2013年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題09 圓錐曲線

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題09 圓錐曲線 1.對橢圓相關(guān)知識的考查 2.對雙曲線相關(guān)知識的考查 3.對拋物線相關(guān)知識的考查 4.對直線與圓錐曲線相關(guān)知識的考查 5.對軌跡問題的考查 6.考察圓錐曲線中的定值與最值問題 7.橢圓 8.雙曲線 9.拋物線 10.直線與圓錐曲線 11.軌跡問題 12.圓錐曲線中的定值與最值問題 在近幾年的圓錐曲線的考查中拋物線和雙曲線考查的較少且難度很小，這與考試說明中A級

2、要求相符合．預(yù)計在2013年的高考題中： (1)填空題依然是以考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)為主，三種圓錐曲線都有可能涉及． (2)在解答題中可能會出現(xiàn)圓、直線、橢圓的混合問題，難度較高，還有可能涉及簡單的軌跡方程的求解． 具體有以下幾點要重點關(guān)注： (1)圓錐曲線的幾何性質(zhì)，如a，b，c，p的幾何意義以及離心率的值或范圍的求解； (2)在解答題中出現(xiàn)的簡單的直線與橢圓位置關(guān)系問題； (3)以橢圓為背景考查直線方程、圓的方程以及直線和圓的幾何特征的綜合問題； (4)在解析幾何中綜合出現(xiàn)多字母的等式的化簡，這類問題難度很高． 題型一 圓錐曲線的定義及應(yīng)用 例1.⑴已知點為橢圓的左焦

3、點,是此橢圓上的動點,是一定點,則的最大值和最小值分別為. ⑵已知雙曲線的虛軸長為,離心率為,、分別是它的左、右焦點,若過的直線與雙曲線的左支交于、兩點,且是與的等差中項,則. 題型二 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2、已知拋物線：經(jīng)過橢圓：的兩個焦點. 圖 ⑴求橢圓的離心率； ⑵設(shè),又,為與不在軸上的兩個交點,若的 重心在拋物線上,求和的方程. 題型三 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 例3、如圖,已知為橢圓的左焦點,過點作斜率為(為半焦距)的直線交橢圓于點、兩點. 圖 ⑴若直線的傾斜角為,求證

4、：(為橢圓的離心率)； ⑵若,且,求橢圓的離心率的取值范圍. ,解不等式,得,∴, 故橢圓的離心率的取值范圍為. 易錯點：問題⑴中忽視斜率的正負,會導(dǎo)致的符號出錯；問題⑵中不適時聯(lián)想平幾性質(zhì)，解題思路將受阻. 題型四 以圓錐曲線為載體的探索性問題 例4、已知橢圓：的離心率為,過右焦點的直線與相交于、兩點.當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,坐標(biāo)原點到的距離為. ⑴求、的值； ⑵上是否存在點,使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立？若存在,求出所有的點的坐標(biāo)與的方程.若不存在,說明理由. ∴.由,得,. 得,, 【難點突破】 難點l橢圓 1．以橢圓兩焦點為直徑端點的圓，交橢圓于四個不同點，順次

5、連結(jié)這四個點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率等于( ) A． 【解析】 利用正六邊形的性質(zhì)，求出交點坐標(biāo)，代入橢圓方程中，可求e． 【答案】C 設(shè)橢圓方程為 在橢圓上，∴ 2．設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點，橢圓上有一點P與這兩個焦點張成90度的角，且∠PF1F2>PF2F1，若橢圓離心率為，則∠PF1F2：∠PF2F1為( ) A．1：5 B．1：3 C．1：2 D．1：l 【解析】求角的比，聯(lián)想到運用正弦定理，轉(zhuǎn)化為焦半徑的比，再利用合比性質(zhì)解三角形． 【答案】A 提示：設(shè)∠PF1F2=α，則∠PF2F1=9

