（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題8 立體幾何 8.4 直線、平面垂直的判定和性質(zhì)課件.ppt

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1、高考數(shù)學(xué)（浙江專用）,8.4直線、平面垂直的判定和性質(zhì),考點(diǎn)垂直的判定和性質(zhì),考點(diǎn)清單,考向基礎(chǔ) 一、線面、面面垂直的判定 1.直線與平面垂直 (1)定義:如果一條直線和一個(gè)平面相交,并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條 直線都垂直,則稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直. (2)判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面;用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為:已知m,n,mn=B,lm,ln,則l.,2.點(diǎn)到平面的距離、線到面的距離 (1)從平面外一點(diǎn)引平面的一條垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離,叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離. (2)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離,叫

2、做這條直線和這個(gè)平面的距離. 3.斜線在平面內(nèi)的射影 (1)從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線,過(guò)垂足與斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影,垂足與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的射影. (2)斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上. 4.垂線段和斜線段長(zhǎng)定理,在空間內(nèi),從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中:(1)垂線段最短;(2)射影相等的兩條斜線段相等,兩條斜線段相等,它們的射影也相等;(3)射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng),較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng).這就是 垂線段和斜線段長(zhǎng)定理,應(yīng)當(dāng)注意:定理中涉及的垂線段和斜線段都是從平面外同一點(diǎn)引出的,缺少這個(gè)條件,結(jié)論不成立

3、. 5.平面與平面垂直 (1)定義:一般地,平面和相交,如果它們所成的二面角是直二面角, 就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作. (2)判定定理:一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直.符號(hào)表示為.,二、線面、面面垂直的性質(zhì) 1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理 同垂直于一個(gè)平面的兩直線平行. 2.直線與平面所成的角(設(shè)為) (1)斜線與平面所成的角的定義:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. (2)當(dāng)一條直線垂直于平面時(shí),規(guī)定它們所成的角是直角;當(dāng)一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí),規(guī)定它們所成的角為0的角.,(3)最小角定理:斜線和平面所成的角是這條

4、斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角. 3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.符號(hào)表示為a. 4.二面角的概念及計(jì)算 (1)從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這 條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面. 棱為AB,面分別為、的二面角記作二面角-AB-,如果棱為l,那么這個(gè),二面角記作-l-. (2)在二面角-l-的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量,二面角的平面角是多少度,就說(shuō)這個(gè)二

5、面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.,考向突破,考向一空間垂直關(guān)系的判定,例1(2018浙江寧波模擬(5月),3)已知直線l、m與平面、,l,m,則下列命題中正確的是() A.若lm,則必有 B.若lm,則必有 C.若l,則必有 D.若,則必有m,解析對(duì)于選項(xiàng)A,,可能平行,也可能相交; 對(duì)于選項(xiàng)B,,可能垂直,可能相交不垂直,也可能平行; 對(duì)于選項(xiàng)D,m,可能垂直,可能平行,還可能m在平面內(nèi); 對(duì)于選項(xiàng)C,由面面垂直的判定定理可知,結(jié)論正確.,答案C,考向二直線與平面所成的角的求法,例2(2018浙江金華十校第一學(xué)期期末調(diào)研,19,15分)如圖,在四棱錐S-ABCD中,ABCD,

6、BCCD,AB=2,BC=CD=SD=1,側(cè)面SAB為等邊三角形. (1)證明:ABSD; (2)求直線SC與平面SAB所成角的正弦值.,解析(1)證明:如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接ED,DB,SE,可得正方形DEBC,AD=,DB=,DEAB. 又側(cè)面SAB為等邊三角形,SEAB. SEDE=E,AB平面SDE, ABSD.,(2)解法一:空間向量法. 如圖,由(1)知,DEDC,過(guò)D作DF平面ABCD,則DE,DC,DF兩兩垂直,分別以DE,DC,DF所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz, 則D(0,0,0),A(1,-1,0),B(1,1,0),C(0,1,0),可求得S

7、.(10分),則=,=(0,2,0),=,設(shè)平面SAB的法向量是n= (x,y,z),由得取x=1,則n=(1,0,).(12分) 設(shè)直線SC與平面SAB所成的角為,則sin ==. 故直線SC與平面SAB所成的角的正弦值為.(15分) 解法二:等體積法. 連接AC,AB平面SDE,AB平面ABCD,平面ABCD平面SDE,過(guò)S作DE的垂線SF,則SF平面ABCD,在等腰SDE中,易得SF=,(9分),VS-ABC=SABCSF=, 設(shè)點(diǎn)C到平面SAB的距離為h, 則VC-SAB=SSABh=h, 由VS-ABC=VC-SAB得h=.(12分) 又ABSD,ABCD,CDSD. 設(shè)SC與平面S

