人教版九下數(shù)學(xué) 專題4 解直角三角形的常見解題方法與技巧

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1、 人教版九下數(shù)學(xué) 專題4 解直角三角形的常見解題方法與技巧 1. 2022 年第三屆“進(jìn)博會(huì)”期間，上海對(duì)周邊道路進(jìn)行限速行駛，道路 AB 段為監(jiān)測(cè)區(qū)，C，D 為監(jiān)測(cè)點(diǎn)（如圖所示）．已知 C，D，B 在同一條直線上，且 AC⊥BC，CD=400 米，tan∠ADC=2，∠ABC=35°． （參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7） (1) 求道路 AB 段的長(zhǎng)（精確到 1 米）； (2) 如果 AB 段限速為 60 千米/時(shí)，一輛車通過 AB 段的時(shí)間為 90 秒，請(qǐng)判斷該車是否超速，并說明理由． 2. 如圖所

2、示，在四邊形 ABCD 中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC=120°，BC=14，AD=3，求 DC 的長(zhǎng)． 3. 如圖所示，某學(xué)校體育場(chǎng)看臺(tái)的頂端 C 到地面的距離 CD 為 2?m，看臺(tái)所在斜坡 CM 的坡比 i=1:3，在點(diǎn) C 處測(cè)得旗桿頂點(diǎn) A 的仰角為 30°，在點(diǎn) M 處測(cè)得旗桿頂點(diǎn) A 的仰角為 60°，且 B，M，D 三點(diǎn)在同一水平線上，求旗桿 AB 的高度．（結(jié)果精確到 0.1?m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73） 4. 因東坡文化遠(yuǎn)近聞名的遺愛湖公園，“國(guó)慶黃金周”期間，游人絡(luò)繹不絕，現(xiàn)有一艘游船載著游客在遺愛湖中游覽，當(dāng)船在 A 處時(shí)，船上游

3、客發(fā)現(xiàn)岸上 P1 處的臨摹亭和 P2 處的遺愛亭都在東北方向，當(dāng)游船向正東方向行駛 600?m 到達(dá) B 處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)遺愛亭在北偏西 15° 方向，當(dāng)游船繼續(xù)向正東方向行駛 400?m 到達(dá) C 處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)臨摹亭在北偏西 60° 方向，如圖所示． (1) 求 A 處到臨摹亭 P1 處的距離； (2) 求臨摹亭 P1 處與遺愛亭 P2 處之間的距離．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)） 5. 如圖所示，在 △ABC 中，∠B=45°，AC=5，cosC=35，AD 是 BC 邊上的高線． (1) 求 AD 的長(zhǎng)； (2) 求 △ABC 的面積． 6. 某?！熬C合與實(shí)踐”

4、小組采用無人機(jī)鋪助的方法測(cè)量一座橋的長(zhǎng)度.如圖所示，橋 AB 是水平并且筆直的，測(cè)量過程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋 AB 的上方 120 米的點(diǎn) C 處懸停，此時(shí)測(cè)得橋兩端 A，B 兩點(diǎn)的俯角分別為 60° 和 45°，求橋 AB 的長(zhǎng)度． 7. 如圖所示，池塘邊一棵垂直于水面 BM 的筆直大樹 AB 在點(diǎn) C 處折斷，AC 部分倒下，點(diǎn) A 與水面上的點(diǎn) E 重合，部分沉入水中后，點(diǎn) A 與水中的點(diǎn) F 重合，CF 交水面于點(diǎn) D，DF=2?m，∠CEB=30°，∠CDB=45°，求 CB 部分的高度．（精確到 0.1?m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73） 8.

5、數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像（塑像中高者）的高度，如圖所示，炎帝塑像 DE 在高 55?m 的小山 EC 上，在 A 處測(cè)得塑像底部 E 的仰角為 34°，再沿 AC 方向前進(jìn) 21?m 到達(dá) B 處，測(cè)得塑像頂部 D 的仰角為 60°，求炎帝塑像 DE 的高度．（精確到 1?m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73） 9. 某品牌太陽(yáng)能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖如圖所示，已知真空集熱管 DE 與支架 CB 所在直線相交于點(diǎn) O，且 OB=OE，支架 BC 與水平線 AD 垂直，AC=40?cm，∠ADE=30°

