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1、選修45不等式選講,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),1.絕對(duì)值三角不等式 (1)定理1:若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立; (2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立.,|a|+|b|,ab0,|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2.絕對(duì)值不等式的解法 (1)含絕對(duì)值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c; |ax+b|c. (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法
2、利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想; 利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想; 通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合的思想.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2ab,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),4.柯西不等式 (1)若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立. (3)柯西不等式的向量形式:設(shè),是兩個(gè)向量,則|,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實(shí)數(shù)k,使=k時(shí),等號(hào)成立. 5.不等式證明的方法 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、等.,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4
3、,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)對(duì)|a-b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立.() (2)|a+b|+|a-b|2a|.() (3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a,b的距離之和.() (4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí)假設(shè)為“a,b,c全不為0”.() (5)若m=a+2b,n=a+b2+1,則nm.(),答案,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,2.(2017江蘇南通模擬)若|a-c|c-b C.|a|b|-|c|D.|a|b|+|c|,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,3.若不等式 對(duì)
4、于一切非零實(shí)數(shù)x均成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A.2a3B.1a2 C.1a3D.1a4,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,4.設(shè)a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,則 的最小值為.,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,5.(2017廣西南寧模擬)若存在實(shí)數(shù)x使|x-a|+|x-1|3成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考向1分離參數(shù)法求參數(shù)范圍 例1(2017全國(guó),理23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的
5、取值范圍.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得1.解含有兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,一般解法是零點(diǎn)分段法.即令各個(gè)絕對(duì)值式子等于0,求出各自零點(diǎn),把零點(diǎn)在數(shù)軸上從小到大排列,然后按零點(diǎn)分?jǐn)?shù)軸形成的各區(qū)間去絕對(duì)值,進(jìn)而將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式. 2.在不等式恒成立的情況下,求參數(shù)的取值范圍,可以采取分離參數(shù),通過求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值的方法獲得.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2017湖南岳陽一模)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式f(x)6的解集為x|-2x3,求實(shí)數(shù)a的值; (2)在(1)的條件下,若存在實(shí)數(shù)n使f(n)m-f(-n)成立,求實(shí)數(shù)m的
6、取值范圍.,解: (1)函數(shù)f(x)=|2x-a|+a, 不等式f(x)6, 解得a-3x3. 再根據(jù)不等式的解集為x|-2x3, 可得a-3=-2,實(shí)數(shù)a=1.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(2)在(1)的條件下,f(x)=|2x-1|+1, f(n)=|2n-1|+1.存在實(shí)數(shù)n使f(n)m-f(-n)成立, 即f(n)+f(-n)m,即|2n-1|+|2n+1|+2m. |2n-1|+|2n+1|(2n-1)-(2n+1)|=2, |2n-1|+|2n+1|的最小值為2, m4, 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是4,+).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考向2通過求函數(shù)最值求參數(shù)范圍 例2(2
7、017全國(guó),理23)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得1.對(duì)于求參數(shù)范圍問題,可將已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,得到含有參數(shù)的不等式恒成立,此時(shí)通過求函數(shù)的最值得到關(guān)于參數(shù)的不等式,解不等式得參數(shù)范圍. 2.解答此類問題應(yīng)熟記以下轉(zhuǎn)化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a有解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)mina.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)
8、訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例3(2017全國(guó),理23)已知a0,b0,a3+b3=2.證明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí),主要是運(yùn)用基本不等式證明,與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明常用絕對(duì)值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)
9、訓(xùn)練3設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考向1利用基本不等式求最值 (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得如果題設(shè)條件有(或者經(jīng)過化簡(jiǎn)題設(shè)條件得到)兩個(gè)正數(shù)和或兩個(gè)正數(shù)積為定值,則可利用基本不等式求兩個(gè)正數(shù)積的最大值或兩個(gè)正數(shù)和的最小值.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2017遼寧大連一模)已知a0,b0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為1. (1)求證:2a+b=2; (2)若a+2btab恒成立,求實(shí)數(shù)t的最大值
10、.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考向2利用柯西不等式求最值 例5(2017四川成都二診)已知函數(shù)f(x)=4-|x|-|x-3|.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得利用柯西不等式求最值時(shí),一定要滿足柯西不等式的形式,有時(shí)需要變形才能利用柯西不等式.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2017河南洛陽一模)已知關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集為R. (1)求m的最大值; (2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此時(shí)a,b,c的值.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(1)證明:f
11、(x)2; (2)若f(3)5,求a的取值范圍.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得絕對(duì)值三角不等式、基本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用,無論運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式還是運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(2017湖南長(zhǎng)沙一模)已知f(x)=|x-a|+|x-3|. (1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的最小值; (2)若不等式f(x)3的解集非空,求a的取值范圍.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,1.含絕對(duì)值不等式的恒成立問題的求解方法 (1)分離參數(shù)法:運(yùn)用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可
12、解決恒成立中的參數(shù)范圍問題. (2)數(shù)形結(jié)合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立問題時(shí),若能作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,則通過圖象的位置關(guān)系可直觀解決問題. 2.含絕對(duì)值不等式的證明,可用“零點(diǎn)分段法”討論去掉絕對(duì)值符號(hào),也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|. 3.不等式求解和證明中應(yīng)注意的事項(xiàng) (1)作差比較法適用的主要是多項(xiàng)式、分式、對(duì)數(shù)式、三角式,作商比較法適用的主要是高次冪乘積結(jié)構(gòu). (2)利用柯西不等式求最值,實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮,放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立,因此,要切記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,1.在解決有關(guān)絕對(duì)值不等式的問題時(shí),充分利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問題能有效避免分類討論不全面的問題.若用零點(diǎn)分段法求解,要掌握分類討論的標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏. 2.在利用算術(shù)-幾何平均不等式或柯西不等式求最值時(shí),要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件,特別是多次使用不等式時(shí),必須使等號(hào)同時(shí)成立.,
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