天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 綜合專題 數(shù)列求和（學(xué)生版）

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1、數(shù)列求和 概述：先分析數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，再利用數(shù)列通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前項(xiàng)和，即求和抓通項(xiàng)。 1、直接（或轉(zhuǎn)化）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求和 思路：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。 ①等差數(shù)列求和公式：； ②等比數(shù)列求和公式：； ③； ④； ⑤。 2、逆序相加法 思路：把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加。（即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣） 例1：設(shè)函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，若，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。 （1）求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值； （2）若 3、錯(cuò)位相減法 思路：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則求的前項(xiàng)和可用錯(cuò)

2、位相減法。 例2：在數(shù)列中，，其中。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。 4、裂項(xiàng)相消法 思路：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。一般地，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，。 常見的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如下： ①，（當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)裂項(xiàng)后求和是隔項(xiàng)相消的，注意觀察剩余項(xiàng)） ；（通項(xiàng)裂項(xiàng)后求和是逐項(xiàng)相消的，剩余的是所裂項(xiàng)的首項(xiàng)和末項(xiàng)） ②； ③等。 例3：求數(shù)列的前項(xiàng)和。 補(bǔ)充練習(xí)：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，

3、點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整 數(shù)。 5、并項(xiàng)求和法 思路：將擺動(dòng)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)（或若干項(xiàng)）合并成一項(xiàng)（或一組），得到一個(gè)新數(shù)列，再利用直接法求這個(gè) 新數(shù)列的和。一般來說，擺動(dòng)數(shù)列求和的基本模型是。當(dāng)這個(gè)擺動(dòng)數(shù)列是正負(fù)或負(fù)正相間時(shí)，要對(duì)為奇數(shù)或偶數(shù)進(jìn)行分類討論；當(dāng)這個(gè)擺動(dòng)數(shù)列是正正負(fù)負(fù)或負(fù)負(fù)正正或正負(fù)正負(fù)或負(fù)正負(fù)正相間時(shí)，要對(duì)順次進(jìn)行分類討論。 注：一個(gè)數(shù)列，若從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于其前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于其前一項(xiàng)，這樣的數(shù)列叫擺動(dòng)數(shù)列。 例4：求。 例5：在數(shù)列與中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且為與的等比中項(xiàng)，。 （1）求，的值； （2）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，，證明，。 6、分組求和法 思路：將既非等差，也非等比的數(shù)列適當(dāng)拆分為幾個(gè)等差、等比或常見數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。 例6：數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿。 （1）證明數(shù)列為等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。 綜合習(xí)題： 1、計(jì)算 （1）； （2）。 2、求。 3、求。 4、已知數(shù)列滿足的值。