6、，DE=190?cm，另一支架 AB 與水平線的夾角 ∠BAD=65°，求 OB 的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到 1?cm，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）． 10. 為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí) 40 海里的速度向正東方向航行，在 A 處測(cè)得燈塔 P 在北偏東 60° 方向上，繼續(xù)航行 30 分鐘后到達(dá) B 處，此時(shí)測(cè)得燈塔 P 在北偏東 45° 方向上． （參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732） (1) 求 ∠APB 的度數(shù)． (2) 已知在

7、燈塔 P 的周圍 25 海里內(nèi)有暗礁，海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？ 11. 如圖所示，在某海域，一艘指揮船在 C 處收到漁船在 B 處發(fā)出的求救信號(hào)，經(jīng)確定，遇險(xiǎn)拋錨的漁船所在的 B 處位于 C 處的南偏西 45° 方向上，且 BC=60 海里．指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在 C 處的南偏西 60° 方向上有一艘海監(jiān)船 A，恰好位于 B 處的正西方向．于是命令海監(jiān)船 A 前往搜救，已知海監(jiān)船 A 的航行速度為 30 海里/時(shí)，漁船在 B 處需要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到海監(jiān)船 A 的救援？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，結(jié)果精確到 0.1 小時(shí)） 12. 如圖①所示的

8、是甘肅省博物館的鎮(zhèn)館之寶——銅奔馬，又稱“馬踏飛燕”，于 1969 年 10 月出土于武威市的雷臺(tái)漢墓，1983 年 10 月被文化和旅游部確定為中國(guó)旅游標(biāo)志．在很多旅游城市的廣場(chǎng)上都有“馬踏飛燕”雕塑．某學(xué)習(xí)小組把測(cè)量本城市廣場(chǎng)的“馬踏飛燕”雕塑（如圖②所示）最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動(dòng)． 同學(xué)們制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表： 請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°

9、≈0.90） 答案 1. 【答案】 (1) ∵AC⊥BC， ∴∠C=90°． ∵tan∠ADC=ACCD=2，CD=400 米， ∴AC=800 米. 在 Rt△ABC 中， ∵∠ABC=35°，AC=800 米， ∴AB=ACsin35°≈8000.57358≈1395（米）． (2) 由（1）知 AB=1395 米， ∴139590=15.5（米/秒），15.5 米/秒 =55.8 千米/時(shí)， ∵55.8 千米/時(shí) <60 千米/時(shí)， ∴ 該車沒有超速． 2. 【答案】如圖所示，延長(zhǎng) BA，CD 交于點(diǎn) P， ∵AD⊥AB，

10、CD⊥BC， ∴∠C=∠PAD=90°， ∵∠ADC=120°， ∴∠ADP=60°， ∴∠P=30°， 在 Rt△PAD 中，sin30°=ADPD， ∴PD=2AD=6， 在 Rt△PBC 中，tan30°=BCPC=33， ∴PC=143， ∴DC=PC-PD=143-6． 3. 【答案】如圖所示，過點(diǎn) C 作 CE⊥AB 于點(diǎn) E， ∵CD=2?m，tan∠CMD=13， ∴MD=6?m， 設(shè) BM=x?m，則 BD=x+6m， ∵∠AMB=60°， ∴∠BAM=30°， ∴AB=3x?m， ∵ 四邊形 CDBE 是矩形

11、， ∴BE=CD=2?m，CE=BD=x+6m， ∴AE=3x-2m， 在 Rt△ACE 中， ∵tan30°=AECE， ∴13=3x-2x+6，解得 x=3+3， ∴AB=3x=3+33≈8.2m． 4. 【答案】 (1) 如圖所示，過 P1 作 P1M⊥AC 于 M，設(shè) P1M=x?m， 在 Rt△P1AM 中，∠P1AB=45°， ∴AM=P1M=x?m． 在 Rt△P1CM 中，易知 ∠P1CA=30°， ∴MC=3P1M=3x?m． ∵AC=1000?m， ∴x+3x=1000，解得 x=5003-1， ∴P1M=5003-

12、1m， ∴P1A=2P1M=5006-2m． 故 A 處到臨摹亭 P1 處的距離為 5006-2m． (2) 如圖所示，過 B 作 BN⊥AP2 于 N， 易知 ∠P2AB=45°，∠P2BA=75°， ∴∠P2=60°． 在 Rt△ABN 中， ∵∠P1AB=45°，AB=600?m． ∴BN=AN=22AB=3002?m， ∴P1N=5006-2-3002=5006-8002m． 在 Rt△P2BN 中， ∵∠P2=60°， ∴P2N=33BN=33×3002=1006m， ∴P1P2=1006-5006-8002=8002-4006m． 故臨

