4、知，該商品每日的銷售量
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
從而，
于是，當x變化時，的變化情況如下表：
（3，4）
4
（4，6）
+
0
-
單調遞增
極大值42
單調遞減
由上表可得，x=4是函數(shù)在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點，也是最大值點；
所以，當x=4時，函數(shù)取得最大值，且最大值等于42。
答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。
3。 2011福建理科19.（本小題滿分13分）
某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)
5、該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準
（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
P
0．4
a
b
0．1
且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4
6、8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望.
在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.
注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=；
（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.
本小題主要考查概率、統(tǒng)計等基礎知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應用意識，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。
解：（I）因為
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：
7、
3
4
5
6
7
8
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：
3
4
5
6
7
8
P
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
所以
即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.
（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：
因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望數(shù)學等于6，價格為6元/件，所以其性價比為
因為乙廠產(chǎn)呂的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為
據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。
4. 。201
8、0年福建理科19．文科21（本小題滿分13分）
。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設該小船沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。
（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（2）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由。
本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力、運用意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想
9、等。
【解析】如圖，由（1）得
而小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，故輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設，OD=，
由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為和，
所以，解得，
從而值，且最小值為，于是
當取得最小值，且最小值為。
此時，在中，，故可設計航行方案如下：
航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇。
2009福建理科18、（本小題滿分13分）
如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動
賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)
y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的圖象
10、，且圖象的最高點為
S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽
運動員的安全，限定MNP=120
（I）求A , 的值和M，P兩點間的距離；
（II）應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？
18.本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力以及應用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，
解法一
（Ⅰ）依題意，有，，又，。
當 是，
又
（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
設∠PMN=，則0°<
11、<60°
由正弦定理得
,
故
0°<<60°，當=30°時，折線段賽道MNP最長
亦即，將∠PMN設計為30°時，折線段道MNP最長
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得∠MNP=
即
故
從而，即
當且僅當時，折線段道MNP最長
注：本題第（Ⅱ）問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設計方式，還可以設計為：①；②；③點N在線段MP的垂直平分線上等
福建省2012年高考數(shù)學考試說明指出：五、強化應用意識，關注應用能力
加強應用意識的培養(yǎng)與考查是時代的需要，是教育改革的需要，同時也是數(shù)學
12、科的特點所決定的。應用性問題主要是考查數(shù)學知識的實際應用。應用題的設計應貼近生活，聯(lián)系實際，具有強烈的現(xiàn)實意義。
應用問題考查的重點是客觀事物的數(shù)學化，這個過程主要是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉相關的數(shù)量關系，構造數(shù)學模型，將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，并加以解決。命題時要堅持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，要把握好提出問題所涉及的數(shù)學知識和方法的深度和廣度，要切合福建省中學數(shù)學教學的實際，讓數(shù)學應用問題的難度更加符合考生的水平，引導考生自覺地置身于現(xiàn)實社會的大環(huán)境，關心自己身邊的數(shù)學問題，促使學生在學習和實踐中形成和發(fā)展數(shù)學應用的意識。
以上內(nèi)容均選自2012年福建高考數(shù)學考試說
13、明
數(shù)學應用題是指能利用數(shù)學知識解決的非數(shù)學領域中的問題，數(shù)學應用是數(shù)學最終價值的體現(xiàn)。數(shù)學應用題在數(shù)學教育中有其重要的地位，數(shù)學應用題是高考中必考的題型。國家考試中心評價報告對應用題給予了充分的關注，要求試題要體現(xiàn)數(shù)學的應用價值，要真正使數(shù)學服務于生產(chǎn)生活實際，就必須具有建立數(shù)學模型的能力。數(shù)學教育目標也要求學生從實際問題中抽象出數(shù)學問題，并解決問題。培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學應用意識,是高中數(shù)學教學的迫切要求,數(shù)學教師在教學中應高度重視應用題教學,根據(jù)高中學生的認知規(guī)律和思維特點進行應用問題的教學,培養(yǎng)學生的應用意識和應用能力,讓數(shù)學真正成為對每一學生都具有實用性價值的科學。
自1995年數(shù)
14、學應用題進入高考以來，每年不論數(shù)學應用題的題目難或易，其得分率都是比較低的。究其原因，一是考生對數(shù)學應用題有一種恐懼感；二是考生沒有掌握數(shù)學應用題求解的一般分析方法；三是考生的應試策略與表述方面還存在一些問題。在高考復習與沖刺階段如何能在數(shù)學應用題方面有所突破呢？下面談談我個人的看法，供參考。
（一）學會數(shù)學建模分析的步驟
一、數(shù)學建模分析的步驟：
1. 讀懂題目。應包括對題意的整體理解和局部理解，以及分析關系、領悟實質。
“整體理解”就是弄清題目所述的事件和研究對象；明白問題說了什么事，學會數(shù)學應用的建模分析。
