把如圖所示的長(zhǎng)方體材料切割成一個(gè)體積最大的圓柱，則這個(gè)圓柱的體積為 3000π cm3（結(jié)果不作近似計(jì)算）． 考點(diǎn)：圓柱的計(jì)算． 分析：首先求得其底面內(nèi)切圓的半徑，然后計(jì)算其面積，利用底面積乘以高等于體積計(jì)算體積即可． 解答：解：∵底面是邊長(zhǎng)為20cm的

49、圓， ∴其內(nèi)切圓的半徑為10cm， ∴其底面積為100πcm2， ∴其體積為100π×30=3000π（cm3）． 故答案為3000π． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓柱的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是知道如何切割成一個(gè)體積最大的圓柱． 三、解答題 28.（2012?岳陽）如圖所示，在⊙O中， ，弦AB與弦AC交于點(diǎn)A，弦CD與AB交于點(diǎn)F，連接BC． （1）求證：AC2=AB?AF； （2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為2cm，∠B=60°，求圖中陰影部分面積． 考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 專題：幾何綜合題． 分析：（1

50、）由，利用等弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)公共角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△ACF與△ABC相似，根據(jù)相似得比例可得證； （2）連接OA，OC，利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，由∠B為60°，求出∠AOC為120°，過O作OE垂直于AC，垂足為點(diǎn)E，由OA=OC，利用三線合一得到OE為角平分線，可得出∠AOE為60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長(zhǎng)，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)，由扇形AOC的面積-△AOC的面積表示出陰影部分的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰

51、影部分的面積． 解答：（1）證明：∵， ∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF， ∴△ACF∽△ABC， ∴=，即AC2=AB?AF； （2）解：連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點(diǎn)E， 如圖所示： ∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°， 又OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°， 在Rt△AOE中，OA=2cm， ∴OE=OAcos60°=1cm， ∴AE==cm， ∴AC=2AE=2cm， 則S陰影=S扇形OAC-S△AOC=-×2×1=（-）cm2． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了扇形面積的求法，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，弧、圓心角及弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．