6、0°-α,0<α<45°，在△PF1F2中，由正弦定理得： 3．已知一橢圓以拋物線x2=2p(y+)的準(zhǔn)線為下準(zhǔn)線，焦點為下焦點，橢圓和拋物線分別與直線x=在第一象限內(nèi)交于點A、B，且A為OB的中點(O為原點)． (1)求橢圓的離心率； (2)若橢圓過點(0，5)，求拋物線和橢圓的方程． 即得 (2)橢圓過點(0，5)，故得p=∴拋物線的方程為x2=5(y+) 設(shè)M(x，y)為橢圓上任一點，由橢圓下焦點為(0， 0)，下準(zhǔn)線為y=-，離心率為． 4．橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2，相應(yīng)于焦點F(c，0)(c>0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，

7、過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點． (1)求橢圓的方程及離心率； (2)若=0，求直線PQ的方程； (3)設(shè)=λ(λ>1)，過點P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明=-λ． yly2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]．③ 難點2雙曲線 1．雙曲線=1的左右焦點分別為F1、F2、p是雙曲線右支上一點，I為△PF1F2的內(nèi)心，PI交x軸于Q點，若|F1Q|=|PF2|，則I分線段PQ的比為 ( ) A．2 B 2.設(shè)A是雙曲線(a>0，b>0)的右頂點,P是雙曲線上除頂點外的任一點，過A作兩漸近線的平行線分別

8、交直線OP于Q和R兩點． (1)求證：|OP|2=|OQ|·|OR|； (2)試確定雙曲線上是否存在這樣的點P，使得△AQR的面積等于,如果存在，則求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． -） 3．已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點且兩條漸近線與以點A（0）為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關(guān)于直線y=x對稱。 （Ⅰ）求雙曲線C的方程； （Ⅱ）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線l經(jīng)過M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍； （Ⅲ）若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1

9、QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程。 ∵m∈（1，）， ∴-2（m-）2+∈(-2+,1) ∴b∈(-∞,-2-) ∪（2，+∞）。 2．過拋物線x2=4y上不同兩點A、B分別作拋物線的切線相交于P點，PA·PB=0 (1)求點P的軌跡方程； (2)已知點F(0，1)，是否存在實數(shù)入使得+λ()2=0? 若存在，求出A的值，若不存在，請說明理由． 由 得： 故點P的軌跡方程是y=-1(x∈k). (2)由（1）得： 3.自點A(0,-1)向拋物線C:y=x2作切線AB，切點為B，且點B在第一象限，再過線段AB的中點M作直線l與拋物線C交于不

10、同的兩點E、F，直線AF、AE分別交拋物線C于P、Q兩點。 難點 4直線與圓錐曲線 1．直線y=x+3與曲線的公共點的個數(shù)是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．過橢圓的右焦點F作直線l交橢圓于M、N兩點，設(shè) （Ⅰ）求直線l的斜率k； （Ⅱ）設(shè)M、N在橢圓右準(zhǔn)線上的射影分別為M1、N1，求的值。 3．已知圓M:x2+y2-6x+a=0(a<9)上有四個點A、B、C、D（A、B、C、D順時針排列），滿足而直線CD的一個方向向量的坐標(biāo)為（3，1）。 求直線AC及BD的斜率； 如果在x軸上方的A，B兩點在一條以原點為頂點

11、，以x軸為對稱軸的拋物線上，求拋物線方程及直線CD的方程。 ∴l(xiāng)AB為y-1=(x-1)即x-3y+2=0 ∵CD//AB, ∴設(shè)lCD為x-3y+t=0 ,由M(3,0)到AB、CD的距離相等可求得t=-8, ∴CD的方程為x-3y-8=0 4．已知橢圓C：、右焦點分別為F1、F2，離心率e=,P1為橢圓上一點，滿足 斜率為k的直線l過左焦點F1且橢圓的兩個交點為P、Q，與y軸交點為G，點Q分有向線段所成的比為λ. （Ⅰ）求橢圓C的方程。 （Ⅱ）設(shè)線段PQ中點R在左準(zhǔn)線上的射影為H，當(dāng)1≤λ≤2時，求|RH|的取值范圍。 數(shù)列的第三、四項， 求動點P的軌跡C； 已知過