13、摹亭 P1 處與遺愛亭 P2 處之間的距離是 8002-4006m． 5. 【答案】 (1) ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°． 在 Rt△ACD 中，AC=5，cosC=35， ∴CD=AC?cosC=3， ∴AD=AC2-CD2=4． (2) ∵∠B=45°，∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°-∠B=45°， ∴∠B=∠BAD， ∴BD=AD=4， ∴S△ABC=12AD?BC=12×4×4+3=14. 6. 【答案】如圖聽示，過點(diǎn) C 作 CD⊥AB，垂足為 D， 由題意得 ∠A=∠MCA=60°，∠B=∠NC

14、B=45°，CD=120 米， 在 Rt△ACD 中，AD=CDtan60°=1203=403 (米)， 在 Rt△BCD 中，BD=CD=120 米， ∴AB=AD+BD=403+120 米． 答：橋 AB 的長(zhǎng)度為 403+120 米． 7. 【答案】設(shè) CB 部分的高度為 x?m． ∵∠CBD=90°，∠BDC=45°， ∴BC=BD=x?m． 在 Rt△BCD 中，CD=BCsin45°=xsin45°=2x?m． 在 Rt△BCE 中， ∵∠BEC=30°， ∴CE=2BC=2x?m． ∵CE=CF=CD+DF， ∴2x=2x+2，解得

15、x=2+2． ∴BC=2+2≈3.4m． 答：CB 部分的高度約為 3.4?m． 8. 【答案】 ∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55?m，tan∠CAE=CEAC， ∴AC=CEtan34°≈550.67≈82.1m． ∵AB=21?m， ∴BC=AC-AB=61.1m． 在 Rt△BCD 中，tan60°=CDBC=3， ∴CD=3BC≈1.73×61.1≈105.7m， ∴DE=CD-EC=105.7-55≈51m． 答：炎帝塑像 DE 的高度約為 51?m． 9. 【答案】設(shè) OE=OB=2x?cm，則 OD=DE+OE=190

16、+2xcm． ∵∠ADE=30°， ∴OC=12OD=95+xcm， ∴BC=OC-OB=95+x-2x=95-xcm． ∵tan∠BAD=BCAC， ∴2.14≈95-x40，解得 x≈9.4， ∴OB=2x≈19cm，故 OB 的長(zhǎng)度約為 19?cm． 10. 【答案】 (1) 由題意得 ∠PAB=90°-60°=30°，∠ABP=90°+45°=135°， 所以 ∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-30°-135°=15°． (2) 過 P 作 PH⊥AB 于 H，如圖所示． 則 △PBH 是等腰直角三角形， 所以 BH=PH，

17、 設(shè) BH=PH=x 海里，由題意得 AB=40×3060=20（海里）， 在 Rt△APH 中，tan∠PAB=PHAH， 所以 x20+x=33，解得 x=103+10≈27.32． 因?yàn)?27.32>25， 所以海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全． 11. 【答案】如圖所示，過 B 作 BD⊥CD 于點(diǎn) D． ∵∠BCD=45°，BD⊥CD， ∴BD=CD． 在 Rt△BDC 中， ∵cos∠BCD=CDBC，BC=60 海里， ∴cos45°=CD60=22，解得 CD=302 海里， ∴BD=CD=302 海里． 在 Rt△ADC 中， ∵ta

18、n∠ACD=ADCD， ∴tan60°=AD302=3，解得 AD=306 海里． ∴AB=AD-BD=306-302=306-2（海里）． ∵ 海監(jiān)船 A 的航行速度為 30 海里/時(shí)， ∴ 漁船在 B 處需要等待的時(shí)間為 AB30=306-230=6-2≈2.45-1.41=1.04≈1.0（小時(shí)）． 12. 【答案】如圖所示，過 F 作 FG⊥AB 于 G， 設(shè) BG=x 米， 在 Rt△BFG 中，F(xiàn)G=BGtanβ=xtan42°． 在 Rt△BDG 中，DG=BGtanα=xtan31°， 由 DG-FG=DF 得 xtan31°-xtan42°=5． 解得 x=9， ∴AB=AG+BG=1.5+9=10.5（米） 答：這座“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度為 10.5 米．