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人教版九下數(shù)學(xué) 專題3 三角形相似中的比例式（等積式）問題的五種解題策略
1. 如圖所示，已知 △ABC 中，CE⊥AB 于 E，BF⊥AC 于 F，求證 AEAF=ACAB．
2. 如圖所示，△ABC 中，AD 平分 ∠BAC，AD 的垂直平分線 FE 交 AB 于 F，交 BC 的延長線于 E．求證 DE2=BE?CE．
3. 如圖所示，在平行四邊形 ABCD 中，F(xiàn) 為 AD 上一點，AC 交 BF 于點 O，CD 的延長線交 BF 的延長線于點 D，求證 BOFO=EOBO．
4. 如圖所示，CD 為 Rt△ABC 的斜邊 AB 上的高，G
2、為 DC 延長線上一點，AF⊥BG，交 CD 于 E，交 BG 于 F．求證 CD2=DE?DG．
5. 如圖所示，在 △ABC 中，點 D 是 AB 的中點，過點 D 任作一條直線 DF，交 BC 的延長線于 F 點，交 AC 于 E 點，求證 AE?CF=BF?EC．
6. 如圖所示，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一點，連接 CG 并延長，交 BA 的延長線于點 F，交 AD 于點 E．
(1) 求證 AG=CG；
(2) 求證 AG2=GE?GF．
7. 如圖所示，CD 是 Rt△ABC 斜邊 AB 上的中線，過點 D 垂直于 AB 的直線交
3、 BC 于 E，交 AC 的延長線于 F．求證：
(1) △ADF∽△EDB；
(2) CD2=DE?DF．
8. 如圖所示，△ABC 內(nèi)接于 ⊙O，AC=BC，CD 是 ⊙O 的直徑，與 AB 相交于點 G，過點 D 作 EF∥AB，分別交 CA，CB 的延長線于點 E，F(xiàn)，連接 BD．
(1) 求證 EF 是 ⊙O 的切線；
(2) 求證 BD2=AC?BF．
9. 如圖所示，∠ABD=∠BCD=90°，DB 平分 ∠ADC，過點 B 作 BM∥CD 交 AD 于 M，連接 CM 交 DB 于 N．
(1) 求證 BD2=AD?CD；
(2
4、) 若 CD=6，AD=8，求 MN 的長．
10. 如圖所示，在 △ABC 中，已知 ∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，E 為直角邊 AC 的中點，過 D，E 作直線交 AB 的延長線于 F．求證 ABAC=DFAF．
11. 如圖所示，已知 △ABC 中，AD，BF 為 BC，AC 邊上的高，過 D 作 AB 的垂線交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 的延長線于 H，求證 DE2=EG?EH．
12. 如圖所示，已知 D 是 △ABC 的邊 AB 上一點，DE∥BC 交 AC 于點 E，延長 DE 至點 F，使 EF=DE，連接 BF 交 AC 于
5、點 G．求證 AEAC=EGCG．
答案
1. 【答案】 ∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AEC=∠AFB=90°．
∵∠A 是公共角，
∴△ABF∽△ACE，
∴AEAF=ACAB．
2. 【答案】連接 AE，如圖所示，
∵EF 垂直平分 AD，
∴AE=DE，
∴∠1+∠2=∠4．
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠2=∠3．
又 ∵∠B+∠3=∠4，
∴∠B=∠1．
∵∠AEB=∠CEA，
∴△ACE∽△BAE，
∴AEBE=CEAE．
∴AE2=EB?EC，即 DE2=BE?CE．
3. 【答案】 ∵ 四邊
6、形 ABCD 是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△ABO∽△CEO，△AFO∽△CBO，
∴AOCO=BOOE，OFBO=AOOC，
∴BOOE=OFOB，
∴BOFO=EOBO．
4. 【答案】 ∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴CDBD=ADCD，
∴CD2=AD?BD．
∵AF⊥BG，GD⊥AB，
∴∠EDA=∠EFG=∠GDB=90°．
