2013年高考數(shù)學(xué) 回歸基礎(chǔ)知識 二、函數(shù)及其表示

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1、2013年高考數(shù)學(xué)回歸基礎(chǔ)知識：二、函數(shù)及其表示 二、函數(shù)及其表示 (一)函數(shù)的概念 1、定義 一般地，我們說： 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作 其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合B的子集。 2、函數(shù)的三要素 (1)函數(shù)的三要素是指定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。 (2)由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系

2、完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等。 拓展與提示：(1)函數(shù)符號y=f(x)是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀引入的。 (2)注意區(qū)別f(a)和f(x)，f(x)是指函數(shù)解析式，f(a)是指自變量為a時的函數(shù)值。 3、區(qū)間。設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a

3、 閉區(qū)間 ［a，b］ 開區(qū)間 (a， b) 半開半 閉區(qū)間 實數(shù)集常用區(qū)間表示為，“∞”讀作“無窮大”。 “”讀作“負無窮大”，“+∞”讀作“正無窮大” 集合 符號 數(shù)軸表示 拓展與提示：(1)在數(shù)軸上，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點。 (2)求函數(shù)定義域，主要通過下列途徑實現(xiàn)。 ①若f(x)是整式，則定義域為R； ②若f(x)為分式，則定義域為使分母不為零的全體實數(shù)； ③若f(x)為偶次根式，則定義域為使被開方數(shù)為非負數(shù)的全體實數(shù)； ④若f(x)的定義

4、域為［a,b］，則f［g(x)］的定義域是a≤g(x)≤b的解集； ⑤若f［g(x)］的定義域為［a，b］，則f(x)的定義域是g(x)在下的值域。 例1 求下列函數(shù)的定義域 解析 要使有意義，則必須 ，即x≥-1且x≠2， 故所求函數(shù)的定義域為 例2 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域是［-1，3］，求f(x+1)和f(x2)的 定義域 (2)已知函數(shù)f(2x+3)的定義域為，求f(x-1)的定義域 解析 (1)∵f(x)的定義域為［-1，3］， ∴f(x+1)的定義域由-1≤x+1≤3確定，即-2≤x≤2， ∴f(

5、x+1)的定義域為［-2，2］. f(x2)的定義域由-1≤x2≤3確定，即 ∴f(x2)的定義域為[] (2)∵函數(shù)f(2x+3)的定義域為， ∴2x+3中的x滿足-1

6、)叫做y=f(x)的反函數(shù)，記作，一般寫成. 拓展與提示：(1)函數(shù)y=f(x)的定義域和值域分別是它的反函數(shù)的值域和定義域； (2)函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。 (二)函數(shù)的表示法 1、函數(shù)的三種表示法 解析法，就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。 圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。 列表法，就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。 拓展與提示：(1)函數(shù)用列表法表示時，其定義域是表中自變量所取值的全體，其值域是表中對應(yīng)函數(shù)值的全體。 (2)函數(shù)用圖象法表示時，其定義域是圖象投射到x軸上的區(qū)域范圍，其值域是圖

7、象投射到y(tǒng)軸上的區(qū)域范圍。 2、分段函數(shù) 若函數(shù)在定義域的不同子集上對應(yīng)關(guān)系不同，可用幾個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)，它是一類重要函數(shù)，形式是： 分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，對于分段函數(shù)必須分段處理，其定義域為D1∪D2∪…∪Dn. 拓展與提示：分段函數(shù)中，分段函數(shù)的定義域的交集為空集。 例 中國移動通信已于2006年3月21日開始在所屬18個省、市移動公司陸續(xù)推出“全球通”移動電話資費“套餐”，這個套餐的最大特點是針對不同用戶采用了不同的收費方法，具體方案如下： 方案代號 基本月租(元) 免費時間(分鐘) 超過免費

8、時間話費(元/分鐘) 1 30 48 0.60 2 98 170 0.60 3 168 330 0.50 4 268 600 0.45 5 388 1000 0.40 請問：“套餐”中第3種收費方式的月話費y與月通話量t(月通話量是指一個月內(nèi)每次通話用時之和)的函數(shù)關(guān)系式。 解析 “套餐”中第3種收費函數(shù)為 3、復(fù)合函數(shù) 若y是u的函數(shù)，u又是x的函數(shù)，即y=f(u),u=g(x),x∈(a, b),u∈(m,n)，那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f［g(x)］，x∈(a,b)叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量，u的取值范圍是g(x)的值域。 4

9、、映射 設(shè)A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任何一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。 拓展與提示：(1)映射包括集合A、B以及從A到B的對應(yīng)法則f，三者缺一不可，且A、B必須非空。 (2)A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它對應(yīng)，而B中的元素卻不一定在A中找到對應(yīng)元素，即使有，也不一定只有一個。 5、函數(shù)解析式的求法 ①待定系數(shù)法。若已知函數(shù)類型，可設(shè)出所求函數(shù)的解析式，然后利用已知條件列方程或方程組，再求系數(shù)。 ②換元法。若已知函數(shù)的解析式，可令，并由此求

10、出x=g(t)，然后代入解析式求得y=f(t)的解析式，要注意t的取值范圍為所求函數(shù)的定義域。 ③賦值法：可令解析式中的自變量等于某些特殊值求解。 ④列方程(組)法求解。若所給式子中含有f(x)，或f(x),f(-x)等形式，可考慮構(gòu)造另一個方程，通過解方程組獲解。 5．配湊法 例 解答下列各題： (1)已知f(x)=x2-4x+3，求f(x+1)； (2)已知f(x+1)=x2-2x，求f(x)； (3)已知二次函數(shù)g(x)滿足g(1)=1,g(-1)=5，圖象過原點，求g(x)。 解析 (1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x (2)方法一：(配湊法) f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2-4(x+1)+3， ∴f(x)=x2-4x+3 方法二：(換元法)令x+1=t，則x=t-1， f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3， ∴f(x)=x2-4x+3. (2)由題意設(shè)g(x)=ax2+bx+c，a≠0. ∵g(1)=1,g(-1)=4，且圖象過原點， ∴ 解得 ∴g(x)=3x2-2x.