2012屆全國(guó)各省市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期聯(lián)考試題 重組專題題型六 數(shù)列（教師版）

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1、 2012屆全國(guó)各省市高三上學(xué)期數(shù)學(xué)聯(lián)考試題重組專題 題型六 數(shù)列 （教師版） 【備 考 要 點(diǎn)】 數(shù)列是新課程的必修內(nèi)容，從課程定位上說(shuō)，其考查難度不應(yīng)該太大，數(shù)列試題傾向考查基礎(chǔ)是基本方向．從課標(biāo)區(qū)的高考試題看，試卷中的數(shù)列試題最多是一道選擇題或者填空題，一道解答題．由此我們可以預(yù)測(cè)2012年的高考中，數(shù)列試題會(huì)以考查基本問(wèn)題為主，在數(shù)列的解答題中可能會(huì)出現(xiàn)與不等式的綜合、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合等，但難度會(huì)得到控制． 1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù),學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來(lái)解決。如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等2.運(yùn)用方程的思想解等差(比)數(shù)列,是常見(jiàn)題型,解決此類問(wèn)題需要抓住基本量、d(

2、或q),掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié),常通過(guò)“設(shè)而不求,整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。3.分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時(shí)考慮問(wèn)題要全面,如等比數(shù)列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等。4.等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的,數(shù)列也不例外 。如與的轉(zhuǎn)化;將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差(比)數(shù)列來(lái)解決等.復(fù)習(xí)時(shí),要及時(shí)總結(jié)歸納。5.深刻理解等差(比)數(shù)列的定義,能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵。6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯(cuò)位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,定能達(dá)到事半功倍的效果。7.數(shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn),這類題關(guān)鍵在于 建模及

3、數(shù)列的一些相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用。 【2011高 考 題 型】 考情分析 從近幾年高考來(lái)看，本講高考命題具有以下特點(diǎn)： 1．幾乎每年都有與數(shù)列有關(guān)的選擇題、填空題和解答題．對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度屬于中、低檔． 2．考查兩種數(shù)列或?qū)⒎堑炔?、等比?shù)列模型經(jīng)過(guò)配湊構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的綜合題經(jīng)常出現(xiàn)，要掌握好它們的公式和性質(zhì)，做到熟練且靈活的應(yīng)用． 3.每年高考都會(huì)有一道利用數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，或利用數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an之間的關(guān)系求前n項(xiàng)和的客觀題或解答題，客觀題難度為低、中檔，解答題

4、難度為中、高檔 【2012 命 題 方 向】 【原題】（本小題滿分13分）已知數(shù)列是等差數(shù)列,，數(shù)列的前n項(xiàng)和是，且.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； 【解析】（1）由已知 解得 為公比的等比數(shù)列.………13分 【試題出處】昌平區(qū)2011－2012學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷（文科） 【原題】(本小題滿分13分)已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)； （Ⅱ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；并求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【解析】.(Ⅰ) 數(shù)列為等差數(shù)列……3分又所以 數(shù)列的通項(xiàng)…………6分 （Ⅱ）∵,∴.∴.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比

5、數(shù)列…………10分…………13分 【試題出處】福建省三明市普通高中2011-2012學(xué)年第一學(xué)期聯(lián)合命題考試高三數(shù)學(xué)試題 【原題】（本小題12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：（為常數(shù)，）（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和。 【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，得 當(dāng)時(shí)，由，得 兩式相減得………3分若時(shí)，，若時(shí)，， 是等比數(shù)列． ∴， 綜上：所求的通項(xiàng)為，（）………6分 （II）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí) 設(shè)則 兩式相減得 若時(shí) ， 若時(shí) 綜上：………12分 【試題出處】江西省宜春市2012屆高三上學(xué)期期末統(tǒng)考試卷數(shù)學(xué)(文) 【原題】(本小題滿分10分)[來(lái)源 已知等差數(shù)列

6、{},為其前n項(xiàng)的和，=0，=6，n∈N* (I)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式； (II)若=3，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)的和． 【解析】（Ⅰ）依題意……2分解得 ………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為9的等比數(shù)列，…7分 .所以數(shù)列的前項(xiàng)的和.……10分 【試題出處】河北省石家莊市2012屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)數(shù)學(xué)試題 【原題】（本小題滿分13分）一個(gè)數(shù)列中的數(shù)均為奇數(shù)時(shí)，稱之為“奇數(shù)數(shù)列”． 我們給定以下法則來(lái)構(gòu)造一個(gè)奇數(shù)數(shù)列｛an｝，對(duì)于任意正整數(shù)n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=． （1）試寫出該數(shù)列的前6 項(xiàng)；（2）研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中