又 ∵∠GEF=∠AED，
∴∠G=∠DAE，
∴△BG
7、D∽△EAD，
∴GDAD=BDDE，
∴AD?BD=DG?DE，
∴CD2=DE?DG．
5. 【答案】過 C 作 CM∥AB，交 DF 于點 M，
如圖所示．
因為 CM∥AB，
所以 △CME∽△ADE，△FMC∽△FDB，
所以 CEAE=CMAD，CMBD=CFBF，
又因為點 D 是 AB 的中點，
所以 AD=BD，
所以 CEAE=CFBF，
所以 AE?CF=CE?BF．
6. 【答案】
(1) ∵ 四邊形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，
∴∠F=∠FCD．
在 △ADG 與 △C
8、DG 中，
AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△ADG≌△CDG，
∴AG=CG．
(2) 由（1）知 △ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠FCD，
∴∠EAG=∠F．
又 ∵∠AGE=∠FGA，
∴△AEG∽△FAG，
∴AGFG=EGAG，
∴AG2=GE?GF．
7. 【答案】
(1) 在 Rt△ABC 中，∠B+∠A=90°．
∵DF⊥AB，
∴∠BDE=∠ADF=90°，
∴∠A+∠F=90°，
∴∠B=∠F，
∴△ADF∽△EDB．
(2) 由（1）知 ∠B=∠F．
∵CD 是 Rt△AB
9、C 的斜邊 AB 上的中線，
∴CD=AD=DB，
∴∠DCE=∠B，
∴∠DCE=∠F，
∴△CDE∽△FDC，
∴CDDF=DEDC，
∴CD2=DF?DE．
8. 【答案】
(1) ∵AC=BC，CD 是圓 O 的直徑，
∴∠ACD=∠BCD，CD⊥AB．
∵AB∥EF，
∴∠CDF=90°．
∵OD 是 ⊙O 的半徑，
∴EF 是 ⊙O 的切線．
(2) ∵CD 是圓 O 的直徑，
∴∠CBD=90°．
∵∠BDF+∠CDB=∠CDB+∠BCD=90°，
∴∠BDF=∠BCD，
∴△BCD∽△BDF，
10、∴BDBF=BCBD，
∴BD2=BC?BF．
∵BC=AC，
∴BD2=AC?BF．
9. 【答案】
(1) ∵DB 平分 ∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB．
∵∠ABD=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴ADBD=BDCD，
∴BD2=AD?CD．
(2) ∵BM∥CD，
∴∠MBD=∠BDC，
∴∠ADB=∠MBD，
∴BM=MD，
又 ∠ABD=90°，
∴BM=MD=AM=4．
由（1）知 BD2=AD?CD，
又 CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
∴BC2=BD2-CD2=12，
11、 ∴MC2=MB2+BC2=28，
∴MC=27．
∵BM∥CD，
∴△MNB∽△CND，
∴BMCD=MNCN=23，
∴MN=457．
10. 【答案】 ∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴△CBA∽△ABD，
∴∠C=∠FAD，ABBD=ACAD，
∴ABAC=BDAD???①，
又 ∵E 為 AC 的中點，AD⊥BC，
∴ED=12AC=EC，
∴∠C=∠EDC．
又 ∵∠EDC=∠FDB，
∴∠FAD=∠FDB，
∴△DBF∽△ADF，
∴BDAD=DFAF???②，
由①②得 ABAC=DFAF．
11. 【答案】因為 AD⊥BC，DE⊥AB，
所以 △DBE∽△ADE，
所以 DEAE=BEDE，
所以 DE2=AE?BE．
在 Rt△EBG 和 Rt△EHA 中，
因為 ∠EBG=∠AHE，
所以 Rt△EBG∽Rt△EHA，
所以 AEEG=EHEB，
所以 EG?EH=AE?EB，
所以 DE2=EG?EH．
12. 【答案】 ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴AEAC=DEBC，EFBC=EGCG．
∵EF=DE，
∴DEBC=EFBC，
∴AEAC=EGCG．
人教版九下數(shù)學(xué) 專題3 三角形相似中的比例式（等積式）問題的五種解題策略