12、點N的直線l交曲線C于x軸下方兩個不同點A，B，設(shè)R為AB的中點，若過R與定點Q（0，-2）的直線交x軸于點D（x0,0），求x0的取值范圍 3．設(shè)x1,x2∈R，常數(shù)a>0,定義運算“”x1x2=(x1+x2)2,定義運算“”x1x2=(x1-x2)2 (1)若x≥0,求動點P（x，的軌跡C的方程；） (2)已知直線l:y=x+1與（1）中的軌跡C交于A（x1,y1）,B(x2,y2)兩點，若試求a的值； (3)設(shè)P（x,y）是平面上任一點，定義：d1(p)=在軌跡C上是否存在兩點A1、A2，使其滿足d1(Ai)=d2(Ai)(i=1,2),若存在，請求出d1(A1)+d1(A2)的

13、值；若不存在，請說明理由。 4．設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），且。 求點C的軌跡E的過程； 若直線L過點（0，1），并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足，求直線L的方程。 【解析】（1）由三角形重心與外心的性質(zhì)求點C的軌跡E的方程；（2）設(shè)而不求的方法求直線L的方程。 難點 6 圓錐曲線中的定值與最值問題 1．若F1、F2中二次曲線C：（為參數(shù)）的焦點，P為曲線C上一點，當(dāng)△PF1F2的面積為時，的值為 （ ） A．0 B．-1 C．1 D．-2 【解析】將參數(shù)方程化為普通方程，再運用性質(zhì)可求。

14、 【答案】B 曲線方程為=1，設(shè)P（x,y），由S△F1PF2=代入求得 |x|=,不妨取P（），有. 2．已知=（2，0），動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足，其中O是坐標(biāo)原點，k是參數(shù)。 求動點M的軌跡方程； 當(dāng)k=，求的最大值與最小值； （3）如果動點M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足，求k的取值范圍. 3．已知△OPQ的面積為S，且以O(shè)為中心，P為焦點的橢圓經(jīng)過點Q。 當(dāng)m∈（1，2）時，求的最大值，并求出此時的橢圓C方程； 在（1）的條件下，過點P的直線l與橢圓C相交于M、N兩點，與橢圓C對應(yīng)于焦點P的準(zhǔn)線相交于D點， 請找出λ1、λ2之間的關(guān)系

15、，并證明你的結(jié)論。 設(shè)l與橢圓的兩交點為M（x1,y1）、N(x2,y2) 則x1+x2= 的距離與到直線k距離之比為定值. ∵|PA|+|PB|=4，∴m=|PA|·|PB|≤當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時取等號。此時m的最大值為4，P為橢圓短軸的兩個端點，坐標(biāo)為P（0，）或P（0，-） 由解得|PA|=5/2，|PB|=3/2，又|AB|=2，在△PAB中， cos∠APB= 【易錯點點睛】 易錯點1 對橢圓相關(guān)知識的考查 1．設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△FlPF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 ( )

16、 3．從集合{1，2，3…，11}中任選兩個元素作為橢圓方程=1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B={(x，y)‖x|<11，且|y|<9}內(nèi)的橢圓個數(shù)為 ( ) A．43 B．72 C．86 D．90 ②當(dāng)b=0時，由(1)得x1、2=±，由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即 ②當(dāng)b=0時，由(1)得x1、2= 自(2)得x3、4=(x4-x3)．即 故l的方程為y=．再討論l與x軸垂直時的情況． 設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得yl、2= y3、4= 即 ②當(dāng)y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0

17、，這時l平行y軸． 設(shè)l的方程為x=c，分別代入橢圓、雙曲線方程得：yl、2=y3、4= ∵y2-y1=3(y4-y3) 故l的方程為： ③當(dāng)x0=0，y0=0時，這時l通過坐標(biāo)原點且不與x軸垂直． 設(shè)l的方程為y=kx，分別代入橢圓、雙曲線方程得：x1、2= 故l的方程為y= 綜上所述，直線l的方程是：y=、y=和x= 5．設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點． (1)確定A的取值范圍，并求直線AB的方程； (Ⅱ)試判斷是否存在這樣的A，使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由．(此題

18、不要求在答題卡上畫圖) ∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x1+x2=，由N(1，3)是線段AB的中點，得，∴A(k-3)=k2+3． 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范圍是(12，+∞)． 于是，直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0． 解法2：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 依題意，x1≠x2，∴kAB=- ∵N(1，3)是AB的中點，∴x1+x2=2，yl+y2=6，從而kAB=-1． 又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，∴λ>3×12+32=