8、AB所成角為, 則sin ===, 故直線SC與平面SAB所成角的正弦值為.(15分) 解法三:傳統(tǒng)找角法.,如圖,過(guò)S作SFCD,且SF=CD,連接FB,FC, 易證平面BCF平面SDE,AB平面BCF, 平面ABFS平面BCF.(9分) 過(guò)C作CGFB于G,連接SG,則CG平面ABFS, 故CSG即為直線SC與平面SAB所成的角,(12分),又ABSD,ABCD,CDSD. 在等腰BCF中,易得CG=, 故sinCSG===, 故直線SC與平面SAB所成角的正弦值為.(15分) 解法四:距離轉(zhuǎn)移法. CDAB,CD平面ABS,AB平面ABS,CD平面ABS, 故C、D到平面ABS的距離相等

9、. AB平面SDE,平面ABS平面SDE,(9分) 過(guò)D作DHSE于H,則DH平面SAB,,在等腰SDE中,易得DH=,(12分) 又ABSD,ABCD,CDSD. 設(shè)SC與平面SAB所成的角為, 則sin ===, 故直線SC與平面SAB所成角的正弦值為.(15分),考向三二面角的求法,例3(2018浙江新高考調(diào)研卷三(杭州二中),19,15分)已知矩形ABCD,MB平面ABCD,NC平面ABCD,且MB=NC=,BC=2,PAD為邊長(zhǎng) 為2的正三角形,且平面PAD平面ABCD. (1)求證:平面PAD平面PMN; (2)若AB=4,求平面PBC與平面PMN所成銳二面角的余弦值.,解析(1)

10、證明:取AD的中點(diǎn)O,連接PO,OB,OC,PAD為正三角形,POAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面ABCD,POMB,PO=MB=,故四邊形OPMB為矩形,PO PM,同理,POPN,PO平面PMN,又PO平面PAD,平面PAD平面PMN.,(2)根據(jù)(1)知,所求的二面角與二面角P-BC-A相等,過(guò)O向BC作垂線交BC于H,連接PH,則PHO為二面角的平面角,PO=,OH=4,PH= =.故cosPHO==.,方法1線面垂直判定的方法 1.線面垂直的定義. 2.線面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bc=Ma). 3.平行線垂直平面的傳遞性(ab,ba)

11、. 4.面面垂直的性質(zhì)(,=l,a,ala). 5.面面平行的性質(zhì)(a,a). 6.面面垂直的性質(zhì)(=l,,l). 7.向量法:證明直線的方向向量為平面的法向量.,方法技巧,例1(2018浙江臺(tái)州高三期末質(zhì)檢,19)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,F分別為BA,BC的中點(diǎn),將ADE,DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A,連接AB,EF,BD. (1)求證:EF平面ABD; (2)求AD與平面BEDF所成角的正弦值.,解析(1)證明:ADAE,ADAF,AEAF=A, AD平面AEF, 又EF平面AEF,ADEF, 由已知可得EFBD,又BDAD=D,EF平面ABD.(7分)

12、 (2)由(1)可得平面ABD平面BEDF,則ADB為AD與平面BEDF所成的角, 設(shè)BD,EF交于點(diǎn)M,連接AM,則AM=BM=,DM=3, 又AD平面AEF,AM平面AEF,ADAM,(12分) 在RtADM中,sinADB===, AD與平面BEDF所成角的正弦值為.(15分),方法2面面垂直判定的方法 1.面面垂直的定義(作出兩平面構(gòu)成的二面角的平面角,計(jì)算其平面角為90). 2.面面垂直的判定定理:a,a. 3.向量法:證明兩個(gè)平面的法向量垂直.,例2(2017浙江嘉興基礎(chǔ)測(cè)試,18)如圖,在三棱錐P-ABC中,ABC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),PA=PC,二面角P-AC-B的平面

13、角的大小為60. (1)求證:平面PBD平面PAC; (2)求AB與平面PAC所成角的正弦值.,解題導(dǎo)引 (1) (2),解析(1)證明:由題意得BDAC,PDAC,又BDPD=D,所以AC平面PBD,又AC平面PAC,所以平面PAC平面PBD. (2)易知PDB即為二面角P-AC-B的平面角,所以PDB=60. 作BOPD于O,連接AO,由(1)知BO平面PAC,所以BAO即為直線AB與平面PAC所成的角.令A(yù)B=2a,則BD=a,BO=BD=a,所以sin BAO===.,評(píng)析本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)、面面垂直的判定和性質(zhì)、線面角和二面角的平面角的作法和計(jì)算.考查空間想象能力和邏輯推理能力.,