2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 概率與統(tǒng)計(jì)（含解析）

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1、概率與統(tǒng)計(jì) 1. (2012·遼寧高考卷·T5·5分) 一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【答案】C 【解析】此排列可分兩步進(jìn)行，先把三個(gè)家庭分別排列，每個(gè)家庭有種排法，三個(gè)家庭共有種排法；再把三個(gè)家庭進(jìn)行全排列有種排法。因此不同的坐法種數(shù)為，答案為C 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題。 2. (2012·遼寧高考卷·T10·5分)在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)邊長(zhǎng)分別等于線

2、段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】設(shè)線段AC的長(zhǎng)為cm，則線段CB的長(zhǎng)為()cm,那么矩形的面積為cm2， 由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計(jì)算，以及分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題。 3.（2012·上海高考卷·T17·5分）設(shè)，，隨機(jī)變量取值的概率均為，隨機(jī)變量取值的概率也均為，若記分別為的方差，則（ ） A． B．

3、 C． D．與的大小關(guān)系與的取值有關(guān) 【答案】 A 【解析】 由隨機(jī)變量的取值情況，它們的平均數(shù)分別為：， 且隨機(jī)變量的概率都為，所以有＞. 故選擇A. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式.記牢公式是解決此類問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)，本題屬于中檔題. 4.（2012·湖北高考卷·T8·5分）如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，半圓與半圓的交點(diǎn)分別為，則四邊形是

4、正方形.不妨設(shè)扇形的半徑為，記兩塊白色區(qū)域的面積分別為，兩塊陰影部分的面積分別為. 則, ① 而，即, ② 由①-②，得. 又由圖象觀察可知， . 故由幾何概型概率公式可得，此點(diǎn)取自陰影部分的概率 . 【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的應(yīng)用以及觀察推理的能力.本題難在如何求解陰影部分的面積，即如何巧妙地將不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形的面積來(lái)求解.來(lái)年需注意幾何概型在實(shí)際生活中的應(yīng)用. 5.（2011年湖北）．如圖，用K、、三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)。當(dāng)

5、正常工作且、至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、、正常工作的概率依次為0．9、0．8、0．8，則系統(tǒng)正常工作的概率為 A．0．960 B．0．864 C．0．720 D．0．576 B 6. （2011年湖北）．在30瓶飲料中，有3瓶已過(guò)了保質(zhì)期。從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到一瓶已過(guò)保質(zhì)期飲料的概率為 。（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示） 7. （2011年湖北）．給個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色。當(dāng)時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當(dāng)時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有

6、 種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有 種，（結(jié)果用數(shù)值表示） 答案：21，43 8. （2011年湖南）．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表： 男 女 總計(jì) 愛(ài)好 40 20 60 不愛(ài)好 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 由算得，． 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 參照附表，得到的正確結(jié)論是 A．再犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B．再犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提

7、下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” 答案：C 9. （2011年江蘇）．從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率為______ 答案： 10．（2011年安徽） 工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人。現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相

8、互獨(dú)立. （Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？ （Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）； （Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小。 分析：本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值等基本知識(shí)，考查在復(fù)雜情境下處理問(wèn)題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者論論思想，應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí). 解：（I）無(wú)論以怎樣的順序派出

9、人員，任務(wù)不能被完成的概率都是 ，所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)被派出的先后順序無(wú)關(guān)， 并等于 （II）當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為時(shí)，隨機(jī)變量X的分布 列為 X 1 2 3 P 所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí)， 根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值. 下面證明：對(duì)于的任意排列，都有 ……………………（*） 事實(shí)上， 即（*）成立. （方法二）（i）可將（II）中所求

10、的EX改寫為若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，交換前兩人的派出順序可減小均值. （ii）也可將（II）中所求的EX改寫為，或交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見(jiàn)，若保持第一個(gè)派出的人選不變，當(dāng)時(shí)，交換后兩人的派出順序也可減小均值. 序