19、12， ∴λ的取值范圍是(12，∞)． 直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0． ∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12， ∵CD垂直平分AB，∴直線CD方程為y-3=x-1，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③ 將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程，整理得 4x2-8x+16-λ=0．⑤ 解③和⑤式可得 xl，2= 不妨設(shè)A(1+ 【特別提醒】 1．重點掌握橢圓的定義和性質(zhì)，加強直線與橢圓位置關(guān)系問題的研究． 2.注重思維的全面性，例如求橢圓方程時只考慮到焦點在，軸上的情形；研究直線與橢圓

20、位置關(guān)系時忽略了斜率不存在的情形…… 3．注重思想方法的訓(xùn)練，在分析直線與橢圓位置關(guān)系時要利用數(shù)形結(jié)合和設(shè)而不求法與弦長公式韋達定理聯(lián)系去解決；關(guān)于參數(shù)范圍問題常用思路有：判別式法，自身范圍法等．求橢圓的方程常用方法有：定義法，直接法，待定系數(shù)法，相關(guān)點法，參數(shù)法等． 易錯點2 對雙曲線相關(guān)知識的考查 1．已知雙曲線x2-=1的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且，則點M到x軸的距離為 ( ) 2．已知雙曲線=1(a>0，b>0)的右焦點為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為(O為原點)，則兩條漸近線的夾角為 ( ) A．30° B．45

21、° C．60° D．90° 【錯誤解答】 B 【易錯點點睛】把兩條漸近線的夾角看成漸近線的傾斜角． 【正確解答】 D 由題意得A()s△OAF=·c·，則兩條漸近線為了y=x與y=-x則求兩條漸近線的夾角為90°． 3．雙曲線=1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(a，0)和(0,b)，且點(1，0)到直線l的距離與點(-1，0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍． 【特別提醒】 1．注意雙曲線兩個定義的理解及應(yīng)用，在第二定義中，要強調(diào)e>1，必須明確焦點與準(zhǔn)線的對應(yīng)性 2．由給定條件求出雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法，當(dāng)焦點位

22、置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏． 3．掌握參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，漸近線及其幾何意義，并注意靈活運用． 易錯點3 對拋物線相關(guān)知識的考查。 1．過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 ( ) A.有且僅只有一條 B．有且僅有兩條 C.有無窮多條 D．不存在 3．如圖，過拋物線y2=2px(p>0)上一定點p(x0，y0)(y0>0)，作兩條直線分別交拋物線于A (x1，y1)，B(x2，y2)． (1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點到其焦點F的距離； (Ⅱ)當(dāng)PA與P

23、B的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)． 【錯誤解答】 (1)當(dāng)y=時，x=又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-P，由拋物線定義得，所求距離為 (Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB 由y21=2px1,y20=2px0 相減得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0)． 相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)， 所以 將yl+y2=-2y0(y0>0)代入得 所以kAB是非零常數(shù)． 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO(如圖所

24、示)． (1)求△AOB的重心C(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程； (Ⅱ)△AOB的面積是否存在最小值?若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由． ∵OA⊥OB． 【錯誤解答】（Ⅰ）設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則 所以△AOB的面積存在最小值，最小值為1。 【特別提醒】 用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分類討論思想。 凡涉及拋物線的弦長，弦的中點，弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標(biāo)的復(fù)雜運算。 解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)。 易錯點4對直線與圓錐曲線的關(guān)系的考查

25、1．設(shè)雙曲線C：(a>0)與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B， (1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍； (Ⅱ)設(shè)直線l與y軸的交點為P，且，求a的值． ∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以x2=-，消x2，得-，由a>0，所以a= 2．給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點 (1)設(shè)l的斜率為1，求與夾角的大小； (Ⅱ)設(shè)，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍． 【正確解答】 (1)C的焦點為F(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為了y=

26、x-1． 將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有xl+x2=6，x1x2=1． 3．已知橢圓C：(a>b>0)的左、右焦點為Fl、F2，離心率為e直線l:y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點Fl關(guān)于直線l的對稱點為P，設(shè) (1)證明：λ=1-e2； (Ⅱ)確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． 【錯誤解答】 (Ⅱ)要使△PF1F2為等腰三角形必有三種情況： (1)當(dāng)|PF1|=|F1F2|時 設(shè)點p的坐標(biāo)是(x0，y0) 則 解得 由|PF1

