2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題06 圓錐曲線綜合篇（學(xué)生版）

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題06 圓錐曲線綜合篇（學(xué)生版） 【2013高考會(huì)這樣考】 1、 在解橢圓中的最值與范圍問(wèn)題時(shí)，要考慮到橢圓的限制條件對(duì)自變量取值的影響； 2、 與平面向量等知識(shí)的結(jié)合，綜合考查圓錐曲線的相關(guān)運(yùn)算； 3、 以直線和圓錐曲線為載體，研究弦長(zhǎng)、最值、取值范圍、三角形的面積問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn). 【原味還原高考】 【高考還原1：（2012年高考（上海理））】在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線. （1）過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成 的三角形的面積; （2）設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點(diǎn),若l與圓相切,

2、求證:OP⊥OQ; （3）設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值. 【高考還原2：（2012年高考（山東理））】在平面直角坐標(biāo)系中,是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為,點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （Ⅰ）求拋物線的方程; （Ⅱ）是否存在點(diǎn),使得直線與拋物線相切于點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由; （Ⅲ）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),與圓 有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求當(dāng)時(shí),的最小值. 【高考還原3：（2012年高考（江蘇理））】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別

3、為,.已知和都在橢圓上,其中為橢圓的離心率. （1）求橢圓的方程; （2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn),且直線與直線平行,與交于點(diǎn)P. （i）若,求直線的斜率; （ii）求證:是定值. 【細(xì)品經(jīng)典例題】 【經(jīng)典例題1】設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上且異于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率； （2）對(duì)于由（1）得到的橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求直線的斜率. 【經(jīng)典例題2】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)是,過(guò)直線上一點(diǎn)M引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B. （1）求橢圓的方程；

4、（2）若在橢圓Ω：上的點(diǎn)處的切線方程是. 求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C，并出求定點(diǎn)C的坐標(biāo). （3）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？（點(diǎn)C為直線AB恒過(guò)的定點(diǎn)）若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【精選名題巧練】 【名題巧練1】已知橢圓. （Ⅰ）我們知道圓具有性質(zhì)：若為圓O：的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率與直線OE的斜率的乘積為定值。類比圓的這個(gè)性質(zhì)，寫(xiě)出橢圓的類似性質(zhì)，并加以證明； （Ⅱ）如圖（1），點(diǎn)B為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)B作的切線，分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，求三角形OCD面積的最小值； （Ⅲ）如圖（2），過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條切線PM和PN，

5、切點(diǎn)分別為M，N.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【名題巧練2】已知橢圓的離心率為 （I）若原點(diǎn)到直線的距離為求橢圓的方程； （II）設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線和橢圓交于A，B兩點(diǎn). （i）當(dāng)，求b的值； （ii）對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)M，若，求實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式. 【名題巧練3】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓 上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不

6、存在，說(shuō)明理由. 【名題巧練4】在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且==. （Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓：+=1上； （Ⅱ）若M、N為橢圓上的兩點(diǎn)，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)；并求△GMN面積的最大值． 【名題巧練5】已知拋物線點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，8），N點(diǎn)在拋物線C上，且滿足O為坐標(biāo)原點(diǎn)． （I）求拋物線C的方程； （II）以點(diǎn)M為起點(diǎn)的任意兩條射線關(guān)于直線l：y=x—4，并且與拋物線

7、C交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，線段AB、DE的中點(diǎn)分別為G、H兩點(diǎn)求證：直線GH過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)． 【名題巧練6】已知直線過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)。 （1） 求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）F為橢圓E的左焦點(diǎn)，且P 橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線PF的垂線，垂足為N，當(dāng)變化時(shí)，線段PN的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由?！久}巧練7】如圖，，是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)．，直線的斜率為． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線平行于，與軸分別交于點(diǎn)，與橢圓相交于．證明：△的面積等于△的面積． 【名題巧練8】如圖，在平面直坐標(biāo)系中，已知橢

8、圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線 有且只有一個(gè)交點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交與A，B兩點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在橢圓上，直線平分線段，求：當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)直線的方程。 【名題巧練9】如圖所示，橢圓C：?的離心率，左焦 點(diǎn)為右焦點(diǎn)為，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為.與軸不垂直的直線與 橢圓C交于不同的兩點(diǎn)、，記直線、的斜率分別為、，且． （1）求橢圓?的方程； （2）求證直線?與軸相交于定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo). （3）當(dāng)弦?的中點(diǎn)落在內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值。 【名題巧練10】設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．過(guò)該橢圓上任一點(diǎn)作軸，垂足為，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且． （1）求橢圓的方程； （2）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （3）設(shè)直線（點(diǎn)不同于）與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．