7、的每一個(gè)奇數(shù)都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，那么第10個(gè)5是該數(shù)列的第幾項(xiàng)？（3）求該數(shù)列的前2n項(xiàng)的和Tn． 【試題出處】株洲市2012屆高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（理科） 【原題】（本題滿分12分）已知數(shù)列滿足 (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)；(Ⅱ)若求數(shù)列的前n項(xiàng)和 【解析】（Ⅰ） ………………(1) ………..(2) (1)-(2)得即又也適合上式 （Ⅱ） 【試題出處】山東省德州市2012屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 【原題】（本小題滿分12分）數(shù)列的前項(xiàng)和記為,,點(diǎn)在直線上,．(Ⅰ)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí),數(shù)列是等比數(shù)列？(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,設(shè),，是數(shù)列的前項(xiàng)和,求。 【

8、解析】(Ⅰ)∵點(diǎn)在直線上∴...2分 ， ∴......4分 ∴當(dāng)t=1時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列。.....6分 (Ⅱ) 在(Ⅰ)的結(jié)論下, ...........8分 ，....9分， .....10分 .......12分 【試題出處】安徽省六校教育研究會(huì)2012屆高三測(cè)試數(shù)學(xué)試題(文) 【原題】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，有．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和 【解析】（1）∵ 對(duì)任意n∈N*有，且，∴得= 2 1分 又由，得 ．當(dāng)n≥2且n∈N* 時(shí)， 有，…………… 3分 即， ∴，由此表明是以+ 1 = 3為首項(xiàng)，3為公比的等

9、比數(shù)列。 需驗(yàn)證n取1,2時(shí)也成立.∴，有．……… 5分 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為． …… 6分 （2）n = n()= n ·－n，設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為， 則 = …………… 8分 ∴ 3 =， 兩式相減，得－2 = =… 10分 ∴ ，12分因此 【解析】（Ⅰ）因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)， ，即以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． ∴；……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 若為等比數(shù)列，則有，而，， 故，解得………7分 再將代入得成等比數(shù)列， 所以成立 ………8分 由于①…………………10分 （或做差更簡(jiǎn)單：因?yàn)?，所以也成? ②，故存在；所以符合①②,故為“嘉文”數(shù)列………

10、12分 【試題出處】山東省青島市2012屆高三期末檢測(cè)數(shù)學(xué) 【原題】(本題12分) )在數(shù)列中，，，，其中.(I)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，說(shuō)明理由. 【解析】（Ⅰ）證明： ∴　數(shù)列是等差數(shù)列……3分 ………… 4分 由得……… 6分 【解】（Ⅱ）， ……9分依題意要使對(duì)于恒成立，只需，解得，所以m的最小值為1.… 12分 【試題出處】2012年北海市高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué) 【原題】（本題滿分14分）在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，滿足．（I）若，

11、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列，求 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，所以,即……3分所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為…6分 （II）當(dāng)時(shí)，， ，，若，則， 從而為公比為1的等比數(shù)列，不合題意；……………8分 若，則，， 由題意得，，所以或．……10分 當(dāng)時(shí),，得,,不合題意；…12分 當(dāng)時(shí)，，從而 因?yàn)?， 為公比為3的等比數(shù)列,，所以，從而．…………14分 【試題出處】浙江省寧波市2012屆高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試卷 【原題】（本小題滿分12分）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列．設(shè)，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列成等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)

12、和（3）若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解析】（1）由已知可得，， 為等差數(shù)列，其中.………3分 （2） 【試題出處】黃岡市2011年秋季高三年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試題（理） 【原題】（本小題12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：（為常數(shù)）. （1）求的通項(xiàng)公式；（2）若時(shí)，證明：. 【解析】（1）當(dāng)時(shí)∴，當(dāng)時(shí)，由， 得相減得…3分 當(dāng)時(shí)，…4分 當(dāng)時(shí)，即是等比數(shù)列． ∴；…5分 綜上：…6分 （2）若時(shí)，，………8分 設(shè)， 則 …10分 ……12分 【試題出處】江西省宜春市2012屆高三上學(xué)期期末統(tǒng)考試卷數(shù)學(xué)(理)試題

13、 【原題】（本題滿分14分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列 的前項(xiàng)和，試比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論． 【解析】（Ⅰ）由得:時(shí)，………2分 是等比數(shù)列，，得 …4分 （Ⅱ）由和得……………………6分 ……10分 ……11分當(dāng)或時(shí) 有，所以當(dāng)時(shí)有那么同理可得： 當(dāng)時(shí)有，所以當(dāng)時(shí) 有……13分綜上：當(dāng)時(shí)有； 當(dāng)時(shí)有………14分 【試題出處】浙江省2011~2012學(xué)年度普通高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題理科數(shù)學(xué) 【原題】（本題滿分14分）設(shè)，圓：與軸正半軸的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為.（1）用表示和；（2）若數(shù)