27、|=|F1F2| 得[]2+ 別是(-，0)，(0，a)，設(shè)M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由 得()， 所以 因為點M在橢圓上，所以=1， 即 e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2． 4．拋物線C的方程為y=ax2(a<0)，過拋物線C上一點P(x0，y0)(x0≠0)作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1，y1)B(x2，y2)兩點(P、A、B三點互不相同)，且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1)． (Ⅰ)求拋物線C的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； (Ⅱ)設(shè)直線AB上一點M滿足=λ，證明線段PM的中點在y軸上

28、 (Ⅲ)當(dāng)A=1時，若點P的坐標(biāo)為(1，-1)，求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍． 【錯誤解答】 (1)拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點坐標(biāo)為(，0)準(zhǔn)線方程為x=- x0， 即xM+x0=0．所以線段PM的中點在y軸上． (Ⅲ)因為點P(1，-1)在拋物線y=ax2上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x2． 由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2． 將λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2． 【特別提醒】 1．判定直線與圓錐曲線交點個數(shù)的基本方法是聯(lián)立方程組，判斷方程組解的組數(shù)，對于直線與

29、雙曲線的交點個數(shù)問題還可借助直線與漸近線斜率的關(guān)系來判斷，而直線與拋物線的位置關(guān)系則可借助直線與拋物線對稱軸的位置關(guān)系來判定，不可混淆． 2．涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用韋達定理，設(shè)而不求計算弦長，不要蠻算，以免出現(xiàn)差錯． 3．涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。 易錯點5 對軌跡問題的考查 1．已知雙曲線的中心在原點，離心率為若它的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線y2=4x的交點到原點的距離是 ( ) A.2 B． C．18+12 D．

30、21 【錯誤解答】 C 【易錯點點睛】對雙曲線的定義理解不夠深刻． 【正確解答】 B 設(shè)雙曲線方程為=1，由題意得則a=b=，則雙曲線方程為=1,由得A（3，2）， 故交點到原點的距離為 2．已知點A（-2，0）、B(3，0)，動點P(x，y)滿足=x2，則點P的軌跡是 ( ) A. 圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 (1)分別用不等式組表示 W1和W2； (Ⅱ)若區(qū)域Ⅳ中的動點p(x,y)到l1，l2的距離之積等于d2，求P點的軌跡C的方程； (Ⅲ)設(shè)不過原點O的直線l與(Ⅱ)中的曲線C相交于M

31、l，M2兩點，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點，求證△OM1M2的重心與△OM3M3的重心重合． 【錯誤解答】 (1)W1={(x,y)|y≠±kx x<0|W2=｛(x，y)｝y=±kx,x>0| (Ⅱ)直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0由題意得 ·=d2即=d2 由及 得x3=,x4= 從而x3+x4==x1+x2， 所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2， 于是△OM1M2的重心與△OM3M4的重心也重合． 4．已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1(-c，0)、F2(c，0)，Q是橢圓外的動點

32、，滿足=2a，點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足·=0，||≠0． (1)設(shè)x為點P的橫坐標(biāo)，證明||=a+； (Ⅱ)求點T的軌跡C的方程； (Ⅲ)試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=b2，若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由． 由=2a得(x'+c)2+y'2=4a2．② 將①代入②，可得x2+y2=a2． 綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2+y2=a2 (Ⅲ)解法一：C上存在點M(x0，y0)使S=b2的充要條件是 (1)求軌跡方程的本質(zhì)是用代數(shù)形式將動點的運動規(guī)律表示出來，實質(zhì)上是

33、一個翻譯過程，故選取一定解題策略找到動點運動規(guī)律的一些表現(xiàn)形式是關(guān)鍵，往往和研究曲線幾何性質(zhì)，討論直線與曲線位置關(guān)系等聯(lián)系在一起． (2)求軌跡要注意取值范圍和“雜點”的去除． 易錯點6考查圓錐曲線中的定值與最值問題 1．如圖，點A、B分別是橢圓=1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點．點P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF． (1)求點P的坐標(biāo)； (2)設(shè)M橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值． 2．如圖，直線y= x嚴(yán)與拋物線y=x2-4交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于點Q． (1)求點Q的坐

