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1、數(shù)列求和
概述：先分析數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)特征，再利用數(shù)列通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前項和，即求和抓通項。
1、直接（或轉(zhuǎn)化）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求和
思路：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。
①等差數(shù)列求和公式：；
②等比數(shù)列求和公式：；
③；
④；
⑤。
2、逆序相加法
思路：把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加。（即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣）
例1：設(shè)函數(shù)的圖象上有兩點，若，且點的橫坐標(biāo)為。
（1）求證：點的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個定值；
（2）若
3、錯位相減法
思路：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則求的前項和可用錯
2、位相減法。
例2：在數(shù)列中，，其中。
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和。
4、裂項相消法
思路：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的。一般地，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，。
常見的通項分解（裂項）如下：
①，（當(dāng)時，通項裂項后求和是隔項相消的，注意觀察剩余項）
；（通項裂項后求和是逐項相消的，剩余的是所裂項的首項和末項）
②；
③等。
例3：求數(shù)列的前項和。
補充練習(xí)：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前項和為，
3、點均在函數(shù)的圖象上。
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整
數(shù)。
5、并項求和法
思路：將擺動數(shù)列相鄰兩項（或若干項）合并成一項（或一組），得到一個新數(shù)列，再利用直接法求這個
新數(shù)列的和。一般來說，擺動數(shù)列求和的基本模型是。當(dāng)這個擺動數(shù)列是正負(fù)或負(fù)正相間時，要對為奇數(shù)或偶數(shù)進(jìn)行分類討論；當(dāng)這個擺動數(shù)列是正正負(fù)負(fù)或負(fù)負(fù)正正或正負(fù)正負(fù)或負(fù)正負(fù)正相間時，要對順次進(jìn)行分類討論。
注：一個數(shù)列，若從第2項起，有些項大于其前一項，有些項小于其前一項，這樣的數(shù)列叫擺動數(shù)列。
例4：求。
例5：在數(shù)列與中，，，數(shù)列的前項和滿足，且為與的等比中項，。
（1）求，的值；
（2）求數(shù)列與的通項公式；
（3）設(shè)，，證明，。
6、分組求和法
思路：將既非等差，也非等比的數(shù)列適當(dāng)拆分為幾個等差、等比或常見數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。
例6：數(shù)列的前項和，數(shù)列滿。
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和。
綜合習(xí)題：
1、計算
（1）；
（2）。
2、求。
3、求。
4、已知數(shù)列滿足的值。
天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 綜合專題 數(shù)列求和（學(xué)生版）
