人教版九下數(shù)學(xué) 第二十七章 圖形研究專題 圖形研究9 拋物線中的相似問(wèn)題 相似構(gòu)造——中考熱點(diǎn)

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1、 人教版九下數(shù)學(xué) 第二十七章 圖形研究專題 圖形研究9 拋物線中的相似問(wèn)題 相似構(gòu)造——中考熱點(diǎn) 1. 已知拋物線 y=-14x2+x-1 的頂點(diǎn)為 A，與 y 軸的交點(diǎn)為 B，C 為拋物線上一點(diǎn)，且 ∠CAB=90°，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)． 2. 如圖，拋物線 y=-x2+2x+3 與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，D 為拋物線的頂點(diǎn)． (1) 求 ∠BCD 的度數(shù)； (2) 點(diǎn) P 為拋物線上一點(diǎn)，且 △PAC 是直角三角形，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 3. 如圖，拋物線 y=x2-2x-3 與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，

2、點(diǎn) G 在第一象限的在拋物線上，且 ∠BCG=∠ACO，求點(diǎn) G 的坐標(biāo)． 4. 如圖，拋物線 y=12x2-32x-2 與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) D 為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接 AD，BC 交于點(diǎn) E，連接 BD，記 △BDE 的面積為 S1，△ABE 的面積為 S2，當(dāng) S1S2 的值最大時(shí)，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)． 5. 如圖，拋物線 y=x2-3x+2 與坐標(biāo)軸交于 A，B，C 三點(diǎn)，點(diǎn) P 為拋物線上一點(diǎn)，PM⊥BC 于點(diǎn) M，且 PMCM=12，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 6. 如圖，已知拋物線 y=14x-m2 交 x 軸，y 軸的

3、正半軸于 A，B 兩點(diǎn)，且 OA=2OB． (1) 求拋物線的解析式； (2) 平移直線 AB 交第二象限的拋物線于點(diǎn) M，交 x 軸于點(diǎn) N，且 MN=4AB，求 △MNO 的面積． 答案 1. 【答案】易知 A2,0，B0,-1， ∴OA=2，OB=1， 過(guò)點(diǎn) C 作 CD⊥x 軸于點(diǎn) D，則可得 △AOB～△CDA， ∴OBAD=OACD， ∴OB?CD=OA?AD， 設(shè)點(diǎn) Ct,-14t2+t-1，則 CD=14t2-t+1，AD=t-2， ∴1?-14t2+t-1=2?t-2，解得 t1=10，t2=2（舍去）， ∴C10,-16． 2

4、. 【答案】 (1) 過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥y 軸于點(diǎn) E，易求 A-1,0，B3,0，C0,3，D1.4， ∵OC=OB， ∴∠OCB=45°， 證 DE=CE=1， ∴∠DCE=45°， ∴∠BCD=90°． (2) 分 3 種情況： ①當(dāng) ∠PAC=90° 時(shí)，過(guò)點(diǎn) A 作 AP⊥AC 交拋物線于點(diǎn) P，交 y 軸于點(diǎn) F， ∵OA2=OC?OF， ∴F0,-13， ∴ 直線 AF:y=-13x-13， 聯(lián)立 y=-13x-13,y=-x2+2x+3, 得 P103,-139． ②當(dāng) ∠PCA=90° 時(shí)，過(guò)點(diǎn) C 作 CP⊥AC 交拋物線于點(diǎn)

5、 P，交 x 軸于點(diǎn) G， ∵OC2=OA?OG， ∴G9,0， ∴ 直線 CG:y=-13x+3， 聯(lián)立 y=-13x+3,y=-x2+2x+3, 得 P73,209． ③當(dāng) ∠APC=90° 時(shí)，不符題意，舍去． 綜上，P103,-139或73,209． 3. 【答案】設(shè) CG 交 x 軸于點(diǎn) M， 由 ∠BCG=∠ACO 得 ∠ACM=∠OCB=45°=∠ABC， △ACM∽△ABC， ∴AMAC=ACAB，即 AM=AC2AB， ∵OA=1，OB=OC=3，AC2=10，AB=4，AM=52，M32,0，可求直線 CM:y=2x-3， 聯(lián)立 y

6、=2x-3,y=x2-2x-3 得 2x-3=x2-2x-3， x1=0（舍去），x2=4， ∴G4,5． 4. 【答案】過(guò)點(diǎn) D 作 DG⊥x 軸于點(diǎn) G，交 BC 于點(diǎn) F， 過(guò)點(diǎn) A 作 AK⊥x 軸交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) K， ∴AK∥DG， ∴△AKE∽△DFE， ∴DFAK=DEAE， ∴S1S2=DEAE=DFAK， 易知 A-1,0，B4,0，C0,-2， 可得 BC：y=12x-2， 當(dāng) x=-1，y=-52， ∴AK=52， 設(shè) Dm,12m2-32m-2，則 Fm,12m-2， ∴DF=12m-2-12m2+32m+2=-

7、12m2+2m． ∴S1S2=-12m2+2m52=-15m-22+45． ∴ 當(dāng) m=2 時(shí)，S1S2 的值最大，此時(shí)，D2,-3． 5. 【答案】易求 A1,0，B2,0，C0,2，連接 AC，延長(zhǎng) CP 交 x 軸于點(diǎn) N， 證 △AOC∽△PMC， ∴∠ACO=∠PCM， ∵∠OCB=45°， ∴∠ACP=45°， ∴△ABC∽△ACN， ∴AC2=AB?AN， ∴AN=5， ∴N6,0， ∴CN:y=-13x+2， 聯(lián)立 y=-13x+2,y=x2-3x+2, 得 P83,109． 6. 【答案】 (1) 依題意 Am,0，B0,12m， 將 B 代入解析式中得 12m=14m2， 所以 m1=0（舍），m2=2， 所以 y=14x-22． (2) 過(guò)點(diǎn) M 作 MH⊥x 軸于點(diǎn) H，則 △MNH∽△BAO， 所以 MHBO=NHAO=MNAB=4， 所以 MH=4，NH=8， 當(dāng) y=4 時(shí)，14x-22=4， 所以 xM=-2 或 xM=6（舍去）， 所以 ON=8-2=6， 所以 S△MON=12×6×4=12．