“局部理解”是指抓住題目中的關鍵字句，正確把握其含義；一般數(shù)學應
15、用題的文字閱讀時事刊物較大，通過審題找出關鍵詞和句，并理解其意義。
“分析關系”就是根據(jù)題意，弄清題中各有關量的數(shù)量關系；題設材料呈現(xiàn)的文字語言、圖形語言轉化為符號語言。
“領悟實質”是指抓住題目中的主要問題、正確識別其類型；用恰當?shù)臄?shù)學方法去解數(shù)學模型。
2、建立數(shù)學模型，將實際問題抽象為數(shù)學問題，從各種關系中找出最關鍵的數(shù)量關系，將這些關系用有關的量及數(shù)字、符號表示出來。
3、求解數(shù)學模型，根據(jù)建立的數(shù)學模型，選擇合適的方法，設計合理簡捷的運算途徑，求出數(shù)學問題的解。
4、檢驗，既要檢驗所得結果是否適合數(shù)學模型，又要評判所得結果是否符合實際問題的要求。
二、注意具體的建模分
16、析法：
1、關系分析法：即通過尋找關鍵詞和關鍵量之間的數(shù)量關系的方法來建立問題的數(shù)學模型的方法。
2、列表分析法：對于數(shù)據(jù)較多，較復雜的應用性問題通過列表的方式探索問題的數(shù)學模型的方法。
3、圖象分析法：通過圖象中的數(shù)量關系分析建立數(shù)學模型的方法。
三、注意語言表達的完整性
數(shù)學應用題的求解不同于一般的數(shù)學運算題，有人比喻它是數(shù)學中的小作文，因此解數(shù)學應用題要做到“有頭有尾”，把問題中的普通語言轉化為數(shù)學語言，引入變量與字母，畫出圖形，將數(shù)學建模的過程詳細地寫出來，建立數(shù)學模型后，要準確地求解，并注意計量單位的一致，最后對于所得數(shù)據(jù)不僅要思考或檢驗是否與實際吻合，而且要給出完整的答案
17、。
（二）2012全國各地高考應用題考查的典型試題
一、排列組合應用題：1、2012安徽（10）6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品，已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到份紀念品的同學人數(shù)為（ ）
或 或 或 或
【解析】選
①設僅有甲與乙，丙沒交換紀念品，則收到份紀念品的同學人數(shù)為人
②設僅有甲與乙，丙與丁沒交換紀念品，則收到份紀念品的同學人數(shù)為人
2、2012福建文科16.某地區(qū)規(guī)劃道路建設，考慮道路鋪設方案，方案設計圖中，求表示城市，兩
18、點之間連線表示兩城市間可鋪設道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設道路的費用，要求從任一城市都能到達其余各城市，并且鋪設道路的總費用最小。例如：在三個城市道路設計中，若城市間可鋪設道路的線路圖如圖1，則最優(yōu)設計方案如圖2，此時鋪設道路的最小總費用為10.
現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設道路的線路圖如圖3，則鋪設道路的最小總費用為__________
3、2012江西文科5. 觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為4 ， |x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x，,y）的個數(shù)為8， |x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為12 ，...，則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）
19、的個數(shù)為
A.76 B.80 C.86 D.92
二、解析幾何應用題：2012全國理科卷（12）正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE＝BF＝。動點P從E出發(fā)沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為
（A）16（B）14（C）12(D)10
2012湖北文科5.過點P（1,1）的直線，將圓形區(qū)域{（x，y）|x2+y2≤4}分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為（ ）
A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=
20、0
三、概率統(tǒng)計應用題：1、2012福建理科16.（本小題滿分13分）
受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統(tǒng)計書數(shù)據(jù)如下：
將頻率視為概率，解答下列問題：
（I）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；
(II)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列；
（III）該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只
21、能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認為應該產(chǎn)生哪種品牌的轎車？說明理由。
2、2012北京理科17．（本小題共13分）
近年來，某市為了促進生活垃圾的風分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應分垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：
“廚余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
廚余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率；
（Ⅱ）試估計生活
22、垃圾投放錯誤額概率；
（Ⅲ）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為其中a＞0，=600。當數(shù)據(jù)的方差最大時，寫出的值（結論不要求證明），并求此時的值。
（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）
解：（1）由題意可知：。
（2）由題意可知：。
（3）由題意可知：，因此有當，，時，有．
3、2012福建文科18.(本題滿分12分)
某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
（I）求回歸直線方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；
（II）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（I）中的關系，且該產(chǎn)
23、品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）
4、2012遼寧文科（19）(本小題滿分12分)
電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名。下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖；
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性。
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別
有關？
非體育迷
體育迷
合計
男
女
合計
24、
(Ⅱ)將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率。
附
5．2012江西文科6.小波一星期的總開支分布圖如圖1所示，一星期的食品開支如圖2所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為
A.30％ B.10％ C.3％ D.不能確定
四、三角函數(shù)應用題：1、2012福建理科17文科20（本小題滿分13分）
某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
25、
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°
（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°
Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)
Ⅱ 根據(jù)（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結論。
2、2012上海理科21．海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸
正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事
26、船的正南方向12海
x
O
y
P
A
里A處，如圖. 現(xiàn)假設：①失事船的移動路徑可視為拋物線
；②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救
援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為.