34、標(biāo) (2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含點A、B)的動點時，求△OPQ面積的最大值． 3．設(shè)橢圓方程為x2+=1，過點M(0，1)的直線l交橢圓于點A、B、O是坐標(biāo)原點，點P滿足，點N的坐標(biāo)為(，)，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求： (Ⅰ)動點戶的軌跡方程； (Ⅱ)的最小值與最大值． 【錯誤解答】 (1)①若l的斜率存在，設(shè)為k，則l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，4x2+y2-y=0． ③ 當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為 4x2+y2-y=0 4．如圖，P是拋物線C：y=x2上—點，直線l過點P且與拋物線C

35、交于另一點Q． (1)若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點 M的軌跡方程； (Ⅱ)若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍． ∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)， ∴ 的取值范圍是(2，+∞)． 方法二：∴ 當(dāng)b>0時，=|b|+2>2； 當(dāng)b<0時, =-b 【特別提醒】 ①直線過定點的問題，常用直線系的思想處理． ②定值問題常常用函數(shù)的思想處理，即把所求定值通過一些基本變量表示，最終化成常數(shù)． ③最值問題往往用幾何方法，函數(shù)或不等式等方法處理． 【2013高考突破】 1．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　) A．2　

36、　B．2 C．4 D．4 【答案】C 【解析】由2x2－y2＝8可得－＝1， 則a2＝4，a＝2,2a＝4，故選C. 2．設(shè)雙曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4．方程為＋＝1(a>b>0)的橢圓左頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，D是它短軸上的一個頂點，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵3＝＋2， ∴2(－)＝－， ∴＝2，即a－c＝4c， ∴e＝＝. 5．如圖，正六邊形ABCDEF的兩個頂點A、D為雙曲線的兩個焦點

37、，其余4個頂點都在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是(　　) A.＋1 B.－1 C. D. 6．設(shè)F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，當(dāng)＋＋＝0，且||＋||＋||＝3時，此拋物線的方程為(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 7．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB＝(　　) A. B. C．－ D．－ 8．已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為(　　) A

38、. B．1 C. D. 【答案】C 【解析】如圖所示： ∵|AF|＝|AK|，|BF|＝|BM| ∴|AK|＋|BM|＝|AF|＋|BF|＝3 ∴AB的中點P到準(zhǔn)線的距離 |PN|＝(|AK|＋|BM|)＝ ∴點P到y(tǒng)軸的距離為－＝. 9.已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1 有公共的焦點，C1的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1 恰好將線段AB三等分，則(　　) A．a(chǎn)2＝ B．a(chǎn)2＝13 C. b2＝ D．b2＝ 2 12．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同

39、的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________________． ∴過切點A，B的直線方程為2x＋y－2＝0. 令y＝0得x＝1，即c＝1； 令x＝0得y＝2，即b＝2. ∴a2＝b2＋c2＝5，∴橢圓方程為＋＝1. 14．若雙曲線－＝1的離心率e＝2，則m＝________. 【答案】48 【解析】c2＝a2＋b2＝16＋m，又∵e＝， ∴e＝2＝，∴m＝48. 15.已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1、F2，且它們在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|＝10，雙曲

40、線的離心率的取值范圍為(1,2)．則該橢圓的離心率的取值范圍是________． 16．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓C上任意一點到橢圓C兩個焦點的距離之和為6. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx－2與橢圓C交于A，B兩點，點P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直線l的方程． 【解析】(1)由已知2a＝6，e＝＝， 解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由得，(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0， 因為直線l與橢圓C有兩個不同的交點， 所以Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0，解得k2>. 設(shè)A

41、(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為E， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 17．設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程． 18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(a，b)(a>b>0)為動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點，已知△F1PF2為等腰三角形． (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足·＝－2，求點M的軌跡方程． 19．已知橢圓G：＋y2＝1，過點(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A、B兩點． (1)求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率； (2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值． ＝ ＝ ＝. 由于當(dāng)m＝±1時，|AB|＝， 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因為|AB|＝＝≤2，且當(dāng)m＝±時，|AB|＝2. 所以|AB|的最大值為2