14、列滿足：.①求常數(shù)的值使數(shù)列成等比數(shù)列；②比較與的大小. 【解析】(1) 與圓交于點(diǎn),則,………2分 由題可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而直線的方程為,………3分 由點(diǎn)在直線上得: , ………4分 將，代入化簡(jiǎn)得: .…6分 (2)由得：，……7分 又，故， ……8分 ①， 令得：…9分 由等式對(duì)任意成立得：，解得：或故當(dāng)時(shí)，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列成公比為2的等比數(shù)列。……11分 ②由①知：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，12分 事實(shí)上,令,則,故是增函數(shù),即:,即14分 【試題出處】2012年佛山市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）文科數(shù)學(xué)試題 ,…9分 (3)先證:當(dāng)時(shí),

15、. 事實(shí)上, 不等式 后一個(gè)不等式顯然成立,而前一個(gè)不等式. 故當(dāng)時(shí), 不等式成立. ,……11分(等號(hào)僅在n=1時(shí)成立)求和得: ……14分 【試題出處】2012年佛山市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（理科） 【原題】（本小題滿分14分）如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的平方差是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．（Ⅰ）若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；（Ⅱ）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公方差為的等方差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍． 21. 【解析】（1）：

16、依題 又為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則 故是常數(shù)列. 4分 （2）由是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列.即為首項(xiàng)為4，公差為2的的等差數(shù)列， 6分由得 ① ② 10分不等式即 也即，即恒成立 由于時(shí)，；時(shí)，；假設(shè)時(shí)，， 那么，由歸納法原理知：時(shí)，，所以，故的取值范圍為 14分 【試題出處】安徽省六校教育研究會(huì)2012屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題 【原題】定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方數(shù)列”。已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中為正整數(shù)。（1）證明：數(shù)列是“平方數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列。（2）設(shè)（1）中“平方數(shù)列”的前項(xiàng)之積為，即，求數(shù)列的通項(xiàng)及關(guān)于的表達(dá)式。（3）對(duì)

17、于（2）中的，記，求數(shù)列的前項(xiàng)之和，并求使的的最小值。 （3）＝，…10分 ∴…12分 由得,. 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的最小值為2011． 【試題出處】惠州市2012屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（理科） 【原題】（本小題滿分13分）已知數(shù)列是等差數(shù)列,，數(shù)列的前n項(xiàng)和是，且.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）記，求證：. 【解析】（1）由已知 解得 …………4分 （2）由于，①令=1，得 解得，當(dāng)時(shí)，② ①－②得 ， 又, ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.……………9分 （3）由（2）可得……9分 ……10分

18、，故 ………13分 【試題出處】昌平區(qū)2011－2012學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷（理科） 【原題】（本題滿分14分）數(shù)列，（）由下列條件確定：①；②當(dāng)時(shí)，與滿足：當(dāng)時(shí)，,；當(dāng)時(shí)，，.（Ⅰ）若，，寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）在數(shù)列中，若(,且)，試用表示；（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)數(shù)列滿足，，(其中為給定的不小于2的整數(shù))，求證：當(dāng)時(shí)，恒有. 【解析】（Ⅰ）解：因?yàn)椋?. 因?yàn)?所以,. 因?yàn)?所以,. 所以.……… 2分 由此猜想，當(dāng)時(shí),，則，.… 3分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時(shí)，已證成立. ②假設(shè)當(dāng)（，且）猜想成立， 即，，.

19、 當(dāng)時(shí)，由， 得，則，. 綜上所述，猜想成立. 所以.故.……… 6分 （Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)，假設(shè)，根據(jù)已知條件則有， 與矛盾，因此不成立，… 7分 所以有，從而有，所以.當(dāng)時(shí)，，, 所以; …………………… 8分 當(dāng)時(shí)，總有成立. 又， 所以數(shù)列()是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列, ，,又因?yàn)?，所以?0分 （Ⅲ）證明：由題意得 . 因?yàn)?，所?所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.…… 11分 因此要證,只須證. 由，則<，即.…… 12分 因此 .所以.故當(dāng),恒有.………14分 【試題出處】北京市朝陽(yáng)區(qū)2011-2012學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷 【原

20、題】（本小題共13分）若有窮數(shù)列{an}滿足：（1）首項(xiàng)a1=1，末項(xiàng)am=k，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，則稱數(shù)列{an}為k的m階數(shù)列．（Ⅰ）請(qǐng)寫出一個(gè)10的6階數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}是各項(xiàng)為自然數(shù)的遞增數(shù)列，若，且，求m的最小值． 【解析】（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． ………2分 （Ⅱ）由已知在數(shù)列{an}中 an+1= an+1或an+1=2an， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，或．因?yàn)?， 所以在數(shù)列{an}中 中i的個(gè)數(shù)不多于中j的個(gè)數(shù)， 要使項(xiàng)數(shù)m最小，只需 ．…5分 當(dāng)am為奇數(shù)時(shí)，必然有 ，是偶