（1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時
兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
[解]（1）時，P的橫坐標xP=，代入拋物線方程
中，得P的縱坐標yP=3. ……2分
由|AP|=，得救援
27、船速度的大小為海里/時. ……4分
由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向
為北偏東arctan弧度. ……6分
（2）設救援船的時速為海里，經(jīng)過小時追上失事船，此時位置為.
由，整理得.……10分
因為，當且僅當=1時等號成立，
所以，即.
因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船. ……14分
五、立體幾何應用題：2012湖北理科10.我國古代數(shù)學名
28、著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式。人們還用過一些類似的近似公式。根據(jù)x=3.14159…..判斷，下列近似公式中最精確的一個是
六、數(shù)列應用題：1、2012湖北理科13.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。如22，,11,3443,94249等。顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33…，99。 3位回文數(shù)有90個：101,111,121，…，191,202，…，999。則
（Ⅰ）4位回文數(shù)有______個；
（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文數(shù)有______
29、個。
2、2012湖南理科16.設N=2n（n∈N*，n≥2），將N個數(shù)x1,x2,…，xN依次放入編號為1,2，…，N的N個位置，得到排列P0=x1x2…xN。將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應的前個數(shù)和后個位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2當2≤i≤n-2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置。
（1）當N=16時，x7位于P2中的第___個位置；
（2
30、）當N=2n（n≥8）時，x173位于P4中的第___個位置。
3、2012湖南文科20.（本小題滿分13分）
某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)。該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50％。預計以后每年資金年增長率與第一年的相同。公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)。設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元。
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關系式；
（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）
七、函數(shù)與方程應用題
31、1、2012湖南理科20.（本小題滿分13分）
某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A，B，Ｃ三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為２,２,１（單位：件）。已知每個工人每天可生產(chǎn)Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件。該企業(yè)計劃安排２００名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)Ｂ部件的人數(shù)與生產(chǎn)Ａ部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為Ｋ（Ｋ為正整數(shù)）。
（１）設生產(chǎn)Ａ部件的人數(shù)為ｘ，分別寫出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件生產(chǎn)需要的時間；
（２）假設這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)Ｋ的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案。
2、2012江蘇文科17．（本小題滿分14
32、分）
如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）求炮的最大射程；
（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．
x（千米）
y（千米）
O
（第17題）
（三）我在高考應用題復習方面的一些做法
一、和學生一起學習掌握數(shù)學建模分析的步驟：
1、讀懂題目。應包括對題意的整體理解和局部理解，以及分析關系、領悟
33、實質。
2、建立數(shù)學模型。將實際問題抽象為數(shù)學問題，建模的直接準備就是審題的最后階段從各種關系中找出最關鍵的數(shù)量關系，將此關系用有關的量及數(shù)字、符號表示出來，即可得到解決問題的數(shù)學模型。
3、求解數(shù)學模型。根據(jù)所建立的數(shù)學模型，選擇合適的數(shù)學方法，設計合理簡捷的運算途徑，求出數(shù)學問題的解，其中特別注意實際問題中對變量范圍的限制及其他約束條件。
4、檢驗。既要檢驗所得結果是否適合數(shù)學模型，又要評判所得結果是否符合實際問題的要求，從而對原問題作出合乎實際意義的回答。
二、開設專題講座和練習，減輕對應用題的恐懼感。
1.平時教學中強化訓練讀題、審題能力。
2.階段性考試中有目的的加入應用題題型。
3．不刻意回避應用題題型。
4.第二輪復習開設應用題專題課，原則上安排三節(jié)課，主要和學生一起分析近三年來全國各地應用題題型特征，建模類型，如何破題等等。
福建省福州市2012年10月高中數(shù)學學科會議專題講座 高考應用題專題復習 新人教版