21、數(shù)，可繼續(xù)重復(fù)上面的操作． 所以要使項(xiàng)數(shù)m最小，只需遇到偶數(shù)除以2，遇到奇數(shù)則減1． 因?yàn)椋遥? 只需除以次2，得到為奇數(shù)；減1，得到為偶數(shù)， 再除以次2，得到；再減1，得到為偶數(shù)，…………，最后得到為偶數(shù)，除以次2，得到1，即為． 所以=………13分 （若用其他方法解題，請(qǐng)酌情給分） 【試題出處】豐臺(tái)區(qū)2011—2012學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)（理科） 【原題】（本小題滿分13分）已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.（Ⅰ）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求；（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生

22、數(shù)列”是，….依次將數(shù)列，，，…的第項(xiàng)取出，構(gòu)成數(shù)列.證明：是等差數(shù)列. 由 ①、② 可知，對(duì)于任意正整數(shù)，有. ………………7分 設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，則由以上結(jié)論可知 ，其中. 由于為偶數(shù)，所以， 所以 ，其中. 因此，數(shù)列即是數(shù)列. ………………9分 證法二： 因?yàn)?， ， ， …… ， 由于為偶數(shù)，將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以，相加得 即，. ………………7分 由于，， 根據(jù)“衍生數(shù)列”的定

23、義知，數(shù)列是的“衍生數(shù)列”. ………………9分 （Ⅲ）證法一： 證明：設(shè)數(shù)列,,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列，即只要證明即可. ……10分 由（Ⅱ）中結(jié)論可知 ， ， 所以，，即成等差數(shù)列， 所以是等差數(shù)列. ………………13分 證法二：因?yàn)?， 所以 . 所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可. ………………10分 對(duì)于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”， 因?yàn)?，，，……， 由于為奇數(shù)，將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以， 相加

24、得即.設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為， 因?yàn)?，，所以 ， 即成等差數(shù)列. 同理可證，也成等差數(shù)列.即 是等差數(shù)列.所以 成等差數(shù)列.………13分 【試題出處】北京市西城區(qū)2011 — 2012學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)（理科） 【原題】對(duì)數(shù)列和，若對(duì)任意正整數(shù)，恒有，則稱數(shù)列是數(shù)列的“下界數(shù)列”.（1）設(shè)數(shù)列，請(qǐng)寫出一個(gè)公比不為的等比數(shù)列，使數(shù)列是數(shù)列的“下界數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列，求證數(shù)列是數(shù)列的“下界數(shù)列”；（3）設(shè)數(shù)列，，構(gòu)造 ，求使對(duì)恒成立的最小值. 【解析】（1）等，答案不唯一；…4分 （2），當(dāng)時(shí)最小值為9,；…6分，則,因此，時(shí)，最大值為6，…9分所以，，數(shù)列

25、是數(shù)列的“下界數(shù)列”；… 10分 （3），…11分 ，…12分不等式為，，， 設(shè)，則，15分 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，取得最小值，因此…17分的最小值為……18分 【試題出處】2011學(xué)年長(zhǎng)寧區(qū)第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量抽測(cè)試卷（理） 【原題】已知函數(shù),若成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)是不等式整數(shù)解的個(gè)數(shù)，求； (3)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)，使恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由. 【解析】（1）由題可知（2分）得．……（4分） （2）原式化簡(jiǎn)： ………（8分） 【原題】（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：（1）求的范圍，使得恒成

26、立；（2）若，證明（3）若，證明： 【解析】:（Ⅰ）由，得由，即 所以或（舍）所以時(shí)，………3分 （Ⅱ）證：若，得 現(xiàn)假設(shè)（） 構(gòu)造函數(shù)，易知在上單調(diào)增 所以 即由以上歸納可知……………6分 （Ⅲ）由得 所以……8分 構(gòu)造函數(shù)，在上單調(diào)遞增 所以 ………12分 【試題出處】重慶市2012屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（理） 【方 法 總 結(jié)】 1. 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見(jiàn)的題目，要切實(shí)注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說(shuō)明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”。但實(shí)

27、際上，從近兩年各地高考試題來(lái)看，是加大了對(duì)“遞推公式”的考查。 2. 探索性問(wèn)題在數(shù)列中考查較多，試題沒(méi)有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問(wèn)題對(duì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力有較高的要求. 3. 等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。 4. 求和問(wèn)題也是常見(jiàn)的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和. 5. 將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所在的分值來(lái)看，一年比一年多，而且多注重能力的考查. 6. 有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問(wèn)題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)。今后在這方面還會(huì)體現(xiàn)的更突出。 23